Nếu là hình chóp đều thì đường cao là SO (O là tâm của đáy) Nếu hình chóp có một cạnh bên vuông góc vơi mp đáy thì cạnh đó là đường cao.. Nếu hình chóp có hai mặt bên cùn[r]
Trang 1KIẾN THỨC CẦN THIẾT
I HỆ THỨC LƯỢNG
1 Trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH:
BC AB AC
AH AB AC
AH BCAB AC AB2 BH BC.
AB = BC.sinC = BC.cosB = AC.tanC = AC.cotB
2 Trong tam giác thường ABC:
a2 b2c2 2 cosbc A
b2 a2c2 2 cosac B
c2 a2b2 2 cosab C
2 sin sin sin
R
( R : là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
II CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH.
1 Diện tích tam giác ABC vuông tại A
1 2
S AB AC
2 Tam giác đều cạnh a có diện tích
2 3 4
a
S
3 Diện tích tam giác thường.
Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đường cao hạ từ đỉnh A,B,C
2 a 2 b 2 c
S a h b h c h
S bc A ac B ab C
S p p a p b p c( )( )( ) , 2
a b c p
4
abc
R ( r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
Trang 24 Diện tích tứ giác:
a) Diện tích hình vuơng cạnh a : S a2
b) Diện tích hình chữ nhật có 2 kích thước a, b : S= a.b
c) Diện tích hình bình hành ABCD có đường cao AH :
S AH CD = AB.AD.sinA
d) Diện tích hình thoi ABCD :
1 2
S BD AC
e) Diện tích hình thang:
đáy lớn + đáy bé đường cao
2
S =
III CÁC GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT:
1 Đường chéo trong hình vuơng có độ dài bằng : cạnh 2
2 Đường trung tuyến trong tam giác đều bằng đường cao và bằng: cạnh
3
2
IV TÍNH CHẤT HÌNH CHĨP ĐỀU:
Các cạnh bên bằng nhau
Các góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau
Các góc hợp bởi các mặt bên và mặt đáy là bằng nhau
Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
Chân đường cao trùng với tâm của đáy
V SỰ VUƠNG GĨC
Vấn đề 1 Chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc
Phương pháp Để chứng minh a b ta chứng minh
1; Sử dụng các phương pháp Hình học phẳng : Góc nội tiếp, Định
lí Pitago đảo,
2; a b góc giữa 2 đt a,b = 900
3; a b a b 0 ( ; a b là các VTCP của a, b)
4; a // c c b a b
Trang 35;
b a P
b
P
a
)
(
)
(
6;
b a P b
P a
( )
) ( //
7; Áp dụng định lí 3 đường vuơng góc : a’ là hình chiếu của a lên (P) b( ) ;P a b a a'
Vấn đề 2 Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng
Phương pháp Để chứng minh a (P) ta chứng minh
1;
( )
; ( )
a b và a c
2;
) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
P a a R
Q
P
R
P
Q
3;
( ) ( ); ( ) ( )
( ) ( ) ;
4;
) ( )
(
//
P a P
b
b
a
5;
) ( )
(
//
)
(
)
(
P a P
Q
Q
a
Vấn đề 3 Chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc
Phương pháp Để chứng minh (P) (Q) ta chứng minh
1;
) ( ) ( )
(
)
(
Q P Q
a
P
a
2;
) ( ) ( ) ( )
(
Q P b
a
Q b P
a
3; Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 900
VI CÁC ĐƯỜNG CAO THƯỜNG GẶP CỦA HÌNH CHĨP ĐỈNH S
Trang 4 Nếu là hình chóp đều thì đường cao là SO (O là tâm của đáy)
Nếu hình chóp có một cạnh bên vuông góc vơi mp đáy thì cạnh đó là đường cao
Nếu hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với mp đáy thì giao tuyến hai mp này là đường cao
Nếu hình chóp có một mặt bên (SAB) vuông góc với đáy thì đường cao SH của tam giác SAB là đường cao
Đường cao của lăng trụ đứng, lăng trụ đều là cạnh bên của lăng trụ
Đường cao của lăng trụ xiên là độ dài đoạn vuông góc hạ từ một đỉnh của đa giác ở đáy trên xuống đáy dưới
VII CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC, KHOẢNG CÁCH
1 Góc giữa đường thẳng d và mp (P)
Tìm M d P , Tìm N d (N M ), NH P H P
MH là hình chiếu của MN lên (P)
Khi đó góc NMH chính là góc giữa d và mp(P)
2 Góc giữa hai mp (P) và (Q)
Xác định giao tuyến d của mp(P) và mp (Q)
Trong mp (P) ta xác định đường thẳng ad tại O
Trong mp (Q) ta xác định đường thẳng bd tại O
Khi đó góc giữa mp(P) và mp(Q) chính là góc giữa a và b Hoặc
( )
( )
b Q góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b.
Hoặc một hình (H) nằm trong (P) có diện tích S, (H’) là hình chiếu của (H) lên mặt phẳng (Q) có diện tích S’ ta có
S S c là góc giữa 2 mp (P), (Q)
3 Khoảng cách
a) SH H d S , SH
b) SH P H P d S P , SH
c) // P S, d, p d S P ,
Trang 5d)
4 Ví dụ : a) Cho hình chóp đều S.ABCD có O là tâm của đáy
Ta có SO ABCD OA là hình chiếu của SA lên (ABCD) nên góc giữa SA và (ABCD) là SAO .
Từ S hạ SM AB M AB
ta có OM là hình chiếu của SM lên (ABCD) OM AB nên góc giữa (SAB) và (ABCD) là góc giữa SM và OM bằng SMO
M O
B
C
S
b) Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SH
Ta có SH ABCD HA là hình chiếu của SA lên (ABCD)
nên góc giữa SA và (ABCD) là SAH .
Từ S hạ SM AB M AB
ta có HM là hình chiếu của SM lên (ABCD) HM AB nên góc giữa (SAB) và (ABCD) là góc
giữa SM và HM bằng SMH
Trang 6A D
S
H M
VIII THỂ TÍCH
+ Khối chóp :
1 3
V B h
+ Khối lăng trụ: V B h. (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
+ Tỷ số thể tích (chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác)
Cho hình chóp S.ABC, trên các đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A B C, , khác S Ta có
.
S A B C
S ABC
+ Lưu ý : Khi tính thể tích của khối chóp hay khối lăng trụ cần nhận xét đường nào là đường cao từ đó viết ra công thức thể tích của khối
CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB a 3
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Trang 72) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông tại đỉnh B, cạnh
bên SA vuông góc với đáy, biết SA = AB = BC = a Tính thể tích
khối chóp S.ABC
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA = AC.Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
4) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh SA vuông góc với BC
b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
5) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông tại B, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, biết AB = a, BC a 3, SA = 3a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
b) Gọi I là trung điểm cạnh SC Tính độ dài đoạn BI theo a.
6) Cho hình chóp S.ABC có SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh
bên SA vuông góc với đáy, biết BAC 1200 Tính thể tích khối chóp S.ABC
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng
(SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
A và D với AD = CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với
mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 450 Tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a.
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a;
A a ; SA = a và SA vuông góc vơi (ABCD) Gọi M; N lần
lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC CMR: (SAC) vuông góc với (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Trang 82 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a.
và SA vuông góc với (ABC) Gọi M; N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SC; SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và năm trong mp vuông góc với đáy Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB; BC; CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP
4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là
trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BC và tính d(MN;AC)
5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
D 900
ABC BA , BA = BC = a; AD = 2a SA vuông góc với đáy và SA a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính d(H;(SCD))
6 Cho lăng trụ ABC A B C. có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC
là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông
góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh
BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’
7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a;
3
SB a và (SAB) vuông góc với đáy Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và BC Tính V S BM N D và côsin của góc giữa hai đường thẳng SM; DN
8 Cho lăng trụ đứng ABC A B C. có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = BC = a, AA a 2 M là trung điểm của BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C. và d AM B C ;
9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
D 900
ABC BA , BA = BC = a; AD = 2a SA vuông góc với
Trang 9đáy và SA2a Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SA; SD Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính V S BCNM.
10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông
tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
11 Cho lăng trụ ABC A B C. có BB a và góc giữa BB và (ABC) bằng 600 Tam giác ABC vuông tại C và BAC 600 Hình chiếu vuông góc của B lên (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A ABC.
12 Cho lăng trụ đứng ABC A B C. có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA 2a, A C 3a M là trung điểm của A C
và IAM A C Tính thể tích khối chóp I ABC. và khoảng cách
từ A đến (IBC)
13 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a, SA a 2 Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của SA; SB
và CD Chứng minh MN vuông góc với SP và tính thể tích khối tứ diện AMNP
14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; M; N
lần lượt là trung điểm của AB và AD; H CNDM và SH
vuông góc với (ABCD) và SH a 3 Tính thể tích khối chóp
.
S CDNM và khoảng cách giữa DM và SC
15 Cho lăng trụ tam giác đềuABC A B C. có AB a và góc giữa
A BC
và (ABC) bằng 600 G là trọng tâm của tam giácA BC Tính thể tích khối lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; hình
chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
Trang 10AC
AH
CM là đường cao của tam giác SAC CMR: M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC
17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, và
(SAB) vuông góc với đáy, SA = SB Góc giữa SC và (ABC) bằng 0
45 Tính V S ABCD.
18 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1
2a 5
và BAC 120o Gọi M là trung điểm của cạnh CC1
Chứng minh MB MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)
19 Cho hình chóp SABC có góc giữa hai mp (SBC); (ABC) bằng
60o
, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC)
20 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O,
SA vuông góc với hình chóp Cho AB = a, SA = a√2 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD Chứng minh SC
(AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK
21 Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R
và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mp (SAB); (SBC) bằng 60o Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC Chứng minh AHK vuông và tính VSABC?
22 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông
AB=AC=a, AA1 = a√2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1 Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1 Tính VMA1BC1.
23 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a
M là trung điểm của đoạn AA1 Chứng minh BM B1C và tính d(BM, B1C)
24 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng
Trang 11qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a
25 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a
26 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng
(ABC) Biết SB = 2a 3 và SBC= 300 Tính thể tích khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
27 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B, AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300 Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a