Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A.. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi: Toán - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Câu I (4,0 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số y x 2 4 x
2 Giải bất phương trình: x2 4x 3 2x2 3x 3 x 1
Câu II (4,0 điểm)
1 Giải phương trình sin 2 cot 3 sin 2 2 cos5 0
2 Giải hệ phương trình
2
2 1
2 9 4 3 19 3 2
Câu III (4,0 điểm)
1 Cho a b c, , là các số thực dương thoả mãn abc Chứng minh bất đẳng thức1
9 2
2 Cho dãy số ( )u biết n
1
1
2
n n
u
Xác định số hạng tổng quát của dãy
Câu IV (4,0 điểm)
1 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3
2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm
1; 5 , 7 5; , 13 5;
M N P
(M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q 1; 1
và điểm A có hoành độ
dương
Câu V (4,0 điểm)
Cho hình thoi ABCD có BAD60 ,o AB2 a Gọi H là trung điểmAB Trên đường thẳng d
vuông góc với mặt phẳng ABCD
tại H lấy điểm S thay đổi khác H Trên tia đối của tia BC
lấy điểm M sao cho
1 4
1 Khi
3 2
a
SH
Chứng minh đường thẳng SM vuông góc với mặt phẳngSAD
2 Tính theo a độ dài của SH để góc giữa SC và SAD có số đo lớn nhất.
TRƯỜNG THPT NGHI SƠN
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi: Toán - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu I.2
Giải bất phương trình: x2 4x 3 2x2 3x 3 x 1 2
+) Điều kiện:
2 2
3
1
1 2
x
x
x
+) Với x=1 BPT hiển nhiên đúng suy ra x=1 là nghiệm
+) Với x 3 suy ra BPT (x 3)(x1) (x1)(2x1) chỉ ra vô x 1
nghiệm
+) Với x 2 suy ra BPT (1 x)(1 2 ) x (1 x)(3 x) 1 x
Chỉ ra nghiệm
1 2
x
+) Kết luận: BPT có nghiệm
1 1 2
x x
0.25
0 25
0 5
0 5
0.25 0.25
Câu II.1
Giải phương trình sin 2 cot 3 sin 2 2 cos 5 0
ĐKXĐ: sin 3x 0
Ta có: sin 2 cot 3 sin 2 2 cos5 0
0.25
0 5
0 5
TRƯỜNG THPT NGHI SƠN
Trang 3
cos3
sin 3 cos 2 cos3 sin 2 sin 3 2 cos5 sin 3 0 cos5 1 2 sin 3 0
5
2 cos5 0
2
sin 3
x
x
x
x
0.25 0.25 0.25
Câu II.2
Giải hệ phương trình
2
2 1
2 9 4 3 19 3 2
2
Câu II.2: Điều kiện
19
3 0
x y
Từ 1 : sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
1
3
x y
3
x y
3
x y
x y
, tương tự ta cũng có
3
x y
y x
suy ra
2
x y
x y
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
3
x y
Thế vào phương trình
2
ta được pt: x22x 9 4 x 3 19 3 x 4
Giải pt
4 3x2 x 2 4 3 x 3 x53 19 3 x 13 x
x x
x x
2
0.25
0.25 0.25
0.25
0.25 0.25
0.25 0.25
Trang 4Khi x 1 3 y x 1 Thử lại x y ; 1;1
thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ; 1;1.
Câu III.1
Ta có
2
1
Tương tự có 2 2
1 1
4
1 1
4
Do đó, cộng theo vế các bất đẳng thức trên và sử dụng bất đẳng thức Schur cùng giả thiết abc ta được1
1 3
bc b c ca c a ab a b
Mặt khác
3 3 3 3 3
3 a b c 3.3 abc 9 2
Từ 1 và 2 suy ra
Do vậy
9 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1
0.25 0.25
0.25
0.25
0.25
0.25 0.25 0.25
Câu III.2
Cho dãy số ( )u biết n
1
1
2
n n
u
Xác định số hạng tổng quát của dãy
2
n n
1
(1) v n 3v n , n 2
Dãy ( ) là v n cấp số nhân với công bội là q 3.
Nên
1
5
2
n
0.5 0.5 0.5 0.5
Trang 5Do đó
1
n
n n
Gọi phần tử của A có dạng : a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9.
10
a nên có 9 cách chọn.
Chọn 8 chữ số còn lại và xếp vào vị trí từ a2 a :9 8
9
A cách chọn.
Vậy n(A)= 9A 98
Giả sử gọi B0;1; 2; ;9
có tổng 10 phần tử là 45 3 Nên nếu muốn tạo thành một số có 9 chữ số vả chia hết cho 3, ta cần loại đi phần tử là bội của 3 Như vậy, ta
sẽ có các tập : \{0}, \{3}, \{6}, \{9}B B B B
TH1: Chọn tập \{0}B để tạo số :
Ta còn 9 chữ số để xếp vào 9 vị trí a1 a9: 9! cách.
TH2: Chọn 1 trong ba tập : \{3}, \{6}, \{9}B B B : 3 cách.
10 :
a có 8 cách ( vì đã loại đi phần tử là bội của 3).
Còn 8 chữ số xếp vào 8 vị trí còn lại : 8! cách
à Số cách chọn phần tử thuộc A và chia hết cho 3 là: 9! 3.8.8! Vậy xác suất cần tỉm là : 98
9! 3.8.8! 11
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
Câu IV.2.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập
được phương trình này là: x2y23x 29 0 suy ra tâm K của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC có tọa độ là
3
; 0 2
K
Do ABKP nên AB có vtpt 52; 1
2
AB
Suy ra phương trình AB: 2x1 1 y1 0 2x y 3 0
Do đó tọa độ A, B là nghiệm của hệ phương trình
0.25 0.25
0 5
0.25
Trang 6Suy ra A1;5 , B 4; 5
Do AC KN nên AC có vtpt là 52;1
2
AC
Suy ra pt AC: 2x1 y 5 0 2x y 7 0
Khi đó tọa độ A, C là nghiệm của hệ phương trình:
Từ đây suy ra C4; 1 Vậy A1;5 , B 4; 5, C4; 1
0.25
0.25 0.25
a/ Ta có
a
HBM
vuông tạiM .
3
2
o a
Gọi N là giao của HM vàAD
Ta có:
3 2
a
SMN
vuông tại S
( / / )
SH AD SH ABCD
MN DA AD BC
Kết hợp với SM SN SM (SAD)
0.25 0.25 0.25
0.5
0.5 0.25
Câu V.2
Gọi là góc giữa SC vàSAD ; K là hình chiếu vuông góc của H lên SN ; I là
giao của HC với AD Lấy E đối xứng với I quaK
Vì AD(SMN) ADHK Kết hợp với HK SN KH (SAD)
0.25 0.25
A
S
B
C
D H
M
K
Trang 7Mà HK là đường trung bình của tam giác ICE nên HK CE//
Suy ra CE(SAD)tại E Suy ra SEC vuông tại E và SE là hình chiếu của SC
trênSAD
Ta có CSE
Đặt x SH x ( 0) Tam giác SHN vuông tại H và HK là đường cao nên
7
CH CM MC a
Tam giác SHC vuông tại H nên SC SH2CH2 x27a2
sin
4 21 31
ax
a x a x
Dấu đẳng thức xảy ra khi
4 21 4
x a
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi sin lớn nhất khi và chỉ khi
4 21 4
SH a
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25
025
