Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

Nguyễn Thị Huyền My TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2016... Nguyễn Thị Huyền My TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐU

Nguyễn Thị Huyền My

TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016

Nguyễn Thị Huyền My

TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả của luận văn

là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì công trình nào khác Mọi sự giúp

đỡ cho việc thực hiên luận văn này đã được cám ơn và các thông tin trích dẫn trong luậnvăn đều được ghi rõ nguồn gốc

Tác giảNguyễn Thị Huyền My

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Trần TuấnNam Nhân dịp này, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS TSKH Nguyễn Tự Cường ở Viện Toán học ViệtNam, GS TS Bùi Xuân Hải, PGS TS Mỵ Vinh Quang, PGS TS Bùi Tường Trí, TS.Trần Huyên, TS Phạm Thị Thu Thủy, cùng toàn thể các thầy cô khoa Toán - Tin học vàPhòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảngdạy và trang bị cho tôi các kiến thức về Đại số, đặc biệt là Đại số giao hoán.

Tôi cũng chân thành cảm ơn cán bộ, giáo viên trường Trung học phổ thông chuyênHùng Vương, tỉnh Bình Dương nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất

để tôi hoàn thành chương trình học tập của mình

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bố mẹ và các bạn học trong lớp Đại số và lí thuyết

số khóa 25 đã luôn giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình làm luận văn

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 31 tháng 8 năm 2016

Nguyễn Thị Huyền My

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một số kết quả về đại số giao hoán 3

1.2 Bao nội xạ và chiều của môđun 5

1.3 Đối đồng điều địa phương theo một iđêan 7

1.4 Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan 8

1.5 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan 10

1.6 Phạm trù con Serre 10

Chương 2 TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN 11

2.1 Môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan 11

2.2 Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan 19

2.3 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan 28

2.4 Môđun(S, I, J )-cominimax 33

KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các kí hiệu

Mp: địa phương hóa của môđunM theo iđêan nguyên tố p.Ann(x) linh hóa tử của phần tửx ∈ M.

HomR (M, N ): tập các đồng cấuR-môđun từ M vàoN

ExtiR(M, N ): tích mở rộngi-chiều trên vành Rcủa các môđunM vàN.E(M ): bao nội xạ của môđun M.

µi(p, M ): số Bass thứicủa môđunM đối với iđêan p

GdimM: chiều Goldie của môđunM

GdimI M: chiều Goldie của môđunM đối với iđêanI.

IdM: chiều nội xạ của môđunM

ΓI(M ): môđun conI-xoắn của môđun M

ΓI(−): hàm tửI-xoắn.

HIi(−): hàm tử đối đồng điều địa phương thứ itheo iđêan I.

HIi(M ): môđun đối đồng điều địa phương thứitheo iđêanI.

TorRi (M, N ): tích xoắni-chiều trên vành R của các môđunM vàN

ΓI,J(M ): môđun con(I, J )-xoắn của môđun M

ΓI,J(−): hàm tử(I, J )-xoắn.

HI,Ji (−): hàm tử đối đồng điều địa phương thứ itheo cặp iđêan(I, J ).

HI,Ji (M ): môđun đối đồng điều địa phương thứitheo cặp iđêan(I, J ).Spec(R): tập các iđêan nguyên tố của vànhR.

Supp(M ): giá của môđun M.

Ass(M ): tập các iđêan nguyên tố liên kết củaM

Min(M ): tập các iđêan tối tiểu của Supp(M )theo quan hệ bao hàm.Max(R): tập các iđêan nguyên tối đại của vànhR.

V (I): tập các iđêan nguyên tố chứaI

Đã có nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phươngđối với iđêan I về một số tính chất như tính hữu hạn sinh, triệt tiêu, Artin, đặc biệt làtính cofinite và minimax.

Vào năm 1986, H Zoschinger đã đưa ra một khái niệm hoàn toàn mới, đó là môđun

minimax trong bài báo Minimax - Moduln (xem [18]) Cũng từ đó, ba nhà toán học J.

Azami, R Naghipour và B Vakili đã mở rộng khái niệm minimax thành môđun minimax và môđunI-cominimax trong bài báo Finiteness properies of local cohomology

I-module for a-minimax I-modulesvào năm 2009 (xem [3]) Từ khái niệm môđunI-cofiniteđược đưa ra bởi Hartshorne vào năm 1970, Donatella Defino và Thomas Marley đã

nghiên cứu lại và mở rộng trong bài báo Cofinite modules and local cohomology (xem

[10]) Không dừng lại ở đó, cũng vào năm 2009, ba nhà Toán học người Nhật Bản gồmRyo Takahashi, Yuji Yoshino và Takeshi Yoshizawa đã xây dựng khái niệm môđun đốiđồng điều địa phương theo một cặp iđêan(I, J )- một mở rộng tự nhiên của môđun đốiđồng điều địa phương đối với iđêan I, nhờ vào việc định nghĩa tập W (I, J ) = {p ∈Spec(R)|∃n ∈N∗: In ⊆p+ J }, trong bài báo Local cohomology based on a nonclosed

support defined by a pair of idealsnăm 2009 (xem [16])

Từ đó, ta hoàn toàn có thể mở rộng các khái niệm môđun I-xoắn, I-minimax, cominimax vàI-cofinite lên thành môđun(I, J )-xoắn, (I, J )-minimax, (I, J )-cominimax

I-và(I, J )-cofinite thông qua hai bài báo Minimaxness of local cohomology modules

de-fined by a pair of idealscủa A.Abbasi và H Roshan Shekalgourabi vào năm 2012 (xem

[2]) và Cofiniteness of local cohomology based on a nonclosed support defined by a pair

of idealscủa A.Tehranian và A.Pour Eshmanan Talemi vào năm 2010 (xem [17]).Năm 2012, bằng việc sử dụng khái niệm phạm trù con Serre của phạm trù cácR-môđun, Kh Ahmadi-Amoli và M Y Sadeghi đưa ra định nghĩa môđun (S,I, J )-

cominimax và được đăng trong tạp chí Journal of Mathematical Extension vào năm

2013 với bài báo On the local cohomology modules defined by a pair of ideals and serre

subcategory(xem [5]) Chú ý rằng, lớp gồm các môđunJ-minimax và môđun hữu hạnsinh trên vành Noether đều tạo thành phạm trù con Serre Vì vậy, bài báo này chính là sựkhái quát của hai bài báo [2] và [17]

Luận văn chủ yếu trình bày lại các kết quả trong tài liệu [2], [5], [16] và [17].Chương 1 Hệ thống lại một số kiến thức cần nắm để hiểu được nội dung chính củaluận văn Cụ thể, các kết quả về đại số giao hoán, môđun đối đồng điều địa phương theomột iđêan, tính Artin, minimax, cofinite theo một iđêan và phạm trù con Serre dựa vàotài liệu [3], [4], [8], [9], [11], [12], [13], [15] ,

Chương 2 Được chia làm 4 phần Cụ thể, trong 2.1, tôi trình bày lại các kếtquả về môđun đối đồng đều địa phương theo một cặp iđêan dựa vào bài báo [16].Kết quả quan trọng được đưa ra trong phần này là Bổ đề 2.1.15 " Với mọi M là R-môđun thì Exti−1R (R/I, L) ∼ = ExtiR(R/I, M ) vàHI,Ji−1(L) ∼ = HI,Ji (M )với mọii > 0", với

M = M/ΓI,J(M ), E là bao nội xạ củaM vàL = E/M Đây là công cụ hữu ích trong cácchứng minh quy nạp ở phần sau Trong 2.2, trình bày khái niệm môđun(I, J )-cominimax

và nghiên cứu tínhJ-minimax của môđun ExtiR(R/I, HI,Jj (M )), với i = 0, 1, 2 dựa vàotài liệu [2] Trong 2.3, đưa vào khái niệm môđun(I, J )-cofinite và nghiên cứu tính hữuhạn sinh của môđun ExtiR(R/I, HI,Jj (M )), với i = 0, 1, 2dựa vào tài liệu [17] Cuối cùng,trong 2.4, định nghĩa môđun(S, I, J )-cominimax, với S là phạm trù con Serre Từ đó,nghiên cứu các điều kiện của HI,Ji (M ) để ExtiR(R/I, HI,Jn (M )) thuộc phạm trù con Strong các trường hợpi = 0, 1, 2.dựa vào [5]

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình làm luận văn, nhưng do kiến thức hạnchế và thời gian hạn hẹp nên không tránh khỏi sai sót Rất mong sự nhận xét và góp ý từcác thầy cô và các bạn, để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số kết quả về đại số giao hoán

Định nghĩa 1.1.1 ChoM làR-môđun Ta định nghĩa một số tập sau:

Spec(R) = {p/ R|plà iđêan nguyên tố}

Supp(M ) = {p∈Spec(R)|Mp 6= 0}được gọi là giá củaM

Ass(M ) = {p ∈ Spec(R)|∃x ∈ M \ {0} : p = Ann(x)} được gọi là tập các iđêannguyên tố liên kết củaM

Min(M ) = {p∈Supp(M )|plà iđêan tối tiểu theo quan hệ bao hàm}

Max(R) = {p/ R|plà iđêan tối đại}

V (I) = {p ∈Spec(R)|I ⊆p}

0 //L f //M g //N //0

Khi đó,

(i) Supp(M ) =Supp(L) ∪Supp(N ).

(ii) Ass(L) ⊆Ass(M ) ⊆ Ass(L) ∪Ass(N ).

(i) V (I) =Supp(R/I).

(ii) NếuM là hữu hạn sinh thì Supp(HomR (M, N )) ⊆ Supp(M ) ∩Supp(N ), với mọi N

làR-môđun.

(iii) Supp(M/IM ) ⊆Supp(M ) ∩ Supp(R/I) Dấu bằng xảy ra khiM hữu hạn sinh.

(i) Min(M ) ⊆Ass(M ) ⊆ Supp(M ).

(ii) Ass(M ) =∅ khi và chỉ khiM = 0.

(iii) Supp(M ) =∅ khi và chỉ khiM = 0.

(i) Ass(M )là tập hữu hạn.

(ii) Ass(HomR(M, N )) = Supp(M ) ∩ Ass(N ), với mọi N là R-môđun Hơn nữa, tập

Ass(HomR(M, N )) cũng là hữu hạn.

Bổ đề 1.1.6 (Bổ đề Artin - Ress) ChoRlà vành Noether,Ilà iđêan củaR,Mlà hữu hạn sinh vàN là môđun con củaM Khi đó, tồn tại số tự nhiênksao choIn+1M ∩ N = I(InM ∩ N )với mọin ≥ k.

Định nghĩa 1.1.7 ChoM làR-môđun M gọi là có độ dài hữu hạn nếu tồn tại dãy tăngcác môđun con củaM: 0 = M0 ⊆ M1 ⊆ ⊆ Mn = M sao choMi/Mi−1 là môđunđơn với mọii > 0.

(i) M có độ dài hữu hạn.

(ii) Supp(M ) ⊆ M ax(R).

(iii) Ass(M ) ⊆ M ax(R).

(iv) Supp(M ) = Ass(M ).

hữu hạn sinh và Artin.

0 //N f //M g //L //0

(i) NếuM là hữu hạn sinh thìLlà hữu hạn sinh.

(ii) NếuN vàLlà hữu hạn sinh thìM là hữu hạn sinh.

(iii) NếuRlà vành Noether vàM là hữu hạn sinh thìN là hữu hạn sinh.

(iv) ChoR là vành Noether và dãy sau khớp tạiM

//N f //M g //L //

Khi đó, nếuN vàLlà hữu hạn sinh thìM là hữu hạn sinh.

ExtiR(N, M ) = 0với mọiN làR-môđun vài > 0.

Định lí Gruson ChoM làR-môđun hữu hạn sinh Khi đó, với mọiR-môđunN đều tồn tại một lọc các môđun con của N: 0 = N0 ⊆ N1 ⊆ ⊆ Nt = N thỏa Ni/Ni−1 là ảnh đồng cấu của tổng trực tiếp hữu hạn các bản sao củaM, vớii = 1, 2, , t.

đó, ExtnR(M, N )là hữu hạn sinh với mọin ≥ 0.

1.2 Bao nội xạ và chiều của môđun

(i) Lđược gọi là mở rộng cốt yếu củaM nếuN ∩ M 6= 0, với mọi N là môđun con kháckhông củaL.

(ii) Lđược gọi là bao nội xạ củaM nếuLlà môđun nội xạ và mở rộng cốt yếu củaM

Nhắc lại 1.2.2.

(i) M là môđun nội xạ khi và chỉ khiM chỉ có một mở rộng cốt yếu làM

(ii) ChoM là R-môđun Khi đó, tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu) một bao nội

xạ củaM Ta gọiE là một bao nội xạ củaM Kí hiệuE = E(M ).

được nếuM không thể viết thành tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự

Nhắc lại 1.2.4.

(i) Với mọi p∈ Spec(R), môđun nội xạE(R/p)là không phân tích được Hơn nữa, nếu

M là môđun nội xạ không phân tích được thìM = E(R/p)với p∈Spec(R)

(ii) ChoM làR-môđun và E là bao nội xạ củaM Khi đó, Ass(M ) =Ass(E) Đặc biệt,Ass(E(R/p)) = {p}với mọi p∈Spec(R)

Định nghĩa 1.2.5 ChoM làR-môđun Phép giải nội xạ tối tiểu của M là dãy các môđunnội xạ

I• : 0 //I0 d0 //I1 d2 // //Ii di //Ii+1 //

sao choIn là mở rộng cốt yếu củaKerdn với mọin ≥ 0.

Cho M làR-môđun Gọi E(M )là bao nội xạ củaM Theo 11.1.2 và 11.1.3 trong[16], tồn tại duy nhất (theo nghĩa đẳng cấu) một phép giải nội xạ tối tiểu I• Khi

đó, ta kí hiệu Ei(M ) là thành phần thứ i của phép giải nội xạ tối tiểu I• Theo11.1.2 E0(M ) ∼ = E(M ) Theo 11.1.4 Ei(M ) ∼ = M

p∈Spec(R)

µi(p, M )E(R/p) Trong

đó,µi(p, M )được gọi là số Bass thứicủa môđunM đối với p Theo Định lí 11.1.8

µi(p, M ) = dimk(p)ExtiRp(k(p, Mp)), với k(p) = Rp/pRplà trường thặng dư của vànhđịa phương R p Từ 10.1.10 và 10.1.15 suy ra µ0(p, M ) > 0 khi và chỉ khi p ∈ AssM Khi đó, E(M ) ∼ = E0(M ) ∼ = M

p∈Ass(M )

µ0(p, M )E(R/p), trong đó µ0(p, M ) =

dimk(p)HomRp(k(p, Mp)) Từ đó, ta định nghĩa chiều Goldie.

Định nghĩa 1.2.6 ChoM làR-môđun và I là iđêan củaR.

hiệu là idM và được xác định như sau

idM =inf{n ∈N|tồn tại phép giải nội xạ củaM có độ dài ≤ n}.

Mệnh đề 1.2.8 Cho số nguyênn ≥ −1vàM làR-môđun Khi đó, các điều kiện sau là

tương đương:

(i) Tồn tại phép giải nội xạ củaM có độ dài ≤ n.

(ii) ExtiR(N, M ) = 0với mọiN làR-môđun vài > n.

1.3 Đối đồng điều địa phương theo một iđêan

ΓI(M ) := {x ∈ M |∃n ∈N∗ : Inx = 0} = ∪(0 :M In)

Khi đó,ΓI(M )làR-môđun con của M và gọi là R-môđun con I-xoắn củaM.

M được gọi làR-môđun I-xoắn nếu ΓI(M ) = M

M được gọi làR-môđun I-không xoắn nếu ΓI(M ) = 0.

Với mỗi đồng cấuR-môđun f : M −→ N, ta cóf (ΓI(M )) ⊆ ΓI(N )và do đóf cảmsinh đồng cấuΓI(f ) : ΓI(M ) −→ ΓI(N )là thu hẹp củaf trên ΓI(M ) Từ đó ta xâydựng được hàm tử ΓI(−)là hàm tử hiệp biến tuyến tính từ phạm trù cácR-môđunvào chính nó và gọi là hàm tửI-xoắn.

Định nghĩa 1.3.2 Với mỗi i ∈ N, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI(−) được kí hiệu

là HIi(−) và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêanI VớimỗiM làR-môđun, HIi(M )được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứitheoiđêanI.

Mệnh đề 1.3.3. R-môđunM làI-xoắn khi và chỉ khiSupp(M ) ⊆ V (I).

(N :M I) = {x ∈ M |Ix ⊆ N }là môđun con củaM Trong trường hợpN = 0, ta cómôđun con(0 :M I) = {x ∈ M |Ix ⊆ N }.

(0 :M I).

Mệnh đề 1.3.6 NếuM làR-môđunI-xoắn thỏa(0 :M I)là Artin thìM là Artin.

1.4 Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan

con củaM thỏa M/N là môđun Artin

Đặc biệt, trong trường hợp R là vành Noether thì M là minimax khi và chỉ khiGdimRM/N < ∞, với mọi N là môđun con củaM

Định nghĩa 1.4.2 ChoRlà vành Noether vàIlà iđêan củaR M được gọi làI-minimax(hoặc M là minimax đối với iđêan I ) nếu GdimIM/N < ∞, với mọi N là môđuncon củaM

(i) NếuI = 0thìM làI-minimax khi và chỉ khi M là minimax

môđunI-xoắn.

(iii) NếuM là môđun Noether hoặc Artin thìM làI-minimax.

0 //L f //M g //N //0.

Khi đó,M làI-minimax khi và chỉ khiLvàN làI-minimax.

Hệ quả 1.4.5.

(i) Lớp các môđunI-minimax đóng với phép lấy môđun con và môđun thương.

(ii) Cho dãy khớp dài cácR-môđun

//L f //M g //N //

Khi đó, nếuLvàN là môđunI-minimax thìM cũng làI-minimax.

Thật vậy, do dãy trên khớp tạiM nên ta có dãy khớp ngắn sau

ii ExtiR(R/I, M )làI-minimax với mọi i ≥ 0.

0 //L f //M g //N //0.

Nếu hai trong ba môđun L, M, N là I-cominimax thì môđun còn lại cũng là I cominimax.

một trong ba môđunKerf, Imf vàCokerf làI-cominimax thì cả ba môđun đều là

1.5 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan

Định nghĩa 1.5.1 ChoM làR-môđun M được gọi làI-cofinite nếu thỏa các điều kiệnsau:

i Supp(M ) ⊆ V (I)

ii ExtiR(R/I, M )làR-môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0.

I-cofinite nếu và chỉ nếu(0 :M I)có độ dài hữu hạn Hơn nữa, nếu tồn tạia ∈ I sao cho(0 :M a)là Artin vàI-cofinite thìM là Artin vàI-cofinite.

-cofinite khi và chỉ khi(0 :M I)là hữu hạn sinh Hơn nữa, nếu tồn tại x ∈ I sao cho

(0 :M x)làI-cofinite thìM làI-cofinite.

1.6 Phạm trù con Serre

Serre nếu với mọi dãy khớp ngắn cácR-môđun

Chương 2 TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN

Trong chương này, ta luôn giả sửR là vành Noether, giao hoán và có đơn vị1 6= 0 I, J

là các iđêan của vànhRvàM là mộtR-môđun Đặt M = M/ΓI,J(M ) Gọi E là bao nội

xạ củaM vàL = E/M

2.1 Môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

Định nghĩa 2.1.1 Ta định nghĩa ΓI,J(M ) = {x ∈ M |∃n ∈ N∗ : Inx ⊆ J x} Khi đó,

ΓI,J(M )là một môđun con củaM và gọi là môđun con(I, J )-xoắn

M được gọi làR-môđun(I, J )-xoắnnếuM = ΓI,J(M ).

M được gọi làR-môđun(I, J )-không xoắnnếuΓI,J(M ) = 0.

Từ định nghĩa củaΓI,J(M ), ta có nhận xét sau:

i Dễ thấyΓI(M ) ⊆ ΓI,J(M ) Từ đó suy ra, nếu M làR-môđun (I, J )-không xoắn thì Mcũng làR-môđun I-không xoắn.

ii Phần tửx ∈ ΓI,J(M )khi và chỉ khi∃n ∈N∗ sao choIn ⊆Ann(x) + J

Thật vậy, vớix ∈ ΓI,J(M )tồn tạin ∈N∗ sao choInx ⊆ J x Khi đó, với mọi a ∈ In,

ta có ax ∈ J x Suy ra, tồn tại b ∈ J : ax = bxhay(a − b)x = 0, suy raa − b ∈Ann(x).Từ đóa = (a − b) + b ∈ Ann(x) + J Ngược lại, nếu x ∈ M và In ⊆Ann(x) + J,vớin ∈N∗ Ta cóInx ⊆Ann(x)x + J x = J x Suy rax ∈ ΓI,J(M ).

iii Chof : M −→ N là đồng cấuR-môđun Khi đó f (ΓI,J(M )) ⊆ ΓI,J(N ).

Thật vậy, với f (x) ∈ f (ΓI,J(M )), x ∈ ΓI,J(M ) thì theo ii tồn tại n ∈ N∗ : In ⊆Ann(x) + J Mà Ann(x) ⊆ Ann(f (x)) nên In ⊆ Ann(f (x)) + J Từ đó f (x) ∈

ΓI,J(N ).

Khi đó, ta ánh xạ ΓI,J(f ) : ΓI,J(M ) −→ ΓI,J(N ), x 7−→ f (x) cũng là đồng cấuR-môđun trên ΓI,J(M ) Từ nhận xét iii ta định nghĩa hàm tử sau:

Định nghĩa 2.1.3 Gọi Mlà họ tất cả R-môđun Xét ΓI,J(−) : M −→ M Vật M 7−→

ΓI,J(M ) Cấu xạ f 7−→ ΓI,J(f ), với f : M −→ N là đồng cấu R-môđun Khi đó

ΓI,J(−)là một hàm tử hiệp biến thỏaΓI,J(f + g) = ΓI,J(f ) + ΓI,J(g)với mọif, glàđồng cấuR-môđun và ΓI,J(r.f ) = rΓI,J(f )với mọir ∈ R, f là đồng cấuR-môđun.

Vì vậy, ΓI,J(−) là hàm tử hiệp biến và tuyến tính từ phạm trù các R-môđun vàochính nó Ta gọiΓI,J(−)là hàm tử (I, J )-xoắn Trong trường hợpJ = 0thì hàm tử

ΓI,J(−)trùng với hàm tửΓI(−).

Bổ đề 2.1.4 Hàm tửΓI,J(−)bảo toàn tính khớp trái.

Chứng minh. Xét dãy khớp ngắn cácR-môđun

0 //L f //M g //N //0.

Ta chứng minh dãy sau khớp

0 //ΓI,J(L)ΓI,J (f ) //ΓI,J(M )ΓI,J (g) //ΓI,J(N ).

Thật vậy, doflà đơn cấu nênΓI,J(f )là đơn cấu Ta cóΓI,J(g)◦ΓI,J(f ) = ΓI,J(gf ) =

ΓI,J(0) = 0, suy ra Im(ΓI,J (f )) ⊆ Ker(ΓI,J (g)) Lấy x ∈ Ker(ΓI,J (g)) Khi đó 0 =

ΓI,J(g)(x) = g(x), suy ra x ∈Kerg =Imf, suy ra tồn tạiy ∈ Lsao chox = f (y) Tachứng minhy ∈ ΓI,J(L) Thật vậy, do x ∈ ΓI,J(M )nên tồn tại n ∈ N∗ : Inx ⊆ J x.Với mọia ∈ In suy raax ∈ J x Từ đó tồn tại b ∈ J : ax = bx Suy ra f (ay − by) =

af (y) − bf (y) = ax − bx = 0 Mặt khác, f là đơn cấu nên ay = by ∈ J y, suy ra

Iny ⊆ J y Vậy x = f (y) ∈Im(ΓI,J(f )) Từ đó Ker(ΓI,J(g)) ⊆ Im(ΓI,J(f )).

Định nghĩa 2.1.5. W (I, J ) = {p ∈Spec(R)|∃n ∈N∗ : In ⊆ J +p}

Khi đó, dễ dàng chứng minh được V (I) ⊆ W (I, J ) Hơn nữa, trong trường hợp

J = 0thìW (I, J ) ≡ V (I).

(i) M làR-môđun(I, J )-xoắn.

(ii) M in(M ) ⊆ W (I, J ).

(iii) Ass(M ) ⊆ W (I, J ).

(iv) Supp(M ) ⊆ W (I, J ).

Chứng minh. Do Min(M ) ⊆ Ass(M ) ⊆Supp(M )nên(iv) ⇒ (iii) ⇒ (ii).

(ii) ⇒ (iv) Lấy p ∈ Supp(R) Khi đó theo định nghĩa của tập Min(M ), tồn tại

q∈ Min(M ) : q⊆ p Do q∈ W (I, J)nên tồn tạin ∈ N∗ : In ⊆ J +q ⊆ J +p Từ

đó suy ra p∈ W (I, J).

(i) ⇒ (iii) Lấy p ∈ Ass(M ) Khi đó, tồn tại x ∈ M \ {0} : p = Ann(x) Do M

là (I, J )-xoắn nên x ∈ ΓI,J(M ), suy ra tồn tại n ∈ N∗ : In ⊆ Ann(x) + J Suy ra,

In ⊆ J +p Từ đó p∈ W (I, J).

(iv) ⇒ (i) Lấy x ∈ M Ta chứng minh tồn tại k ∈ N∗ : I k ⊆Ann(x) + J Thật vậy,đặt Min(Rx) = {p1 ,p2, ,ps} Do Min(Rx) ⊆ Supp(M ) ⊆ W (I, J ) nên tồn tạinnguyên dương sao choIn ⊆ J +pi với mọii = 1, 2, , s Suy ra Ins ⊆ J +p1.p2 ps.Mặt khác,pAnn(x) =p1 ∩p2 ∩ ∩ps ⊇p1 p 2 p s nên(p 1p2 p s )m ⊆ Ann(x), mnguyên dương Từ đó ta có Insm ⊆ J +Ann(x), suy ra x ∈ ΓI,J(M ) Hay M là(I, J )-xoắn.

Hệ quả 2.1.7.

i Phần tửx ∈ ΓI,J(M )khi và chỉ khiSupp(Rx) ⊆ W (I, J ).

R-môđun (I, J )-xoắn khi và chỉ khiL, N là(I, J )-xoắn.

iii NếuM làR-môđun(I, J )-xoắn thìM/J M làR-môđunI-xoắn Chiều ngược lại đúng nếuM là hữu hạn sinh.

Chứng minh.

i Chiều thuận Lấy x ∈ ΓI,J(M ) Khi đó ΓI,J(Rx) = Rx Thật vậy, với mọi rx ∈

Rx, r ∈ R thì Ann(x) ⊆ Ann(rx) Do x ∈ ΓI,J(M ) nên tồn tại n ∈ N∗ : I n ⊆Ann(x) + J ⊆ Ann(rx) + J, suy ra rx ∈ ΓI,J(Rx) hay Rx là (I, J )-xoắn Theo

mệnh đề 2.1.6 ta có Supp(Rx) ⊆ W (I, J ) Chiều đảo Với mọi x ∈ M sao choSupp(Rx) ⊆ W (I, J ), theo mệnh đề 2.1.6 ta có Rx là (I, J )-xoắn Từ đó suy ra

x ∈ Rx = ΓI,J(Rx) ⊆ ΓI,J(M ).

ii Do dãy khớp nên theo Mệnh đề 1.1.2 ta có Supp(M ) =Supp(L) ∪Supp(N ) Kếthợp với Mệnh đề 2.1.6 ta suy ra điều phải chứng minh

iii DoM làR-môđun (I, J )-xoắn nên theo Mệnh đề 2.1.6 ta có Supp(M ) ⊆ W (I, J ).

Từ đó, theo Mệnh đề 1.1.3 suy ra Supp(M/J M ) ⊆ Supp(M ) ∩ Supp(R/J ) =Supp(M ) ∩ V (J ) ⊆ W (I, J ) ∩ V (J ) ⊆ V (I) Vì vậy M/J M là I-xoắn (theo Mệnh

đề 1.3.3.) Ngược lại,giả sửM là hữu hạn sinh vàM/J M làI-xoắn Ta chứng minh

M là (I, J )-xoắn Với x ∈ M Ta chứng minh x ∈ ΓI,J(M ) Theo bổ đề Rees, tồn tại n nguyên không âm sao cho JnM ∩ Rx ⊆ J x Từ M/J M là I-xoắn

Artin-M là hữu hạn sinh và Mệnh đề 1.1.3 ta có Supp(M/Jn M ) =Supp(M ) ∩ V (Jn ) =Supp(M ) ∩ V (J ) =Supp(M/J M ) ⊆ V (I) Vì vậyM/JnM cũng làI-xoắn Khi đó,tồn tại m ∈ N∗ thỏa Imx ⊆ JnM Từ đó suy ra Imx ⊆ JnM ∩ Rx ⊆ J x Vì vậy

x ∈ ΓI,J(M ) Hay M là(I, J )-xoắn.

Mệnh đề 2.1.8 ChoM làR-môđun Khi đó, Ass(ΓI,J(M )) =Ass(M ) ∩ W (I, J ) Từ đó,

ΓI,J(M ) 6= 0 khi và chỉ khiAss(M ) ∩ W (I, J ) 6= ∅ Trong trường hợp J = 0 thì

Ass(ΓI(M )) = AssM ∩ V (I).

Chứng minh. Do ΓI,J(M ) là (I, J )-xoắn nên Ass(Γ I,J (M )) ⊆ W (I, J ) (Mệnh đề2.1.6.), suy ra Ass(ΓI,J(M )) ⊆ Ass(M ) ∩ W (I, J ) Ngược lại, lấy p ∈ Ass(M ) ∩

W (I, J ) Khi đó, ∃x ∈ M \ {0} : p = Ann(x) ∈ W (I, J ) Suy ra, tồn tại n > 0thỏa In ⊆ J +Ann(x) suy ra x ∈ ΓI,J(M ) Từ đó p = Ann(x) ∈ Ass(ΓI,J (M )).Theo Mệnh đề 1.1.4.ΓI,J(M ) 6= 0 khi và chỉ khi Ass(ΓI,J (M )) 6= ∅ khi và chỉ khiAss(M ) ∩ W (I, J ) 6=∅.

Hệ quả 2.1.9. HomR(R/I, M ) = 0; HomR(R/I, ΓI,J(M )) ∼ = Hom R (R/I, M ).

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.1.5 Ass(HomR (R/I, M )) =Ass(M ) ∩Supp(R/I) =Ass(M )∩V (I) ⊆Ass(M )∩W (I, J ) Mặt khác,Mlà(I, J )-không xoắn nên ΓI,J(M ) =

0 Theo Mệnh đề 2.1.8 ta có Ass(M ) ∩ W (I, J ) =∅ Từ đó Ass(Hom R (R/I, M )) =

∅ hay HomR (R/I, M ) = 0 Xét dãy khớp ngắn

0 //ΓI,J(M ) //M //M //0

Tác động hàm tử HomR (R/I, −), ta được dãy khớp

0 //HomR(R/I, ΓI,J(M )) //HomR(R/I, M ) //HomR(R/I, M )

Từ HomR (R/I, M ) = 0suy ra HomR (R/I, ΓI,J(M )) ∼ =HomR (R/I, M ).

Hệ quả 2.1.10 Cho p∈ Spec(R).

(i) Nếu p∈ W (I, J)thìE(R/p)làR-môđun(I, J )-xoắn.

(ii) Nếu p∈ W (I, J) / thìE(R/p)làR-môđun(I, J )-không xoắn.

Chứng minh. Với p∈Spec(R), ta có Ass(E(R/p)) = {p}(theo 1.2.4.)

(i) Nếu p ∈ W (I, J) thì Ass(E(R/p)) ⊆ W (I, J ) Theo Mệnh đề 2.1.6 suy raE(R/p)làR-môđun (I, J )-xoắn.

(ii) Nếu p ∈ W (I, J) / thì Ass(E(R/p)) ∩ W (I, J ) =∅ Theo Mệnh đề 2.1.8 suy ra

ΓI,J(E(R/p)) = 0 Vì vậy E(R/p)làR-môđun (I, J )-không xoắn.

Mệnh đề 2.1.11 Nếu M là R-môđun (I, J )-xoắn thì tồn tại một phép giải nội xạ của

M mà mỗi thành phần làR-môđun (I, J )-xoắn.

Chứng minh. Gọi E0 là bao nội xạ củaM DoM là (I, J )-xoắn nên theo Mệnh đề2.1.6 Ass(E0 ) = Ass(M ) ⊆ W (I, J ), suy ra E0 là (I, J )-xoắn Khi đó, ta có thểnhúngM vàoE0làR-môđun nội xạ (I, J )-xoắn Giả sử ta xây dựng được dãy khớpcácR-môđun

0 //M //E0 // //En−1 dn−1 //En

trong đó,EilàR-môđun nội xạ (I, J )-xoắn Đặt C =Coker(dn−1 ) Do En là(I, J xoắn nên theo Hệ quả 2.1.7 ta có C là (I, J )-xoắn Tương tự như môđun M, ta cóthể nhúng C vào R-môđun (I, J )-xoắn nội xạ En+1 Bằng quy nạp ta suy ra điềuphải chứng minh.

)-Định nghĩa 2.1.12 Cho hàm tửΓI,J(−).

i Với mỗi số tự nhiênita kí hiệu hàm tử dẫn xuất phải thứicủa hàm tửΓI,J(−)làHI,Ji

và gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứitheo cặp iđêan(I, J ).

ii VớiM làR-môđun, ta gọi HI,Ji (M )là môđun đối đồng điều thứitheo cặp iđêan(I, J ).NếuJ = 0thìHI,Ji ≡ HIi Điều này cho thấy hàm tử đối đồng điều địa phương theocặp iđêan là mở rộng tư nhiên của hàm tử đối đồng điều địa phương quen thuộc

Nhận xét 2.1.13.

i Các đối đồng điều địa phương được xây dựng như sau:

Đầu tiên, ta chọn (E•, d•) là một phép giải nội xạ củaM (mọi môđun đều có mộtphép giải nội xạ)

0 //M //E0 // //Ei−1 di−1 //Ei //

trong đó, Imdi−1 =Kerdi, với mọi i > 0vàEilàR-môđun nội xạ.

Sau đó tác dụng hàm tửΓI,J(−)vào phức

0 //E0 // //Ei−1 di−1 //Ei //

ta được đối phức ΓI,J(E•), ΓI,J(d•)
là dãy nửa khớp

0 //ΓI,J(E0 ) // //ΓI,J(Ei−1Γ)I,J(d

ii Cho dãy khớp ngắn cácR-môđun

(i) NếuM là(I, J )-xoắn thìHI,Ji (M ) = 0với mọii > 0.

(ii) HI,Ji (ΓI,J(M )) = 0với mọii > 0

(iii) M/ΓI,J(M )làR-môđun(I, J )-không xoắn.

(iv) HI,Ji (M ) ∼ = HI,Ji (M/ΓI,J(M ))với mọii > 0.

(v) HI,Ji (M )là(I, J )-xoắn với mọii ≥ 0.

Chứng minh. (i)Do M là R-môđun (I, J )-xoắn nên theo Mệnh đề 2.1.11. tồn tạiphép giải nội xạ củaM mà mỗi thành phần là(I, J )-xoắn nội xạ

0 //M //E0 // //Ei−1 di−1 //Ei //

Khi đó, đối phức ΓI,J(E•), ΓI,J(d•)
là dãy nữa khớp

0 //ΓI,J(E0 ) // //ΓI,J(Ei−1Γ)I,J(d

i−1

)

//ΓI,J(Ei ) //

Hơn nữa,Eilà(I, J )-xoắn nên ΓI,J(Ei) = Ei Từ nhận xét 2.1.13 suy raHI,Ji (M ) =

0với mọii > 0 (ii) suy ra từ (i) Chứng minh (iii), (iv) Đặt M = M/ΓI,J(M ) Xét

Từ (ii),HI,Ji (ΓI,J(M )) = 0với mọii > 0, suy ra HI,Ji (M ) ∼ = HI,Ji (M )với mọii > 0.

DoHI,J1 (M ) = 0nên ta có dãy khớp ngắn sau

0 //ΓI,J(ΓI,J(M )) //ΓI,J(M ) //ΓI,J(M ) //0

Từ đó ΓI,J(M ) ∼ = ΓI,J(M )/ΓI,J(ΓI,J(M )) ∼ = ΓI,J(M )/ΓI,J(M ) = 0 Suy ra (iii).Chứng minh (v) Từ nhận xét 2.1.13 HI,Ji (M ) = Ker ΓI,J(di)
/Im ΓI,J(di−1)
với mọii > 0, trong đó Ker ΓI,J(di)
là môđun con của ΓI,J(Ei) là môđun(I, J )-xoắn Theo Hệ quả 2.1.7HI,Ji (M )là môđun(I, J )-xoắn, với mọi i > 0 Với i = 0, ta

cóHI,J0 (M ) = ΓI,J(M )là(I, J )-xoắn Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bổ đề 2.1.15 ChoM làR-môđun ĐặtM = M/ΓI,J(M ) GọiElà bao nội xạ củaM và

L = E/M Khi đó, Exti−1R (R/I, L) ∼ =ExtiR(R/I, M )vàHI,Ji−1(L) ∼ = HI,Ji (M )với mọi

i > 0.

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.1.5 và 1.2.4 ta có, Ass(HomR(R/I, E)) = V (I) ∩Ass(E) ⊆ W (I, J ) ∩Ass(M ) Do M là(I, J )-không xoắn nên theo Mệnh đề 2.1.8.

W (I, J ) ∩Ass(M ) =∅ Từ đó suy ra HomR (R/I, E) = 0vàΓI,J(E) = 0 Mặt khác,

vì ExtiR(R/I, E) = 0 và HI,Ji (E) = 0với mọii > 0 (theo 1.1.11 và 2.1.13.) nênExtiR(R/I, E) = 0vàHI,Ji (E) = 0với mọii ≥ 0 (∗) Xét dãy khớp

0 //M //E //L //0