Bức xạ tự phát của nguyên tử kích thích gần khối trụ hữu hạn trong gần đúng born

Bài toán tốc độ rã tự phát của nguyên tử đặt gần khối trụ hữu hạn đã được xem xét trong [1, 22] với moment lưỡng cực nguyên tử hướng theo phương ˆz.. Ta giả sử moment lưỡng cực nguyên tử

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

L ỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin cảm ơn gia đình, những người thân của tôi đã tạo mọi điều kiện thuận

lợi trong quá trình tôi học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Hồ Trung Dũng, người trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn Trong quá trình làm luận văn, thầy đã rất tận tình, cởi mở giúp tôi nhanh chóng

tiếp cận và giải quyết vấn đề

Tôi xin cảm ơn các anh chị trong phòng vật lý lý thuyết, viện vật lý TP Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo nhiều thuận lợi trong quá trình tôi làm luận văn

Tôi xin cảm ơn trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, phòng sau đại học đã tạo điều

kiện cho tôi được học tập tại trường

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thầy cô đã giảng dạy, giúp tôi hoàn thành các học phần trong chương trình học

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

M ỤC LỤC 2

M Ở ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: TỐC ĐỘ RÃ TỰ PHÁT TRONG KHAI TRIỂN BORN 5

1.1 Chu ỗi Born 5

1.2 T ốc độ rã tự phát trong khai triển Born 6

1.2.1 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ 9

1.2.2 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ 11

1.2.3 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ 12

CHƯƠNG 2 HÀM GREEN CHO HỆ TRỤ VÔ HẠN 13

2.1 Hàm Green chân không 13

2.2 Hàm Green tán x ạ 15

2.3 Ứng dụng cho khối trụ hai lớp 18

2.3.1 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ 20

2.3.2 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ 23

2.3.3 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ 24

CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN 26

3.1 Các v ạch cộng hưởng của hàm Green cho khối trụ vô hạn và tích phân theo đường vòng 26

3.2 T ốc độ rã tự phát 31

3.2.1 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ 31

3.2.2 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ 36

3.2.3 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ 41

3.2.4 Moment lưỡng cực nguyên tử có hướng ngẫu nhiên 46

K ẾT LUẬN 48

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 49

M Ở ĐẦU

Như đã biết, quá trình rã tự phát đóng vai trò rất quan trọng trong các thiết bị quang tử Người ta có thể điều khiển quá trình này bằng cách điều chỉnh môi trường xung quanh nguồn phát xạ Các thuộc tính của quá trình rã có thể tìm hiểu thông qua khảo sát hàm Green [3, 14], tuy nhiên hàm Green chỉ được biết cho các dạng hình học có tính đối xứng cao như tấm phẳng

rộng vô hạn, trụ dài vô hạn hoặc cấu trúc cầu [6] Khi kích thước của các thiết bị ngày càng

giảm trong xu hướng vi hóa hiện nay hoặc khi nguồn phát xạ được đặt gần biên, việc xem xét ảnh hưởng của tất cả các biên trở nên cấp thiết Các phương pháp nặng về tính số như thuật toán finite-difference time domain algorithm [23] có thể áp dụng cho hình học bất kì, nhưng thường đòi hỏi rất nhiều tài nguyên máy tính Như vậy một cách tiếp cận đơn giản và trực tiếp

là điều được mong đợi Ngay cả khi cách tiếp cận này không giải quyết tuyệt đối bài toán thì trong nhiều trường hợp nó vẫn có thể cho phép ước lượng gần đúng ảnh hưởng của các biên Theo [4, 13, 18], chuỗi Born (chỉ lấy số hạng đầu) của hàm Green được sử dụng để xem xét lực van der Waals tác động lên nguyên tử, hiệu chỉnh trường định xứ và tốc độ rã tự phát của một nguyên tử đặt gần tấm chữ nhật Bài toán tốc độ rã tự phát của nguyên tử đặt gần khối trụ hữu

hạn đã được xem xét trong [1, 22] với moment lưỡng cực nguyên tử hướng theo phương ˆz Trong cách tiếp cận này, các điều kiện biên được đưa vào thông qua các giới hạn của tích phân

Sử dụng khai triển Born cho hàm Green, luận văn xem xét tốc độ rã tự phát của nguyên tử kích thích đặt trong vùng lân cận của một khối trụ có chiều dài hữu hạn Các cấu trúc đối xứng

trụ xuất hiện trong các nghiên cứu gần đây về atom chips [20], tốc độ rã tự phát và dịch chuyển

mức [5, 7, 10, 11, 12, 15, 19, 24], năng lượng điểm không [21], tương tác Casimir-Polder [2, 8, 9] và sự truyền năng lượng cộng hưởng giữa các phân tử [17] Trong các công trình này, hệ trụ được giả sử dài vô hạn

Nội dung của luận văn này là mở rộng của công trình [22] cho trường hợp moment lưỡng

cực nguyên tử có hướng bất kỳ Kết quả của [22] cho thấy nguyên tử có moment lưỡng cực hướng theo phương ˆz chỉ tương tác với thành phần phân cực TM của trường điện từ Chúng tôi

sẽ chỉ ra rằng cho các moment lưỡng cực hướng theo phương ˆr và fˆ, tất cả các thành phần

phân cực của trường đều tham gia tương tác Vì vậy công thức toán học cũng trở nên phức tạp hơn Nếu không có các bước chuẩn bị để hướng moment lưỡng cực nguyên tử theo một phương

nhất định, thì moment lưỡng cực nguyên tử được xem như có hướng ngẫu nhiên Vì vậy việc xem xét tất cả các hướng của moment lưỡng cực nguyên tử là cần thiết để tạo điều kiện so sánh

kết quả với thực nghiệm Chúng tôi đã thực hiện song song các tính toán cho hệ trụ hữu hạn và

hệ trụ vô hạn Trong trường hợp thứ nhất mô hình là chính xác nhưng hàm Green là gần đúng trong khai triển Born Trong trường hợp thứ hai mô hình là gần đúng nhưng hàm Green là chính xác Chỉ mô hình thứ nhất mới cho phép xem xét ảnh hưởng của điều kiện biên xuất hiện

do độ dài hữu hạn của hệ trụ

Các mục tiêu chính của luận văn là như sau:

- Khảo sát ảnh hưởng của hướng moment lưỡng cực nguyên tử lên tốc độ rã tự phát

- Xác định vùng giá trị của mô hình gần đúng hệ trụ vô hạn

- Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên khi nguyên tử dịch chuyển theo trục Oz

- Tính toán số hàm Green cho hệ trụ vô hạn là rất khó khăn do sự hiện diện của các vạch

cộng hưởng Một trong các mục tiêu của chúng tôi là hoàn thiện phương pháp tính số

đã sử dụng trong công trình [22]

Nội dung của luận văn gồm ba chương: Chương 1 là tốc độ rã tự phát trong khai triển

Born, chương 2 là hàm Green cho hệ trụ vô hạn, kết quả số và thảo luận sẽ được trình bày ở chương 3 Để thuận tiện trong việc ghi các công thức, chúng tôi qui ước các chữ đậm và nghiêng là vector, chữ chỉ in đậm là ma trận

C HƯƠNG 1: TỐC ĐỘ RÃ TỰ PHÁT TRONG KHAI TRIỂN BORN 1.1 Chu ỗi Born

Hàm Green tensor cổ điển của một vật thể vĩ mô có hấp thụ và tán sắc bất kì thỏa phương trình [18]

(I - là tensor đơn vị) cùng với điều kiện biên ở vô cùng e r,w , m r,w là hằng số điện môi

và độ từ thẩm phức phụ thuộc vào tần số và tọa độ không gian thỏa mãn mối liên hệ Kramers - Kronig

Hằng số điện môi và độ từ thẩm có thể được viết

   , , e ,

e r w e r w c r w , m   r,w m r,w cm r,w (1.3)

Giả sử ta có hàm G r r , , w  thỏa mãn phương trình HˆG r r , , w d r r I  , với Hˆ

được định nghĩa như phương trình (1.2) bằng cách thay e cho e và m cho m , khi đó hàm Green G r r , , w  có thể được viết

m m

Phương trình (1.7) là chuỗi Born Khai triển dạng (1.7) của hàm Green có giá trị cho một

dạng hình học bất kì Chuỗi Born đặc biệt hữu dụng khi ce, c tương ứng là nhiễu loạn của m e

và m , khi đó người ta có thể bỏ qua những số hạng bậc cao của chuỗi mà không gây ra sai số

lớn Về mặt vật lý, đây là các hệ có tính chất điện và từ yếu

1.2 T ốc độ rã tự phát trong khai triển Born

Xét môi trường có hằng số điện môi và độ từ thẩm gần với giá trị một,

e r w m r w  , với cl r,w clR r,w iclI r,w , (trong đól e m , ), cl r,w 1

Hình 1.1 Nguyên tử đặt gần khối trụ hữu hạn

Hàm Green G r r , , w  ứng với e   r,w m r,w 1 là hàm Green chân không [18]

4 3

iq

k

d w

 và G r r A A, ,wA là hàm Green phụ thuộc vào vị trí và tần số dịch chuyển

ức năng lượng nguyên tử Thay (1.4) vào (1.11) ta nhận được

   

2 0

2

Im , , Im , ,

A k

r r r và chú ý rằng chỉ lấy phần ảo của hàm do yêu cầu của phương trình (1.12) Đầu

tiên, ta tính các số hạng ae iq và be iq bằng cách khai triển 1 1 2 1 3

Đối với số hạng thứ hai của phương trình (1.12), hàm G r r A A, ,wA được lấy gần đúng là

số hạng đầu của chuỗi Born (1.8)

1.2.1 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ

Ta giả sử moment lưỡng cực nguyên tử hướng theo phương bán kính rˆ của khối trụ (hình 1.2), nằm trong mặt phẳng cắt vuông góc với trục của khối trụ Gọi fA là góc tạo bởi r A và

8

iq A

1.2.2 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ

Tiếp theo ta xem xét trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương

ˆ

f trong hệ tọa độ trụ (hình 1.3)

Hình 1.3 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ

Giả sử góc fA vẫn là góc như trong trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương ˆr (hình 1.2), ta có

     

2 0

8

iq A

1.2.3 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ

Với trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ, dễ thấy

8

iq A

trụ có chiều dài vô hạn và từ đó dẫn tới công thức tốc độ rã phức tạp hơn nhiều so với các phương trình (1.19), (1.22) và (1.24)

C HƯƠNG 2 HÀM GREEN CHO HỆ TRỤ VÔ HẠN

2.1 Hàm Green chân không

Xét môi trường điện môi có dạng trụ N lớp (hình 2.1), mật độ dòng điện J s, vị trí điểm nguồn đặt ở lớp thứ s (s 1,2, ,N ), trong khi đó vị trí điểm trường nằm ở lớp thứ f (

1, 2, ,

Hình 2.1 Mặt cắt ngang của khối trụ vô hạn N lớp

Nếu biết hàm Green G r r fs ,  , trường điện từ E f và H f ở lớp thứ f sinh bởi dòng J s

Hàm Green thỏa mãn điều kiện biên ở những bề mặt ngăn cách giữa các lớp r a j (

G r r mô tả sự đóng góp của các sóng phản xạ và truyền qua từ bề mặt phân cách giữa các

lớp của môi trường N lớp trụ

Hàm Green chân không G r r0 ,  cho hai trường hợp r r và r r được viết chung như sau [15]

Để tìm các hệ số trong phương trình (2.11), người ta sử dụng các điều kiện biên được thỏa

bởi hàm Green trong môi trường trụ đa lớp Từ phương trình (2.3) và (2.4), các ma trận hệ số

thỏa phương trình ma trận sau [16]

e t

m

 , j

j

ihn k

z  ,

2

j j j

k

h

Đặt

1 ( ) ( , ) ( , )

Phương trình (2.19) được sử dụng để tính các ma trận hệ số (2.13) bằng phương pháp truy

hồi Phương trình ma trận của các hệ số cho lớp thứ nhất được viết [16]

1 1 1 ' 1( , ) 1( , )

1( , ) 1( , ) 11 12

1 1 1 ' 1( , ) 1( , )

21 22 2( , ) 2( , )

( , ) ( , ) 1

11 12 ( , ) ( , )

2.3 Ứng dụng cho khối trụ hai lớp

Xét môi trường điện môi là khối trụ vô hạn, hai lớp như trong hình 2.1 Trong giới hạn

của luận văn, chúng tôi xét điểm nguồn và điểm trường ở cùng vị trí ở lớp thứ nhất, tức bên ngoài khối trụ

Hàm Green tán xạ fs ,

sc 

G r r [phương trình (2.11)] ứng với trường hợp f 1 và s 1 có

dạng

2 (1) (1) 11'

2

(2 ),

các ma trận ở vế phải được tính từ phương trình (2.18)

Sau khi triển khai các đạo hàm phương trình (2.6), (2.7) trở thành

Từ (1.11) và (2.5) ta có phương trình tốc độ rã của trạng thái nguyên tử gần khối trụ vô

hạn, chuẩn hóa với giá trị trong không gian tự do

11 0

2.3.1 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ

Định hướng moment lưỡng cực nguyên tử theo phương rˆ, tức là chỉ lấy những thành

phần theo rˆ ở phương trình (2.23), (2.24) sau đó thay vào phương trình (2.21) với cách đặt các

hệ số 11'

(1,2)( , ) (1,2)( , )

e o e

0 1

2 (1)

sin 1

,

(1)

os 1

2 2

, 1 (1)

os 1 sin

2

2, ,

e o

r C

dw

h

fh

fh

2 2 ,1 (1)

sin 1 os

(1)

os 1

, 1 (1)

os 1 sin

( )

e

e o

r h

n r

r h

h

f

h

fh

trong đó R là bán kính của khối trụ, e1  m1  m2  1, k f k A e mf f (với f 1,2)

Thay phương trình (2.27) vào (2.25) và chú ý rằng hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn theo h , ta có phương trình tốc độ rã cho moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương rˆ là

2 0

2 2 2

1

23

2.3.2 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương fˆ

Tương tự, khi định hướng moment lưỡng cực nguyên tử theo phương fˆ, hàm Green có

dạng

 

0 2

0 1

2 (1)

os 1

,

(1)

sin 1

2 2

, 1 (1)

sin 1 os

2

2, ,

8

( )

( )( )

( )

( )

e o

e o

r C

ff

dw

h

fh

fh

2 2 ,1 (1)

os 1 sin

(1)

sin 1

, 1 (1)

sin 1 os

e o

n r

r h

h

f

h

fh

8

( )1

h

hh

từ đó thay (2.35) vào phương trình (2.25) cũng với chú ý hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn theo hta có tốc độ rã khi moment lưỡng cực nguyên tử được định hướng theo phương fˆ là

2 0

2

( )1

n n

h

hh

2.3.3 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ

Cuối cùng ta xét moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ, tức là chỉ lấy

số hạng thứ ba của phương trình (2.23) thay vào (2.20), ta được hàm Green có dạng

 

H V biểu diễn sóng phân cực TE (TM) Từ phương trình (2.39) ta thấy chỉ có sóng phân cực

TM tương tác với nguyên tử khi moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương ˆz, trong khi các phương trình (2.33) và (2.36) cho thấy cả hai phân cực TE, TM tương tác với nguyên tử nếu moment lưỡng cực nguyên tử hướng theo phương ˆr và fˆ

C HƯƠNG 3: KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN 3.1 Các v ạch cộng hưởng của hàm Green cho khối trụ vô hạn và tích phân theo đường vòng

Hàm dưới dấu tích phân trong các phương trình (2.33), (2.36) và (2.39) chứa các điểm kỳ

dị là nghiệm phức của phương trình D 0, D là mẫu số của các hệ số phản xạ C1( , )H V , C 2V

[xem phương trình (2.28)] Các điểm kỳ dị này liên quan đến các mode cộng hưởng của khối

trụ và gây khó khăn cho việc tính số các tích phân

Để chỉ ra sự tồn tại của các điểm kỳ dị, chúng tôi vẽ hàm dưới dấu tích phân của phương trình (2.39), tức trong trường hợp moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương ˆz Đặt

Hình 3.1 Các vạch cộng hưởng của hàm U được biểu diễn theo

Hình 3.2 Như hình 3.1 nhưng với hằng số điện môi e 1.5i10 8, Re e  1.22

Khi tăng giá trị hằng số điện môi lên e 1.5i10 8, số lượng các vạch cộng hưởng tăng

lên rõ rệt nhưng vẫn tập trung nhiều trong vùng 1 Re 

Hình 3.3 Tích phân lấy theo đường elip trong vùng vạch cộng hưởng

Các vạch của hàm U như đã chỉ ở trên gây khó khăn rất lớn cho việc tính toán tốc độ rã ở các phương trình (2.33), (2.36), (2.39) do hàm dưới dấu tích phân thay đổi đột ngột Để loại bỏ các vạch này, chúng tôi sử dụng phương pháp tích phân theo đường vòng trong mặt phẳng

phức của h như hình 3.3 [22], kết hợp với tính giải tích của hàm Green, định lý Cauchy và tính

chất là các cực của hàm Green đều nằm ở nửa trên của mặt phẳng phức Cách chọn đường tích phân này khác với [17], trong đó thay vì nửa elip người ta chọn một đường bán kính và một

phần cung tròn [17]

Hình 3.4 Elip trong mặt phẳng phức của h

Giả sử ta có elip có bán trục lớn là a, bán trục nhỏ là b trong không gian h có trục ngang

là phần thực của h và trục đứng là phần ảo của h, R q  và q như hình 3.4

Ta đổi tích phân theo trục thực của h thành tích phân dọc theo nửa đường elip phía dưới

các bước như sau

thay đổi kết quả Việc thực hiện nhiều tính toán cho các thông số khác nhau cho phép chúng tôi

hiểu rõ hơn phương pháp lấy tích phân dọc theo đường elip

3.2 T ốc độ rã tự phát

Tới đây ta đã có đủ công cụ để xem xét ảnh hưởng của hướng moment lưỡng cực nguyên

tử lên tốc độ rã tự phát Trước tiên chúng tôi trình bày lại kết quả của [22] cho moment lưỡng

cực hướng theo phương ˆz để thuận lợi so sánh

3.2.1 Moment lưỡng cực nguyên tử định hướng theo phương zˆ

Ở hình 3.5 tốc độ rã tự phát theo khai triển Born tuyến tính (1.24) được vẽ như một hàm

của vị trí nguyên tử trong mặt phẳng z 0 với ba giá trị khác nhau của hằng số điện môi Cũng với những thông số đó, tốc độ rã tự phát của nguyên tử gần khối trụ vô hạn được vẽ khi

sử dụng công thức (2.39) Với chiều dài của khối trụ hữu hạn là 10

H R, hình 3.5(a)], khi đó khối trụ hữu hạn được xem như vô hạn, vì vậy ta thấy hai đường

liền nét (cho khối trụ hữu hạn) và đứt nét (cho khối trụ vô hạn cùng bán kính) ứng với

l  Với giá trị rất nhỏ c eR 0.01, sự phù hợp giữa hai trường hợp khối trụ hữu hạn và vô

hạn vẫn rất tốt Tuy nhiên khi ceR tăng, độ lệch giữa hai đường trở nên rất rõ ràng Điều này

chứng tỏ rằng, giá trị bán kính của khối trụ tăng khối trụ hữu hạn không thể được coi là vô hạn

nữa