Khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử fk cho bài toán exciton 2d trong từ trường đều theo tham số tự do

Tuy nhiên, phương trình này chỉ có thể xác định nghiệm giải tích chính xác của nó trong một số rất ít trường hợp đơn giản như bài toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa; còn lại đa s

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa, đặc biệt các thầy cô trong tổ Vật

lý lý thuyết đã tận tình truyền đạt những kinh nghiệm, kiến thức quý báu trong suốt khóa học, đó

là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn

Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ em trong suốt thời gian học cũng như trong thời gian tiến hành luận văn

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn Hội đồng khoa học đã xét duyệt và cho những nhận xét vô cùng quý báu để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình xây dựng từ phía thầy cô, bạn bè

Em xin chân thành cám ơn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2013

MỤC LỤC

M ỤC LỤC 4

M Ở ĐẦU 6 Ch ương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 12

1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger 12

1.2 T ổng quan về exciton 19

1.2.1 L ịch sử 19

1.2.2 Khái ni ệm 20

1.2.3 Phân lo ại 21

1.2.4 Tính ch ất 22

1.2.5 Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường đều 24

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU 28

2.1 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều 28

2.2 K ết quả - Phân tích 33

Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO ĐỐI VỚI SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ 36

3.1 Vai trò tham s ố tự do ω đối với sự hội tụ của phương pháp toán tử 36

3.2 S ự phụ thuộc của tốc độ hội tụ vào tham số tự do với bài toán dao động t ử phi điều hòa bậc bốn 38

3.3 Kh ảo sát bài toán exciton 2D trong từ trường đều 40

3.3.1 Kh ảo sát tốc độ hội tụ của bài toán theo các giá trị ω khác nhau40 3.3.2 Điều kiện để chọn tham số tự do tối ưu 50

K ẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 53

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 54

Ph ụ lục 1:Các toán tử sinh – hủy một chiều 57

Ph ụ lục 2: Dạng chuẩn của toán tử 60

Ph ụ lục 3: Đưa Hamiltonian về dạng không thứ nguyên 63

Ph ụ lục 4:Các toán sinh – hủy hai chiều 65

Ph ụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử Sˆ =exp{−τ(Mˆ + +Mˆ + Nˆ )} 68

Ph ụ lục 6:Các thành phần ma trận cho bài toán exciton 2D trong từ trường

70

M Ở ĐẦU

Trong những năm gần đây, các nhà vật lý quan tâm nhiều đến các cấu trúc

thấp chiều do tính ứng dụng cao cũng như các hiệu ứng đặc biệt của nó [10, 20] Trong các mô hình thấp chiều đó, loại tinh thể nhiều lớp bán dẫn GaAs/GaAlAs được sử dụng tương đối phổ biến Trong tinh thể này, do đáy vùng dẫn

1

Al Gax −xAs (x≤0.45) cao hơn so với đáy vùng dẫn của GaAs cho nên vùng chứa GaAs hoạt động như hố thế trong khi vùng chứa Al Gax 1−xAs đóng vai trò là bức tường thế Đặc biệt kỹ thuật nuôi cấy tinh thể tiên tiến như kĩ thuật cấy chùm phân

tử (MBE: Molecular Beam Epitaxy) cho phép tạo ra các lớp bán dẫn GaAs rất mỏng (cỡ nm) thì bức tường thế có thể xem là cao vô hạn Lúc này, các hạt tải của GaAs

sẽ cùng bị nhốt trong lớp GaAs dọc theo bề rộng: electron bị giam nhốt trong vùng

dẫn trong khi các lỗ trống bị nhốt trong vùng hóa trị đầy và ta có một hệ khí điện tử chuyển động tự do trong không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs Do là khí điện tử tự do cho nên về nguyên tắc phổ năng lượng đo được là phổ liên tục Tuy nhiên, thực nghiệm quan sát được phổ năng lượng gián đoạn của khí điện tử và đặc biệt phổ hấp thụ của bán dẫn xuất hiện những đỉnh hấp thụ lạ Điều này chỉ có

thể giải thích bởi sự tồn tại của trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống tạo thành

giả hạt exciton [8]

Exciton là trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống thông qua tương tác tĩnh điện, trạng thái này là một giả hạt có khả năng mang và truyền kích thích trong

mạng nhưng không lan truyền điện tích Ngày nay, thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại

của exciton đã được phát hiện trong các hầu hết các loại tinh thể điện môi và bán

dẫn [16, 19] Tuy nhiên, các hệ exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp và những

hiệu ứng của nó được quan tâm nhiều nhất trong cả lý thuyết lẫn thực nghiệm do tính ứng dụng cao của nó Ngoài ra, các nghiên cứu cho thấy đây là vật liệu thuận

lợi để quan sát và nghiên cứu phổ năng lượng exciton [16, 19, 22]; đặc biệt hệ

vị như: hiệu ứng Hall, sự tách vạch trong điện trường và từ trường, hiện tượng ngưng tụ Bose,… [18, 22, 23] Khi nghiên cứu phổ năng lượng của exciton, ta thu được nhiều thông tin về tính chất quang, tính chất điện của bán dẫn, đặc biệt là khi các chất này được đặt trong từ trường Các nghiên cứu này có những ứng dụng đặc

biệt quan trọng trong việc thiết kế các hệ thấp chiều kích cỡ nano Vì thế, bài toán exciton trong từ trường là bài toán có ý nghĩa thực tiễn, mang tính thời sự và đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu

Như chúng ta đã biết, ở thế giới vi mô, phương trình Schrödinger đóng vai trò trung tâm, quan trọng trong cơ học lượng tử; đây là phương trình động lực học giúp ta giải quyết các bài toán chuyển động của hạt vi mô Tuy nhiên, phương trình này chỉ có thể xác định nghiệm giải tích chính xác của nó trong một số rất ít trường hợp đơn giản như bài toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa; còn lại đa số các bài toán hệ lượng tử thực đều phải sử dụng các phương pháp tính gần đúng hoặc các phương pháp số để tìm hàm riêng và trị riêng Một trong những phương pháp gần đúng cổ điển được nhiều người biết đến là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn Ý tưởng chính của phương pháp này là dựa vào yếu tố vật lý của bài toán, tách toán tử Hamilton thành hai phần: thành phần thứ nhất được xem là phần chính có thể tìm nghiệm chính xác, thành phần còn lại được xem là nhiễu loạn Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn đã chứng tỏ hiệu quả của nó qua nhiều bài toán khác nhau; nhưng

nó chỉ giải quyết được những bài toán thỏa điều kiện là thành phần nhiễu loạn đủ

nhỏ so với thành phần chính, đối với những bài toán không thỏa điều kiện này (bài toán phi nhiễu loạn) thì không thể áp dụng được phương pháp này Bài toán exciton trong từ trường với độ lớn của từ trường cùng thang so với thế Coulomb là một bài toán phi nhiễu loạn không thể tìm được nghiệm giải tích chính xác

Phương pháp toán tử FK được đưa ra năm 1982 để giải quyết những bài toán phi nhiễu loạn nêu trên bởi một nhóm giáo sư ở đại học Belarus [11] Ý tưởng chính của phương pháp toán tử FK dựa trên tư tưởng của lý thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian thành hai phần: phần chính có nghiệm chính xác và phần còn lại

là nhiễu loạn, tuy nhiên khác với lý thuyết nhiễu loạn ở chỗ việc phân chia Hamiltonian không dựa vào yếu tố vật lý mà đơn thuần dựa vào hình thức của các toán tử trong Hamiltonian Điểm đặc biệt là trong phương pháp còn đưa vào một tham số tự do, có vai trò hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của chuỗi bổ chính cho năng lượng

và hàm sóng Quy trình giải của phương pháp toán tử FK gồm bốn bước cơ bản: (1)

biểu diễn Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy Dirac aˆ+( ) ( )ω , aˆ ω :

ˆ( , ) ˆ ˆ ˆ( , , ),

sinh, hủy; (2) tách Hamiltonian ra làm hai phần, thành phần Hˆ0OM (a aˆ ˆ,+ ω) giao hoán với toán tử ˆ ˆa a+ (thành phần trung hòa) được xem là phần chính, phần còn lại

H a a+ ω luôn có nghiệm là dao động tử điều hòa; (3) chọn tham

số tự do ω sao cho ˆ0OM (ˆ ˆ, )

H a a+ ω là thành phần chính của Hamiltonian và từ đây ta

có nghiệm riêng của Hˆ0OM (a aˆ ˆ,+ ω) là nghiệm gần đúng bậc zero; (4) xem

ˆOM ˆ , ,ˆ

V a a+ ω là thành phần nhiễu loạn và tính các bổ chính bậc cao theo các sơ đồ thích hợp Khi nghiên cứu và áp dụng cho những bài toán cụ thể, phương pháp toán

tử FK đã chứng tỏ những ưu điểm của nó như : Khi áp dụng phương pháp ta chỉ sử

dụng các phép biến đổi thuần đại số, vì vậy giúp đơn giản hóa việc tính toán các yếu

tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt; ngoài ra phương pháp này cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì và xác định được giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài [5] Phương pháp toán tử FK đã được áp

dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau như: dao động tử phi điều hòa, bài toán polaron trong vật lý chất rắn, các bài toán hệ nguyên tử [2-5, 7, 12] Chính vì vậy, sự lựa chọn phương pháp toán tử để giải bài toán exciton trong từ trường là hợp lí và đã được thực hiện trong nhiều công trình trước đây [2-5]

Khi áp dụng phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho các bài toán hệ nguyên tử, phân tử, chúng ta gặp khó khăn là dạng thế tương tác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số Để giải quyết vấn đề này, ta có thể sử

dụng phép biến đổi Levi-Civita hoặc Laplace Trong công trình [5] đã sử dụng thành công phép biến đổi Levi-Civita để giải bài toán exciton hai chiều trong từ trường với kết quả nghiệm số thu được chính xác đến 20 chữ số sau dấu phẩy Tuy nhiên, khi áp dụng phép biến đổi này thì năng lượng E không còn là trị riêng của toán tử Hamilton nữa mà được xác định gián tiếp thông qua việc giải phương trình

Z(E) = const v ới Z là một trị riêng hình thức có giá trị không đổi Đối với các bài

toán phức tạp hơn như bài toán exciton âm, chúng tôi nghĩ rằng việc xác định năng lượng một cách gián tiếp như vậy không thuận lợi bằng việc giải trực tiếp Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phần tọa độ ra khỏi

mẫu số; lúc này phương pháp toán tử FK vẫn áp dụng được một cách hiệu quả mà không cần phải thông qua một biến hình thức nào khác Trong luận văn này, tác giả

sử dụng phép biến đổi Laplace cho bài toán exciton 2D trong từ trường để tiếp tục

khảo sát tính hiệu quả khi áp dụng phép biến đổi này trong phương pháp toán tử

Một trong các vấn đề quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử FK đó là vai trò của tham số tự do ω Với mỗi giá trị ω khác nhau thì tốc độ hội tụ của bài

toán là khác nhau và khi chọn ω tối ưu thì bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm

chính xác Ngoài ra, độ chính xác của nghiệm gần đúng cũng phụ thuộc vào việc

chọn lựa ω Vì vậy, việc chọn lựa tham số ω rất có ý nghĩa vì cho phép ta tiết kiệm

được nhiều tài nguyên tính toán Trong các công trình [7, 11, 12] đã sử dụng cách

chọn ω là dựa vào điều kiện nghiệm chính xác không phụ thuộc của vào tham số tự

do, xác định thông qua điều kiện gần đúng: ∂∂Eωn( )0 =0 , nhưng khi áp dụng cho các

trạng thái kích thích thì phương pháp này tỏ ra hạn chế [12] Trong công trình [6] đã

đưa ra điều kiện mang tính phổ quát để xác định ω thông qua bài toán dao động tử

điều hòa Tuy nhiên, đối với bài toán exciton 2D trong từ trường đều, việc khảo sát

ω chưa được tiến hành và thử nghiệm điều kiện đã nêu trong công trình [6]

Chính những lý do thực tiễn trên đã thúc đẩy tôi thực hiện luận văn “Khảo

sát s ự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều theo tham số tự do” với mục tiêu là khảo sát sự hội tụ của phương

pháp toán tử cho bài toán cụ thể đang có tính thời sự: bài toán exciton hai chiều trong từ trường đều theo tham số tự do Luận văn chỉ giới hạn ở đối tượng là exciton trung hoà

Mục tiêu được thực hiện thông qua các nội dung nghiên cứu sau:

• Tìm hiểu về phương pháp toán tử

• Tìm hiểu về exciton và bài toán exction 2D trong từ trường đều

• Giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều bằng phương pháp toán tử

• Khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều theo tham số tự do ω

Để thực hiện luận văn, tôi đã sử dụng phương pháp nghiên cứu:

• Tìm kiếm, đọc, đánh giá, phân tích và tổng hợp tài liệu

• Lập luận, tính toán để xây dựng phương trình Schrodinger cho exiton 2D trong từ trường đều

• Tính toán, biến đổi các phép tính toán tử để đưa phương trình Schrodinger cho exiton 2D trong từ trường đều về dạng không thứ nguyên, dạng toán tử sinh huỷ 2 chiều và về dạng chuẩn

• Sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số

1 C ấu trúc

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương này gồm hai phần Phần đầu tiên giới thiệu tổng quan về phương

trình bày về ý tưởng phương pháp thể hiện qua các bước giải, ưu điểm của phương pháp và lưu ý một số vấn đề khi sử dụng phương pháp toán tử Phần hai trình bày

tổng quan về exciton: lịch sử, khái niệm, phân loại, tính chất của exciton và phương trình Schrödinger cho exciton trung hoà 2D trong từ trường

Chương 2: Phương pháp toán tử giải bài toán exciton hai chiều trong từ trường đều

Trong chương này ta sẽ áp dụng phương pháp toán tử giới thiệu ở chương

1 để giải trực tiếp cho bài toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường đều Ta

lần lượt tiến hành các bước giải tương tự như trong chương 1 để tìm nghiệm chính xác bằng số cho bài toán, chỉ khác là ở đây ta sử dụng các toán tử sinh - hủy hai chiều Điểm lưu ý là trong phần này là để giải quyết vấn đề khó khăn khi dạng thế tương tác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số, chúng tôi đã dùng phép biến đổi Laplace như trong công trình [7]

Chương 3: Vai trò tham số tự do trong phương pháp toán tử

Chương 3 là các kết quả chính của luận văn Trong chương này, chúng ta sẽ phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối ưu hóa quá trình tính

toán Để minh họa, chúng tôi giới thiệu sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ theo tham số

ω với bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn khi áp dụng phương pháp toán tử FK [6] Sau đó, chúng ta đi vào nội dung chính của luận văn là

khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài toán exciton 2D trong từ trường đều Trong phần này, chúng tôi tiến hành khảo sát lần lượt tốc độ hội tụ của bài toán ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích với trường hợp độ lớn cường độ từ trường nhỏ, trung bình và lớn, sau đó tiến hành thử nghiệm một số điều

kiện để chọn lựa giá trị tham số tối ưu và đưa ra một số kết luận

Trong phần kết luận ta đưa ra các kết quả thu được trong luận văn và hướng phát triển đề tài

Ch ương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này ta sẽ giới thiệu phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger: các bước giải, ưu điểm, những vấn đề khi sử dụng phương pháp toán

tử; đồng thời ta cũng trình bày tổng quan về exciton: khái niệm, phân loại, tính chất

và phương trình Schrödinger cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều

1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger

Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử FK đã xuất hiện vào những năm 1979 Tuy nhiên, phương pháp toán tử FK đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi nhóm của giáo sư Feranchuk I D và Komarov L I ở trường Đại học Belarus [11]

và sau đó được áp dụng thành công cho nhiều bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường [2, 4, 12]

Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử

đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:

• Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt; các tính toán được

thực hiện trong quá trình áp dụng phương pháp đều là các biến đổi các thuần đại số

• Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ

Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng

cách đặt biến số động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau:

Ở đây toán tử ˆa được gọi là “toán tử hủy”, ˆa+ được gọi là “toán tử sinh” và

ω là tham số tự do được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán Chúng ta gọi là tham số tự do vì Hamitonian của hệ thực chất không phụ thuộc vào giá trị của ω

Ta dễ dàng thu được hệ thức giao hoán:

Thế (1.3) vào (1.2) và sử dụng (1.4), ta được biểu thức dạng chuẩn của toán

tử Hamilton như sau:

H a a+ λ ω có nghiệm chính xác

mà chúng ta sẽ dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần ˆOM (ˆ , , ,ˆ )

V a a+ λ ω được xem như thành phần “nhiễu loạn” sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ” để thỏa điều kiện

của lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc chọn tham số ω

Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình:

( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0

Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đó nghiệm (1.8) ta gọi là vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân không” (vacuum)

điều này có nghĩa là trạng thái (1.10) là nghiệm riêng của toán tử ˆ ˆ ˆn=a a+ , từ đó có

thể thấy rằng nó cũng chính là nghiệm riêng của toán tử Hˆ0(a aˆ ˆ, ,+ λ ω)

Bước bốn: Phương pháp toán tử (OM) tìm nghiệm bằng số:

Đến đây chúng ta có thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn để tính các

bổ chính bậc cao Ngoài ra, do tính hội tụ của OM rất cao và chúng ta có tham số tự

do ω để điều khiển tốc độ hội tụ, ta có thể sử dụng phương pháp vòng lặp để giải tìm nghiệm số Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đồ sau:

( ) ( )

0,

n s

s s

Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu

loạn được định nghĩa như sau:

* 0ˆ

nhờ các hệ thức (1.4), (1.9) Để tiện trong tính toán ta đưa ra hai công thức sau:

Cách tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần đại số là một trong

những ưu điểm của phương pháp toán tử Thật vậy, thay vì định nghĩa các phần tử

ma trận như (1.15) và tính các tích phân tương ứng với các hàm sóng ở dạng tường

minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số nhờ các hệ thức (1.4) và (1.9) và cụ

các phần tử ma trận khác thu được dựa vào tính đối xứng V nm =V mn

B ảng 1.1: Phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản n= [5] 0

Bảng 1.1 minh họa cho nghiệm chính xác của bài toán dao động tử phi

điều hòa ở trạng thái cơ bản n= khi dùng phương pháp toán tử FK Như đã nói ở 0trên, mặc dù phương pháp toán tử được giới thiệu thông qua ví dụ của bài toán dao động tử phi điều hòa, nhưng sơ đồ tính toán của nó không phụ thuộc vào dạng cụ

thể của toán tử Hamilton, do đó có thể áp dụng cho một nhóm rộng rãi các bài toán Tuy nhiên, cần lưu ý đến việc chọn tham số ω vì ứng với mỗi giá trị ω khác nhau thì tốc độ hội tụ của bài toán là khác nhau Điều kiện (1.12) trong một số bài toán không cho tốc độ hội tụ cao Vì vậy việc tìm ra được điều kiện để chọn lựa tham số

tự do ω tối ưu sao cho bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác là cần thiết

dạng “chuẩn” (normal) để tính toán các yếu tố ma trận trong các sơ đồ tính bổ chính

bậc cao ; việc xây dựng bộ hàm sóng cơ sở đảm bảo là nghiệm của dao động tử điều hòa đảm bảo tính đối xứng của bài toán và đồng thời thuận lợi cho việc tính toán;

cuối cùng là việc lựa chọn sơ đồ thích hợp để bài toán hội tụ nhanh về nghiệm chính xác Bài toán exciton trong từ trường khi sử dụng phương pháp toán tử FK cũng gặp

phải những vấn đề trên mà ta sẽ trình bày rõ hơn trong những phần sau

của mình, Frenkel giới thiệu exciton như một sóng kích thích điện tử trong các tinh

thể khí hiếm Mô hình exciton của ông phù hợp khi mô tả các exciton trong chất cách điện, về sau các exciton loại này được gọi là exciton Frenkel hay còn gọi là exciton phân tử (xem [19, 22])

Đến năm 1937, Wannier và Mott đưa ra mô hình exciton mới được tạo thành

bởi tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống, tương tự như nguyên tử hydro, phù

hợp khi mô tả các exciton trong bán dẫn Exciton loại này sau được đặt tên là exciton Mott-Wannier (xem [19, 22]) Sau đó, phổ hấp thụ của exciton Mott-Wannier được Gross tìm thấy đầu tiên trong thực nghiệm vào năm 1951 trong tinh

thể Cu2O (xem [16])

Năm 1958, Lampert nêu ra khả năng tồn tại các trạng thái exciton phức tạp mang điện, ví dụ như exciton âm là trạng thái liên kết của hai electron với một lỗ

trống [17] Đến những năm 90 thì thực nghiệm đã quan sát được phổ năng lượng

của exciton âm trong giếng lượng tử pha tạp khi sự chênh lệch mật độ giữa điện tử

và lỗ trống rất lớn [15]

Ngày nay, bằng chứng về sự tồn tại của exciton đã được phát hiện trong các

hầu hết các loại tinh thể điện môi (alkali halide, naptalene, benzene), bán dẫn (Ge, GaAs, CdS, Cu2O, CuCl), và cả trong polymer [16, 19]

Các quan sát cho thấy có nhiều dạng exciton: khi sự kết hợp xảy ra giữa một điện tử và một lỗ trống ta có exciton trung hòa, khi hai điện tử kết hợp với một lỗ

trống thì exciton có điện tích âm (exciton âm), và cũng có trường hợp khi hai lỗ

trống kết hợp với một điện tử tạo ra một exciton dương Trong giới hạn của luận văn này chỉ đề cập đến trường hợp exciton trung hòa

1.2.2 Khái ni ệm

Trong bán dẫn thông thường, độ rộng của vùng cấm E g giữa vùng dẫn và vùng hóa trị ở vào khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả kiến Một photon có năng lượng hω >E g có thể kích thích một điện tử trong vùng hóa trị nhảy lên vùng dẫn và để lại trong vùng hóa trị một lỗ trống thể

hiện như một điện tích dương Một điện tử dẫn liên kết với một lỗ trống bởi tương tác Coulomb sẽ tạo ra một hệ tương tự nguyên tử hydro, tuy nhiên năng lượng liên

kết của nó nhỏ hơn nhiều và kích thước lớn hơn nhiều lần so với nguyên tử hydro

Ở giới hạn mật độ thấp, khi đó ta có thể bỏ qua hiệu ứng nhiều hạt, cặp điện tử - lỗ

trống được coi như một giả hạt tự do gọi là exciton

Hình 1.1: Các mức năng lượng exciton [5]

Như vậy, exciton là trạng thái liên kết giữa một điện tử và một lỗ trống thông qua tương tác tĩnh điện (tương tác Coulomb) trong chất bán dẫn hoặc điện môi

Trạng thái này là một giả hạt có khả năng mang và truyền kích thích trong mạng nhưng không lan truyền điện tích

1.2.3 Phân lo ại

Exciton được phân làm hai loại tùy thuộc vào tính chất của vật liệu đang xét:

• Exciton Mott-Wannier: Trong chất bán dẫn, hằng số điện môi tương đối lớn gây ra thế chắn, làm giảm tương tác Coulomb giữa điện tử và

lỗ trống Trong trường hợp này, mặc dù vẫn tương tác với nhau nhưng các điện tử có thể tương tác tự do khắp không gian mạng, còn các lỗ

trống tương ứng cũng có thể di chuyển giữa các nút mạng Điện tử và

lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách lớn hơn nhiều lần hằng số

mạng Khi đó, thế năng của mạng tinh thể sẽ tác động đáng kể đến chuyển động của điện tử và lỗ trống, làm giảm khối lượng hiệu dụng

của chúng; lại cộng thêm thế chắn của môi trường mạng nên năng lượng liên kết của exciton thường nhỏ hơn nhiều so với năng lượng

của hydro (mức trung bình là 0.1 eV) Loại exciton này gọi là exciton

Mott-Wannier, đặt theo tên hai nhà khoa học Nevil Francis Mott và Gregory Wannier Exciton loại này thường xảy ra trong tinh thể đồng hóa trị

• Exciton Frenkel: Trong chất cách điện, hằng số điện môi rất lớn nên điện tử và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách phân tử Loại

exciton này được gọi là exciton Frenkel, đặt theo tên của J Frenkel

(còn gọi là exciton phân tử hay exciton bán kính nhỏ) Do kích cỡ

nhỏ, tương tác Coulomb lớn và ít bị ảnh hưởng bởi trường mạng nên năng lượng liên kết của nó lớn (trung bình 1.5 eV)

Hình 1.2: Exciton Mott Wannier: liên kết yếu với khoảng cách trung bình giữa electron – lỗ trống lớn hơn so với hằng số mạng [5]

Hình 1.3: Exciton Frenkel: liên kết được biểu diễn định xứ tại một nguyên tử trong một tinh thể kiểu halogenua [5]

1.2.4 Tính ch ất

Exciton có các tính chất chính như sau:

• Chỉ có mặt trong bán dẫn hoặc điện môi

• Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống như nguyên tử hydro, tuy nhiên nó có bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn

• Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dải các mức exciton gián đoạn Phổ hấp thụ exciton là phổ gián đoạn, gồm một dải các

vạch như phổ hấp thụ của hydro

• Sự tồn tại của exciton được chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát

hiện một vùng phổ hấp thụ gần bờ hấp thụ cơ bản về phía bước sóng dài với các mũi nhọn (peak) hấp thụ (ở nhiệt độ thấp) mà không làm thay đổi nồng độ hạt dẫn Phổ vạch dạng giống như nguyên tử hydro

đã được phát hiện trong các bán dẫn có vùng cấm rộng như CdS, HgI2, PbI2, CdI2, CuO2,

Hình 1.4: Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton [5]

1.2.5 Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường đều

Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường có dạng:

2m hωc r h là động năng do chuyển động xoáy

ốc dưới tác dụng của từ trường của electron và lỗ trống, với

Làm tương tự cho

2

*

1ˆ

µ

Ω = , ta được:

Hamiltonian được tách biến làm hai phần:

• Chuyển động của tâm khối : ˆ ˆ2 1 2 2

động tử điều hoà ta có thể giải tìm nghiệm chính xác

• Chuyển động tương đối:

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU

Trong chương này ta sẽ áp dụng phương pháp toán tử giới thiệu ở chương 1

để giải trực tiếp cho bài toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường Ta lần lượt tiến hành các bước giải tương tự như trong chương 1 để tìm nghiệm chính xác

bằng số cho bài toán, chỉ khác là ở đây ta sử dụng các toán tử sinh - hủy hai chiều Điểm lưu ý là trong phần này là để giải quyết vấn đề khó khăn khi dạng thế tương tác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số, chúng tôi đã dùng phép biến đổi Laplace như trong công trình [7]

2.1 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều

Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường được viết như sau:

Bước 1: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh – hủy hai chiều

bằng cách đặt biến số động lực thông qua các toán tử sau:

ˆ ˆ[ , ] 1;

a a

b b

+ +

Như vậy ba toán tử Mˆ,M Nˆ, ˆ tạo thành một đại số kín Ngoài ra dễ dàng

chứng minh các toán tử này giao hoán với toán tử moment xung lượng ˆ

với thành phần Sˆ =exp{−τ(Mˆ + +Mˆ +Nˆ)} được đưa về dạng chuẩn (xem Phụ lục 5):

τ

ττ

tử trung hòa (chỉ chứa thành phần giao hoán với các toán tử a aˆ ˆ  và b bˆ ˆ ), thành

phần còn lại là nhiễu loạn ˆOM

2

ˆ

0 0

Xây dựng bộ hàm sóng cơ sở thỏa các điều kiện: vừa là bộ hàm sóng của dao động tử điều hòa, vừa là hàm riêng của toán tử ˆL z (vì toán tử ˆL z là đại lượng bảo toàn)

Bộ hàm sóng cơ sở của bài toán:

m k

2

2 1 2

p t

ππ

Biểu thức trên chính là năng lượng gần đúng bậc zero tìm được phụ thuộc vào tham số ω Như đã nói, đây là tham số được đưa vào để tối ưu hoá quá trình tính toán Từ điều kiện (1.12) ta thu được phương trình xác định ω như sau:

k k m Z

k i k m i i

Bước 4: Phương pháp toán tử tìm nghiệm bằng số

Trong phần này, ta sẽ sử dụng sơ đồ vòng lặp để tìm nghiệm số chính xác Khi đó, hàm sóng chính xác bậc (s) ứng với năng lượng ( )s

, ( )

k s s

l

l k j s

jj km

Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu

+

− + + +

+

+

− + +

lượng bằng số chính xác cho trạng thái bất kì Tham số ω có thể được chọn bằng điều kiện (1.12), cụ thể ở bài toán này là phương trình (2.14), tuy nhiên đây chưa

phải là giá trị tối ưu Ngoài ra, ω có thể được chọn thử nghiệm khảo sát sao cho nghiệm thu được theo từng vòng lặp hội tụ nhanh về nghiệm số chính xác Sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ bài toán vào tham số tự do sẽ được khảo sát kĩ hơn ở chương 3 Bảng 2.1 đưa ra một số giá trị minh họa cho năng lượng thu được sau

100 vòng lặp ở trạng thái cơ bản 1s và trạng thái kích thích 2 , 3 p− d−, với ω được

chọn từ điều kiện (1.12) Các chữ số in đậm là phần đã hội tụ về giá trị chính xác, các số còn lại có giá trị chính xác khi ta tiếp tục tính đến các vòng lặp cao hơn.Để

dễ so sánh với kết quả trong công trình [21], cường độ từ trường được thể hiện qua đại lượng 'γ =γ γ/ ( + và giá tr1) ị năng lượng ở đây bằng 1 2 giá trị năng lượng trong [21] Ta nhận thấy năng lượng thu được phù hợp với kết quả công trình [21]

và chính xác tới những chữ số sau dấu phẩy đã hội tụ

B ảng 2.1: Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK

theo sơ đồ vòng lặp cho một số trạng thái

trạng thái cơ bản mà còn cho các trạng thái kích thích Cần chú ý rằng khi tính các

mức năng lượng chúng ta không nhất thiết phải chọn ω như ở điều kiện (1.12) hoặc (2.14) mà đơn giản có thể chọn bằng phương pháp thử sao cho quá trình tính toán

có tốc độ hội tụ cao nhất

Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO ĐỐI VỚI SỰ

Điểm đặc biệt trong phương pháp toán tử là có đưa vào một tham số tự do

ω thông các toán tử sinh, hủy Chúng ta gọi là tham số tự do vì thực chất Hamiltonian của hệ không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này Tuy nhiên, ω

lại có mặt cả trong thành phần chính Hˆ0 và phần nhiễu loạn Vˆ Vì vậy, bằng cách thay đổi ω ta có thể điều chỉnh Hˆ0 và Vˆ sao cho luôn thỏa điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn V ˆ  H ˆ 0 trong toàn miền thay đổi của từ trường Do đó, việc chọn

lựa ω có thể hiệu chỉnh được tốc độ hội tụ của bài toán về nghiệm số chính xác Trong chương này ta sẽ phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối

ưu hóa quá trình tính toán Đầu tiên, chúng ta tìm hiểu về vai trò tham số ω đối

với phương pháp toán tử Tiếp đến, chúng tôi sẽ giới thiệu sự phụ thuộc của tốc độ

hội tụ theo tham số ω với bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn khi áp dụng phương pháp toán tử FK [6] Cuối cùng, chúng ta đi vào nội dung chính của luận văn là khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài toán exciton 2D trong từ trường đều Trong phần này, chúng tôi tiến hành khảo sát

lần lượt tốc độ hội tụ của bài toán ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích với trường hợp độ lớn cường độ từ trường nhỏ, trung bình và lớn, sau đó tiến hành thử nghiệm một số điều kiện chọn ω và đưa ra kết luận

3.1 Vai trò tham số tự do ω đối với sự hội tụ của phương pháp toán tử

Một trong các vấn đề quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử là vai trò

của tham số tự do ω Tham số ω được gọi là tham số tự do vì Hamiltonian của hệ không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này Như đã giới thiệu ở chương 1, việc đưa vào một tham số tự do ω có vai trò đặc biệt quan trọng vì độ chính xác của nghiệm gần đúng phụ thuộc vào việc chọn lựa giá trị của tham số này Ngoài ra,