K lý thuyết đại số và ứng dụng để tính k lý thuyết của một số các c đại số

Lý do ch ọn đề tài Trong chương trình đào tạo cao học chuyên ngành hình học, chúng ta đã được biết một số vấn đề cơ bản về K-lý thuyết tôpô vốn được xem như là một nhánh của tôpô đại s

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Thái Sơn Tôi chân thành cảm ơn Thầy đã tận tình hướng dẫn, trang bị cho tôi nhiều kiến thức, tài liệu, giúp tôi hoàn thành tốt đề tài Qua đây, tôi xin chúc Thầy cùng gia đình nhiều sức khỏe và thành công trong sự nghiệp giáo

dục

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy trong khoa Toán-Tin trường Đại học

Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn trong suốt quá trình học cao học Tôi cũng xin cảm ơn Ban giám

hiệu, Phòng Sau đại học, Phòng Tổ chức tài chính, Phòng Kế hoạch - Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn Cùng với các bạn Học viên K24 đã cùng chia sẻ với tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập và viết luận văn Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, những người thân đã luôn bên tôi, hỗ trợ tinh thần và truyền động lực giúp tôi vượt qua tất cả những khó khăn trong cuộc

sống

Lê Ái Mỹ

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích của đề tài 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5. Bố cục 2

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Tổng quan về C*-đại số 4

1.1.1 C*-đại số 4

1.1.2 Đại số unita - Đồng cấu unita 4

1.2 Lý thuyết phổ 5

1.2.1 Phổ 5

1.2.2 Phép toán hàm liên tục 6

1.3 Đại số ma trận và tích tensor 7

1.4 Đồng luân cho các unita 7

1.5 Sự tương đương của các phép chiếu 13

1.6 Nửa nhóm các phép chiếu 17

Chương 2 K0-NHÓM CHO CÁC C*-ĐẠI SỐ 19

2.1 Xây dựng K-nhóm theo phương pháp Grothendieck 19

2.1.1 Cấu trúc Grothendieck 19 2.1.2 Các tính chất của Nhóm Grothendieck của một nửa nhóm giao hoán

20

2.2 Định nghĩa K-nhóm cho một C*-đại số unita 22

2.2.1 Ảnh của K 0 22

2.2.2 Tính phổ dụng của K0 23

2.2.3 Tính chất hàm tử 24

2.2.4 Bất biến đồng luân 25

2.3 K0-nhóm cho trường hợp tổng quát 26

2.3.1 Định nghĩa K0-nhóm như là các K0-hàm tử 26

2.3.2 Bức tranh của các K0-nhóm và tính nửa khớp của K0-nhóm 29

2.3.3 Giới hạn quy nạp, tính liên tục và tính ổn định của K0-nhóm 33

Chương 3 CHU KÌ BOTT 39

3.1 K 1 -hàm tử và dãy khớp 39

3.1.1 K 1-hàm tử 39

3.1.2 Dãy khớp 40

3.1.3 Đẳng cấu của K 1 (A) và K 0 (SA) 43

3.2 Chu kì Bott 44

3.2.1 Định nghĩa ánh xạ Bott 44

3.2.2 Định lý chu kì Bott 46

3.3 Dãy khớp 6-thành phần 52

Chương 4 SỬ DỤNG DÃY MAYER-VIETORIS 54

1 Dãy Mayer-Vietoris 54

2 Ví dụ sử dụng dãy Mayer-Vietoris để tính K-nhóm 58

KẾT LUẬN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

∞

=

=

MỞ ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài

Trong chương trình đào tạo cao học chuyên ngành hình học, chúng ta đã

được biết một số vấn đề cơ bản về K-lý thuyết tôpô vốn được xem như là một

nhánh của tôpô đại số, nghiên cứu các phân thớ vectơ trên các không gian tôpô

Để mở rộng thêm hiểu biết của mình về K-lý thuyết, chúng tôi đầu tư thời gian

để nghiên cứu K-lý thuyết trong đại số, trong đó chủ yếu là tìm hiểu về K-lý

thuyết của các *

C -đại số

Một cách tổng quát, chúng tôi tìm hiểu mối liên hệ giữa K-lý thuyết và Đại

số, cụ thể việc dùng K-lý thuyết để nghiên cứu về các *

C -đại số sẽ được làm sáng tỏ bởi việc tìm hiểu K0-nhóm cho C -* đại số và ngược lại, dùng công cụ

Đại số để tính các K- nhóm Từ đó, chúng ta sẽ có cơ hội tìm hiểu về cách xây

dựng K-nhóm theo phương pháp Grothendieck, thông qua đó định nghĩa

K-nhóm cho một *

C - đại số unita Hơn nữa, K-lý thuyết có thể xem như là một

lý thuyết đối đồng điều, từ những kiến thức thu thập được trước đây, chúng tôi

tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về chu kỳ Bott và các dãy khớp của K-lý thuyết

Không những thế, Đại số còn có những công cụ để giúp tính K-lý thuyết của các

nhóm như tích chéo và dãy Mayer-Vietoris.v.v…

Thông qua việc thực hiện Luận văn này, chúng tôi có cơ hội tìm hiểu và đưa

ra mối liên hệ cũng như các phương pháp hỗ trợ cho nhau giữa K-lý thuyết và Đại số, nhờ đó thấy rõ sự tương quan giữa K-lý thuyết và Đại số và thấy được

giữa Hình học và Đại số có một mối liên hệ chặt chẽ, chúng hỗ trợ nhau, làm phương tiện cũng như tiền đề cho nhau trong quá trình nghiên cứu Đó chính là

lý do chúng tôi chọn đề tài “K-lý thuyết đại số và ứng dụng để tính K-lý thuyết

c ủa một số các C*-đại số”

• K0-nhóm cho các C -* đại số unita và trường hợp tổng quát.

• Chu kỳ Bott và dãy khớp của K-lý thuyết

• Các công cụ để tính các K-nhóm

4 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp và hoàn thiện kết quả từ những bài báo đã có, tài liệu khoa học có liên quan tới vấn đề cần nghiên cứu Đưa ra một số ví dụ và ứng dụng cụ thể của

đề tài

5 B ố cục

Đề tài gồm 4 chương với nội dung như sau:

+ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 6 phần lớn, cho ta biết được tổng quan về *

C -đại số, lý thuyết phổ, đại số ma trận, tích tensor và các vấn đề liên quan đến đồng luân + Chương 2 K0-nhóm cho các C -* đại số

Chương này gồm 3 phần lớn, tìm hiểu về K0-nhóm và các tính chất

+ Chương 3 Chu kì Bott và dãy khớp của K-lý thuyết

Chương này gồm 3 phần lớn, nghiên cứu về chu kì Bott và dãy khớp 6-thành phần

+ Chương 4 Sử dụng dãy Mayer-Vietoris để tính các K-nhóm

Chương cuối này cho ta biết được một công cụ để tính các K-nhóm là dãy

Mayer-Vietoris

Để thực hiện luận văn này, chúng tôi chủ yếu tham khảo giáo trình An

introduction to K-theory for C - algebras c* ủa M Rørdam, F Larsen, N J Laustsen, xuất bản vào năm 2000 tại London Math Society Student Texts 49, Cambridge University Press

Đây là một tài liệu tham khảo khá chi tiết đề cập đến nhiều vấn đề về K-lý

thuyết cho các *

C -đại số Tuy nhiên, chúng tôi chỉ chọn những vấn đề liên quan đến đề tài luận văn để tìm hiểu và viết lại theo hiểu biết của mình Trong quá trình tham khảo tài liệu này chúng tôi tìm hiểu một số tài liệu khác như:

K-Theory for operator algebras của B Blackadar (1998) tại Cambridge

University Press và K-Theory and C*-algebas của N E Wegge-Olsen (1993)

tại Oxford University Press

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một cách sơ lược về các khái niệm cần thiết liên quan đến luận văn, cụ thể là những kiến thức liên quan đến tôpô đại số, *

C -đại số, không gian tôpô, không gian compact và nhóm tôpô Vì kiến thức chuẩn bị tương đối lớn và khuôn khổ luận văn có hạn nên chúng tôi chỉ trình bày những khái niệm cơ bản nhất và cần thiết nhất

(iii) a∈A khả nghịch nếu và chỉ nếu 0∉sp a( ).

(iv) Nếu P∈[ ]X (đa thức một biến với hệ số phức) thì

( ( )) ( ( ))

sp P a =P sp a

(v) Nếu a∈A là một lũy linh thì sp a( )={ }0 (nếu A≠{ }0 )

(vi) Nếu : Aϕ → là một cấu xạ của đại số unita trên B  thì

Nếu A là đại số của hàm liên tục giá trị phức trên một không gian tôpô thì

phổ của một phần tử bất kì là tập hợp các giá trị của hàm

Định nghĩa 1.2.2 Một phần tử a của một *

C - đại số A được gọi là + thông thường nếu * *

aa =a a ; + tự liên hợp nếu *

a = ; a + dương nếu nó thông thường và sp a( )⊆+(=[ ]0,∞ );

+ unita n ếu A là một unita và * *

Lưu ý: Mọi phần tử là một tổ hợp tuyến tính của hai phần tử tự liên hợp

trong a Hơn nữa, đẳng cấu này biến một đa thức P vào trong ( ) P a và liên hợp

phức z z vào trong a Do đó, ta viết ( )j f = f a( ) và hiểu rằng ( ( )) ( ( ))

1.3 ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ TÍCH TENSOR

Cho A1, A2 là các C -* đại số Tích tensor đại số A1⊗A2 là một *-đại số

với phép nhân và phép liên hợp cho bởi

A⊗M  có thể đồng nhất với M n( ) , *-đại số của ma trận n n× đi từ A,

với tích và liên hợp được đưa ra theo cấu trúc ma trận

Định nghĩa 1.3.1: Cho A là một *-đại số Đặt A A= ⊕  (t ổng trực tiếp của các không gian vectơ) và

(a,a)(b,b) (:= ab+ba+a abb, )

, : ,

a a = a a

Ta định nghĩa ι: A→A và π : A →  b ởi ( ) ( ,0)ι a = a , π( , )a a = a (nghĩa

là ι ι= A ,π π=  trên t ổng trực tiếp sử dụng bên trên)

1.4 ĐỒNG LUÂN CHO CÁC UNITA

Định nghĩa 1.4.1 Cho X là một không gian tôpô Khi đó, x y, ∈X là đồng luân trên X, xh y trên X nếu tồn tại một ánh xạ liên tục f : 0,1[ ]→ vX ới

(0)

f = x và f(1)= y

Quan hệ h là một quan hệ tương đương trong X

: ( ) t

f t  f t = f trên được gọi là đường liên tục từ x đến y Trong không gian

vectơ, hai phần tử bất kì đồng luân nếu có đường t (1−t x) +ty

với giá trị trên  thì f h( )* = f h( )= f−1( )h , tức là ( )f h là unita Hơn nữa,

exp( )ih cũng là unita Với t∈[ ]0,1 , ta định nghĩa f sp h t : ( )→ bởi

( ) : exp( )

t

f x = itx Khi đó, vì tính liên tục của t  f t, đường t f h t( ) liên

tục trên ( )A nên exp( )ih = f h1( )h f h0( ) 1.=

(ii) Nếu sp u( )∈ thì tồn tại θ∈ sao cho exp( )iθ ∉sp u( ) Lưu ý rằng

(exp( )it ) t

ϕ = là hàm ϕ liên tục trên với giá trị trên khoảng mở

(θ θ, +2π)⊆  Ta có z=exp( ( ))iϕ t với z∈sp u( ) Khi đó, h =ϕ( )u là

phần tử tự liên hợp của A với u=exp( )ih và theo (i) ta có u∈ 0( ).A

(ii) 0( )A là quan h ệ mở và đóng với ( )A

(iii) u∈ 0( )A n ếu và chỉ nếu có hữu hạn tự liên hợp h1, ,h n∈A sao cho u=exp(ih1) exp(ih n).

(i) ϕ(0( )A )=0( ).B

(ii) ∀ ∈u ( ),B ∃ ∈v 0(M2( )) :A

0( )

0

u v

Ch ứng minh

Với bất kì *-đồng cấu unita liên tục và là ánh xạ đi từ unita vào unita thì

( 0( )A ) 0( ).B

ϕ  ⊆ Ngược lại, theo Mệnh đề 1.4.1(iii) nếu u∈ 0( )B thì tồn

tại tự liên hợp h j∈ sao cho B

j j j

a a

= là tự liên hợp thỏa ( )ϕ k j =h j Đặt

u

M A u

Mệnh đề 1.4.2 Cho A là một *

C - đại số unita (i) N ếu a∈GL A( ) thì a ∈GL A( ) và a a−1∈ ( ).A

(ii) Cho ϕ:GL A( )→ ( )A được định nghĩa bởi 1

GL A Do đó, tính liên tục của ω đủ để kết luận rằng a liên tục a

Xét a và a* h  (h A h12 ∈ +) Các ánh xạ liên tục do tính liên tục của

* và phép nhân Nó đủ để kết luận tính liên tục của căn bậc hai trên bất kì bó

(iii) Nếu t a t là đường liên tục trên GL A t( ) ừ u đến v thì t ω( )a t

cũng là đường trên ( ). A

Mệnh đề 1.4.3 Cho A là một *

C - đại số unita Cho a∈GL A( ) và b ∈ v A ới

1 1

1.5 S Ự TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC PHÉP CHIẾU

Định nghĩa 1.5.1 Tập hợp của các phép chiếu trên một *

+ p  nếu và chỉ nếu tồn tại v A q ∈ v ới *

p=v v và q=vv* (tương đương Murray-von Neumann),

+ p u q n ếu và chỉ nếu tồn tại u∈ ( )A v ới *

q=upu (tương đương unita)

Nghĩa là a giao hoán với 2

z Vì vậy, a giao hoán với tất cả các phần tử của

q =upu với u∈0( )A và tu t là đường liên tục trên 0( )A

nối liền 1( 1 )= A và u Khi đó *

t t

t u pu là đường liên tục của phép chiếu trên

A (A là một ideal trên A)

Ngược lại, nếu ph q thì tồn tại p= p p0, 1, ,p n∈�( )A sao cho

1

12

z = pq+ − p − ∈q A thỏa mãn

z

p = pq=zq (1.5.3)

và z− =1 p q( − p)+ −(1 p)(1−q)− −(1 p) ≤2 p− < (xét 2q 1 p− 1 dưới phép đẳng cự *

Kí hiệu M2( )A được xem như là một đại số con unita của M2( )A theo ánh

Cho M m n, ( )A là tập hợp ma trận-m n× mà các phần tử của nó lấy trong A

Liên hợp của một ma trận là tổ hợp các ma trận liên hợp với liên hợp trên A

Định nghĩa 1.6.1 Ta định nghĩa một phép toán hai ngôi ⊕ trong ∞( )A b ởi

00

(i) ∀ ∈n : p0 p⊕0n (0n là phần tử không của M n( )A ),

0

n m

m n

q u

p

 , với 0k l, là phần

tử không của M k l, ( ).A Khi đó u3∈M n m+ ( )A và p⊕ =q u u3 3* 0 u u3 3* = ⊕q p

(iv) Nếu pq= thì 0 p+q là phép chiếu Đặt u4 p M2 ,n n( ).A

[ ]p ∈( )A là kí hiệu lớp tương đương của p∈∞( ).A

B ổ đề 1.6.1 Biểu thức [ ] [ ] [p  + q  = p⊕q] xác định một toán tử tuyến tính trong ( )A tạo thành nửa nhóm abel

Chương 2 K0-NHÓM CHO CÁC C*- ĐẠI SỐ

Trong chương này, định nghĩa K0-nhóm sẽ được trình bày theo những ý nghĩa khác nhau, cụ thể là xem K0-nhóm như một nhóm Grothendieck trong trường hợp K0-nhóm cho các C -* đại số unita và như một K0-hàm tử trong trường hợp tổng quát Qua đó, chúng tôi sẽ trình bày các tính chất của K0-nhóm như tính phổ dụng, tính hàm tử, tính bất biến và một số tính chất nâng cao khác

2.1 XÂY DỰNG K-NHÓM THEO PHƯƠNG PHÁP GROTHENDIECK

K-lý thuyết được hình thành vào năm 1957 bởi A Grothendieck, ông là người đầu tiên nghiên cứu K A0( ) Sau đó, nhiều nhà toán học đã xây dựng K-lý

thuyết trên các phạm trù khác Sau đây là cấu trúc đầu tiên xây dựng K-lý

là m ột quan hệ tương đương

Chứng minh Quan hệ  rõ ràng có tính đối xứng và phản xạ Bây giờ, ta kiểm tra  có tính bắc cầu Thật vậy:

Cho ( ,x y1 1)( ,x y2 2) và ( ,x y2 2)( ,x y3 3)

Nghĩa là x1+y2 + =z x2 + +y1 z và x2 + y3 + =w x3+ y2+w với ,

z w∈ S

Thì x1+ y3+(y2 + +z w)=x2 + + +y1 z y3 + =w x3+ +y1 (y2 + +z w)

Hay ( ,x y1 1)( ,x y3 3)

Đặt G S( ) : (= S×S)/ và x y, là lớp của ( )x y,

Bổ đề 2.1.2 Toán tử

1, 1 2, 2 1 2, 1 2

x y + x y = x +x y + y định nghĩa tốt và cảm sinh một nhóm abel (G S( ),+ Ph) ần tử nghịch đảo và phần tử không cho bởi

2.1.2 Các tính ch ất của Nhóm Grothendieck của một nửa nhóm giao hoán

Định nghĩa 2.2.1 Một nửa nhóm abel (S,+ ) được gọi là có giản ước đại số

không có tính khử và nhóm Grothendieck tương ứng là { }0 Thật vậy, từ

x+ ∞ = ∞ + ∞ không cho ra x= ∞ và x y, = x x, với mọi x y, ∈ ∪ ∞ { },

vì x+ + ∞ = + + ∞ = ∞x y x ∀x y, ∈ ∪ ∞ { }

Mệnh đề 2.1.1 Cho (S,+ là n) ửa nhóm abel

(i) N ếu H là nửa nhóm abel, : Sϕ → c H ộng tính thì có duy nhất đồng

c ấu nhóm ψ : ( )G S →H sao cho ϕ ψ γ=  (tính ph ổ dụng)

(ii) Nếu : Sϕ → là m T ột đồng cấu (ánh xạ cộng) của nửa nhóm abel

thì có duy nh ất đồng cấu nhóm ( ) : ( ) G ϕ G S →G T( ) sao cho

(vi) Ánh x ạ γS :S →G S( ) là n ội xạ n ếu và chỉ nếu S có tính khử

nghĩa là ∃ ∈w S:(x+ y)+ + =x w (y+x)+ +y w

Vì vậy x+ = +z y z với z= + +x y w

(v) Được suy trực tiếp từ (iv)

(i) Nếu ψ tồn tại thì nó thỏa ψ( x y, )=ϕ( )x −ϕ( )y sao cho ψ γ S =ϕ Khi đó, tính cộng tính của ψ có được từ tính cộng tính của ϕ và tính duy

nhất do (iii)

Để chứng tỏ ψ tồn tại, ta giả sử x y1, 1 = x y2, 2 ,

nghĩa là ∃ ∈z S x: 1+ y2 + =z x2 + +y1 z.

Khi đó ϕ( )x1 +ϕ( )y2 +ϕ( )z =ϕ( )x2 +ϕ( )y1 +ϕ( )z trên H (do tính cộng tính của ϕ

Vì H là một nhóm nên ta có ϕ( ) ( )x1 −ϕ y1 =ϕ( ) ( )x2 −ϕ y2 , điều này cho

thấy rằng ψ được định nghĩa tốt bởi công thức ψ ( x y, )=ϕ( )x −ϕ( )y

(ii) γ ϕT  :S →G T( ) là ánh xạ cộng tính vào trong nhóm ( )G T , vì vậy, theo (i) tồn tại duy nhất đồng cấu nhóm ( ) : ( )G ϕ G S →G T( ) sao cho

( )

(vi) Một tập con khác rỗng bất kỳ của một nhóm abel mà đóng dưới phép

cộng là một nửa nhóm abel với tính khử Ánh xạ ι: S →H cộng tính và cho

bởi (i) mở rộng đến một đồng cấu nhóm : ( )ψ G S →H sao cho ψ γ S =ι, nghĩa là ψ γ( S( ))x =x với x∈ S

Theo (iii), ψ( ( ))G S ={x−y x y, ∈S}=H0 Nếu ψ γ( S( )x −γS( ))y =0 thì

x = và vì vy ậy γS( )x −γS( )y =0, nghĩa là ψ nội xạ

2.2 ĐỊNH NGHĨA K-NHÓM CHO MỘT C*-ĐẠI SỐ UNITA

Ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi s trong ∞( )A như sau: p s q

nếu và chỉ nếu tồn tại một r∈∞( )A sao cho p⊕r 0 q⊕r

Quan hệ s là một quan hệ tương đương Hơn nữa, quan hệ có thể được định nghĩa tương đương như sau:

(iv) N ếu p q, ∈n( )A và p h q trên n( )A thì [ ] [ ]p 0 = q 0,

(v) [ ] [ ]p 0 = q 0 n ếu và chỉ nếu ps q v ới p q, ∈∞( )A

(iii) N ếu p h q trong n( )A thì ν( )p =ν( ).q

Thì t ồn tại duy nhất đồng cấu K A0( )→G sao cho sơ đồ sau giao hoán

C -đại số unita đến phạm trù các nhóm abel

Cho ϕ: A→ là mB ột *-đồng cấu giữa các *

C - đại số unita Với mỗi n, nó

Mệnh đề 2.2.3 Cho :ϕ A→B, ψ : B → là các *- C đồng cấu giữa các

Thật vậy, ta xây dựng cái nghịch đảo của K0( )ϕ như sau:

Với mỗi k, lấy γk :M k(M n( )A )→M kn( )A là đẳng cấu

(ii) N ếu A là tương đương đồng luân theo Aϕ→ → thì B ψ A

Định nghĩa 2.3.1 Cho A không phải là một C -đại số unita và A là phân *

ho ạch cực tiểu của nó Ta có dãy khớp chẻ ra

đó, trong trường hợp tổng quát, ta có ánh xạ [ ] :0 ∞( )A →K A0( )

Nếu A là unita thì ta có thể viết tổng trực tiếp (của *

C -đại số) A A= ⊕  Cho π là một toàn ánh tự nhiên từ A vào , ta có K A0( )=Ker(K0( ))π

2.3.1.1 Tính ch ất hàm tử của K 0

Cho ϕ: A→B là một *-đồng cấu thì sơ đồ sau giao hoán

Theo tính chất hàm tử của K0 cho C -* đại số unital ta có sơ đồ sau giao hoán

Và tồn tại duy nhất ánh xạ K0( ) :ϕ K A0( )→K B0( ) để hoàn thành sơ đồ

Thì sơ đồ sau cũng giao hoán và các hàng là dãy khớp chẻ ra

Khi đó K0(ϕA) đẳng cấu nếu cả K0(ϕA) và K0(ϕ) đẳng cấu

Hơn nữa CA tương đương đồng luân với { }0

Thật vậy, với t∈[ ]0,1 , đặt ϕt :CA→CA với ( )( )ϕt f s = f st( )

Khi đó với mỗi f ∈CA, ánh xạ tϕt( )f liên tục và ϕ0 =0, ϕ1 =id Ta

kết luận rằng K CA0( )=0

2.3.1.2 Bất biến đồng luân của K 0

Mệnh đề 2.3.2 Cho A, B là các *

C - đại số, (i) N ếu , : Aϕ ψ → là các *- B đồng cấu đồng luân thì K0( )ϕ =K0( ),ψ

(ii) N ếu Aϕ→ →B ψ C là đồng luân thì K0( )ϕ và K0( )ψ đẳng cấu

và là ngh ịch đảo của nhau

Ch ứng minh Vì ϕ và ψ là đồng luân nên chúng mở rộng unita ϕ và ψ

đến A cũng đồng luân, khi  