Sử dụng phương pháp toán tử khảo sát hiệu ứng zeeman của nguyên tử hydro ở mức năng lượng kích thích cao

Trong chương này, phương pháp toán tử sẽ được giới thiệu và được ứng dụng trong tính toán mức năng lượng cơ bản mức kích thích thứ nhất và mức kích thích thứ hai của nguyên tử hydro như

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LÝ DUY NH ẤT

ỨNG ZEEMAN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Ở MỨC NĂNG

LƯỢNG KÍCH THÍCH CAO

LU ẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

M ỤC LỤC

M ỤC LỤC 3

CHƯƠNG 1: TỔNG QUANG VỀ HIỆU ỨNG ZEEMAN 5

1.1 Trường hợp nguyên tử hydro không có từ trường ngoài 6

1.2 Trường hợp nguyên tử hydro đặt trong từ trường ngoài 6

1.2.1 Hi ệu ứng Zeeman thường (trong từ trường mạnh) 6

1.2.2 Hi ệu ứng Zeeman dị thường (từ trường yếu) 7

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN T Ử HYDRO 10

2.1 Phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro 11

2.2 Bi ểu diễn hamiltonian qua toán tử sinh, hủy 13

2.3 Tính y ếu tố ma trận của ˆo H vàVˆ 14

2.4 S ử dụng sơ đồ vòng lặp tìm nghiệm chính xác bằng số của phương trình Schrödinger 17

2.5 Lưu đồ thuật giải chương trình tính mức năng lượng của nguyên tử hydro 18

CHƯƠNG 3 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ KHẢO SÁT HI ỆU ỨNG ZEEMAN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Ở MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH THÍCH CAO 21

3.1.Phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường 22

3.2 Bi ểu diễn hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường qua các toán t ử sinh hủy 24

3.3 Các y ếu tố ma trận của ˆo H và Vˆ 26

3.4 Nghi ệm của phương trình Schrödinger 29

3.5 Lưu đồ thuật giải chương trình tính mức năng lượng của nguyên tử hydro đặt trong t ừ trường đồng nhất 31

3.6 M ức năng lưựng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kỳ 34

3.7 Kh ảo sát hiệu ứng Zeeman 36

3.7.1 Hi ệu ứng Zeeman cho từ trường có cường độ yếu 36

3.7.2 Hi ệu ứng Zeeman cho từ trường có cường độ mạnh 40

3.7.5 S ự chuyển mức năng lượng 45

K ẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 49

1 K ết luận 49

2 Hướng phát triển tiếp theo của đề tài 49

DANH M ỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 51

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 52

Ti ếng Việt 52

Ti ếng Anh 52

PH Ụ LỤC 54

PH Ụ LỤC A DẠNG CHUẨN HÓA CỦA TOÁN TỬ 54

PH Ụ LỤC B TÍCH PHÂN EULER 56

PH Ụ LỤC C XÂY DỰNG BỘ HÀM CƠ SỞ ĐỐI XỨNG TRỤ 58

CHƯƠNG 1: TỔNG QUANG VỀ HIỆU ỨNG ZEEMAN

Hiệu ứng Zeeman là hiện tượng xảy ra khi đặt nguyên tử phát xạ trong từ trường làm cgo

một vạch quang phổ bị tách thành một số vạch nhất định gần nhau Nguyên nhân của việc tách

vạch quang phổ là sự tách mức năng lượng Nếu tính toán được mức năng lượng tách ra và biết qui luật chuyển trạng thái thì có thể suy ra được sự tách vạch quang phổ Ngược lại, quan sát

hiện tượng tách vạch quang phổ và dựa vào qui luật chuyển trạng thái thì ta có thể hiểu biết được các mức năng lượng của nguyên tử bị tách như thế nào Trong chương này, hiệu ứng Zeeman sẽ được trình bày một cách khái quát theo quan điểm cơ học lượng tử

Trong gần đúng chuẩn tương đối tính, hamiltonian của electron chuyển động trong trường điện từ có các thế A

và V được xác định bằng biểu thức:

2

ˆˆ

=   là toán tử tương tác spin-quĩ đạo

Nếu nguyên tử đặt trong từ tường ngoài có cảm ứng từ B

ˆˆ

1.1 Trường hợp nguyên tử hydro không có từ trường ngoài

Hamiltonian được viết dưới dạng 0 2 2

ˆˆ2

n

o

Z e E

Như vậy, các mức năng lượngE nsuy biến theo số lượng tử m phù hợp với đối xứng xuyên

tâm của trường

1.2 Trường hợp nguyên tử hydro đặt trong từ trường ngoài

Để tính các mức năng lượng của nguyên tử dưới tác dụng của từ trường ngoài, ta dùng phương pháp nhiễu loạn

Khi từ trường ngoài tác dụng lên nguyên tử hydro đủ lớn để ta có thể bỏ qua tương tác spin-quĩ đạo biểu thị bởi 2 ( )

hình vectơ cho thấy là các vectơ moment động lượng l

và vectơ spin s thực hiện chuyển động

tuế sai quanh từ trường B

dịch chuyểnπ và dịch chuyển thỏa∆ = ±m 1gọi là dịch chuyểns

Thiếu hình trang 3

Ta có hiệu ứng dị thường nếu nguyên tử hydro đặt trong từ trường có cường độ đủ yếu để tương tác spin-quỹ đạo 2 ( )

Mô hình vectơ cho thấy l

và sthực hiện các chuyển đông tuế sai quanh ˆ

J

, trong khi

ˆ

J

chuyển động tuế sai quanhB

Như vậy, đầu tiên ta sẽ xem tương tác spin-quỹ đạo như là nhiễu loạn bậc nhất, các số lượng tử thích hợp sẽ là n, l, s, j, m j Trong hamiltonian nhiễu loạn

(1) ( )

3 3

ˆ 2ˆ .2

Năng lượng của nguyên tử hydro trong phép gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn được xác định bằng biểu thức:

Tỉ lệ với từ trường và thừa số Landé g; thừa số này phụ huộc các số lượng tử j, l, s

Nếu không xét tới spin thì thừa số Landé g=1 Ki đó bổ chính năng lượng bằng:

(1)

,2

c

µ

Như vậy, từ trường càng lớn thì độ tách càng rộng Khi đặt nguyên tử hydro trong từ

trường yếu thì độ tách mức là hàm bậc nhất the B Tuy nhiên, khi xét cả từ trường mạnh và cao thì độ tách mức không còn là hàm bậc nhất theo B nữa Vấn đề này sẽ được trình bày ở chương

sau của luận văn

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN

T Ử HYDRO

Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979 Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L I thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một nhóm các bài toán trong vậy lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường…

Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã tỏ

ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như:

1 Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt Trong suốt quá trình tính toán, có thể sử dụng các phép biến đổi đại số

và những chương trình tính toán như Maple, Mathematica,…trong luận văn này chương trình tính viết bằng ngôn ngữ Fortran 90 được sử dụng để tự động hóa quá trình tính toán

2 Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với từ trường ngoài có cường độ bất kỳ

Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển không ngừng về phương pháp trong việc

giải các bài toán vật lý Trong chương này, phương pháp toán tử sẽ được giới thiệu và được ứng dụng trong tính toán mức năng lượng cơ bản mức kích thích thứ nhất và mức kích thích

thứ hai của nguyên tử hydro như là một bước để kiểm chứng tính đúng đắn của phương pháp toán tử

Các bước cơ bản để giải bài toán bằng phương pháp toán tử:

1 Xây dựng bộ hàm cơ sở phù hợp cho bài toán

2 Biểu diễn hamiltonian qua các toán tử sinh, hủy phù hợp với bộ hàm cơ sở vừa xây

dựng

3 Tách hamiltonian thành hai phần:

Trong đó ma trận của toán tử ˆo

H là một ma trận chéo và ma trận của toán tử Vˆcó thành

phần nằm trên đường chéo bằng không

4 Khai triểnϕ theo bn ộ hàm đủ, trực giao, chuẩn hóa n :

5 Dựa vào bộ hàm cơ sở tìm các yếu tố ma trận của toán tử ˆo

H và Vˆ

6 Sử dụng sơ đồ vòng lặp để tính trị riêng và hàm riêng tương ứng của bài toán đang xét

2.1 Phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro

Khi không có từ trường ngoài, phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro có

lực sẽ được chuyển về biều diễn toán tử sinh hủy và sau đó tác dụng lên vectơ trạng thái Chính

vì thế các toán tử này không thể ở dưới mẫu số Để khắc phục khó khăn trên chúng tôi sử dụng phép biến đổi Laplace như sau:

Trong đó, ω là tham số thực dương

Các toán tử (2.8) thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

Với i, j=1, 2, 3 Đây chính là công cụ chính cho các tính toán đại số sau này, hệ thức này

giúp ta đưa các toán tử sinh, hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm về phía bên trái

và các toán tử hủy nằm về phíc bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này Từ đây về sau, ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tử

Dựa vào các tính chất của giao hoán tử, bộ hàm cơ sở đối xứng cầu của bài toán nguyên

tử hydro được xây dựng và có dạng như sau:

=∑ ;

3 1

i i

=

=∑ + thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

A Aˆ ˆ, +=2 ;Nˆ A Nˆ, ˆ=4 ;A N Aˆ  ˆ, ˆ+=4Aˆ+

2.2 Bi ểu diễn hamiltonian qua toán tử sinh, hủy

Từ định nghĩa toán tử sinh, hủy (2.8), (2.9), các biểu thức (2.10), (2.11) ta có thể biểu diễn toán

tử động năng (2.5) và toán tử thế năng Coulomb (2.7) qua các toán tử sinh, hủy:

1ˆ

năng tương tác Coulomb và dạng chuẩn [2]:

+ − +∞

+

+ +

+ − +∞

− − +

+ +

Lúc này, hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro được viết thành:

+ − +∞

− − +

+ +

i i

ωω

π

− +∞

+ − +∞

− − +

+ +

Y ếu tố ma trận của toán tử ˆo

0 0

i i

i i

ωπ

− +∞

3 2

o nn

n i

π

− +∞

− +∞

322

− +∞

3 2

n i

− +∞

− +∞

− + +∞

+ − +∞

− − +

+ +

( , 1 , 1)

1

2 (2 1) (2 2)(2 3) 4

Các biểu thức (2.43) và (2.44) là hai biểu thức chính trong sơ đồ vòng lặp được sử dụng

để tìm nghiệm chính xác bằng số của phương trình Schrödinger

2.5 Lưu đồ thuật giải chương trình tính mức năng lượng của nguyên tử hydro

Để giải phương trình Schrödinger theo phương pháp toán tử kết hợp với sơ đồ vòng lặp,

ta dùng chương trình SOLVE ENEGY[phụ lục D] Chương trình này được viết bằng ngôn ngữ Fortran 90 với thuật giải có thể mô tả khái quát thông qua các bước sau:

Trước hết, lập chương trình con tính các yếu tố ma trận của ˆo

3 4 1 ( 1) 2 (2 1)!(2 1)!

(2 2 4 1)!!

0( ) !(2 2 1)!!( )!(2 2 1)( )

(0) (0) ;

Tham số ωở (2.45), (2.47) là tham số tự do Tham số này ảnh hưởng đến tính hội tụ của

nghiệm theo sơ đồ vòng lặp [7] Ở đây, chúng tôi dùng ( )

H H

Chương trình cho ra kết quả ở bảng 2.1 như sau:

t ử

Mức năng lượng Năng lượng E n

Kích thích thứ nhất (n=1) 0.12499 Kích thích thứ hai (n=2) 0.05555

Từ bảng 2.1 cho thấy bằng phương pháp toán tử kết hợp với phép biến đổi Laplace và sử

dụng sơ đồ vòng lặp ta thu được các mức năng lượng cơ bản, kích thích thứ nhất, kích thích thứ hai của nguyên tử hydro với sai số chấp nhặn được, nếu tiếp tục tăng số vòng lặp lên thì kết quả thu được sẽ tiến đến nghiệm chính xác của cơ học lượng tử Đến đây ta có thể khẳng định tính đúng đắn của phương pháp

Như vậy kết quả trong chương này cho ta kết luận:

1 Phương pháp toán tử kết hợp phép biến đổi Laplace ứng dụng cho việc giải phương trình Schrödinger, cho các mức năng lượng của nguyên tử hydro, với sơ đồ vòng lặp ta thu được nghiệm hội tụ về giá trị chính xác, ta gọi là nghiệm chính xác bằng số

2 Vì cách giải rất tổng quát, không cần tính đến đặc điểm riêng của hamiltonian, cho nên

ta hy vọng là phương pháp này áp dụng cho các bài toán nguyên tử khác

3 Kết quả trên cho thấy cách tách hamiltonian không phụ thuộc vào đặc điểm vật lý của

hệ, nên ta sẽ áp dụng để khảo sát hiệu ứng Zemann trong chương tiếp theo

CHƯƠNG 3 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ KHẢO SÁT

bất kỳ một cách hữu hiệu Ưu điểm này thể hiện thông qua việc giải quyết thành công bài toán nguyên tử hydro trong từ trường bất kỳ ở mức cơ bản [7] và mức kích thích thứ nhất Trong chương 3 này, phương pháp toán tử sẽ được áp dụng để khảo sát hiệu ứng Zeeman của nguyên

tử hydro ở mức năng lượng kích thích cao hơn

Khi không có từ trường ngoài, bài toán nguyên tử hydro có tính chất đối xứng cầu nên bộ hàm cơ sở đối xứng cầu được dùng đề giải quyết bài toán, nhưng khi có mặt từ trường đồng

nhất, tính đối xứng cầu mất đi, thay vào đó tính đối xứng trụ được thiết lập Vì thế trong chương này, bộ hàm cơ sở có tính đối xứng trụ sẽ được dùng để giải quyết bài toán

Những bước tiến hành tương tự như với chương 2, hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường được tách thành:

H tác dụng lên một trạng thái sẽ không làm thay đổi

trạng thái đó, ma trận của toán tử ˆo

H là một ma trận chéo Toán tử K là toán tử không trung hòa

có chứa các thành phần không trung hòa: hai toán tử A Aˆ ˆ, +có số mũ khác nhau, khi tác dụng lên

một trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét và ma trận của toán tử Vˆcó thành phần nằm trên đường chéo bằng không

Sử dụng sơ đồ vòng lặp để tìm ra năng lượng kích thích bậc cao của nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất có cường độ bất kỳ và so sánh kết quả với kết quả của các tác giả khác Sau đó, ta có khảo sát sự tách vạch quang phổ và chuyển mức của nguyên tử hydro trong

từ trường đồng nhất có cường độ bất kỳ

3.1 Phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường

Phương trình Schrödinger của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường khi không xét đến spin có dạng:

ωµ

= 

 , trong khi năng lượng tương tác Coulomb được đặc trưng bởi năng lượng Rydberg E∞ Với E∞ =hcR R y; y

2.10

γ ≤ − , từ trường mạnh ứng với giá trị 3

2.10− < ≤γ 2 và từ trường cao γ > 2 [10], với γ = 1 tương ứng 9 5

2.35 10 2.35 10

Như vậy, hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất hướng theo

trục Oz trong hệ không thứ nguyên có dạng:

2 2 2

2 2 2 3

Tiếp theo, hamiltonian (3.3) được biểu diễn các toán tử sinh hủy và được tách thành hai thành phần: trung hòa và không trung hòa sau đó sử dụng sơ đồng vòng lặp để tìm nghiệm của phương trình (3.1)

Dùng bộ hàm cơ sở đối xứng trụ của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường

1 2 1

Trạng thái n của nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất hướng theo trục Oz, được

định nghĩa thông qua trạng thái n n1 2,±m như sau:

với n 1 ,n 2 ,m=0,1,2…

Xét từng tường hợp cụ thể

Như vậy, ứng với một trạn thái n sẽ có bậc suy biến là:

2

Với: n=0,1,2…

Với cách định nghĩa này, bài toán nguyên tử hydro trong phương pháp toán tử có bậc suy

biến trùng với bậc suy biến của bài toán nguyên tử hydro được giải theo cách truyền thống trong cơ học lượng tử

3.2 Bi ểu diễn hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường qua các toán tử sinh h ủy

Hamiltonian của bài toán nguyên tử hydro trong từ trường đồng nhất hướng theo trục Oz

có dạng (3.3) Ta sẽ biểu diễn Hˆ qua các toán tử sinh, hủy trong bộ hàm cơ sở đối xứng trụ

Thỏa mãn cá hệ thức giao hoán tử:

t

t

ωπ

+ + + − + + + +∞ +∞

+ + + − +∞

H tác dụng lên một trạng thái sẽ không làm thay đổi

trạng thái đó, ma trận của toán từ ˆo

H là một ma trận chéo; toán tử Vˆlà toán tử không trung hòa

có chứa các thành phần không trung hòa: hai toán tử A Aˆ ˆ, +có số mũ khác nhau, khi tác dụng lên

một trạng thái sẽ làm thay đồi trạng thái đang xét và ma trận của toán từ Vˆcó thành phần nằm trên đường chéo bằng không

t

ωπ

− + +∞ +∞

+ + + − +∞

t

t

ωπ

+ + + − + + + +∞ +∞ +∞ +∞

+ + + − +∞

+ + + + +

và Vˆqua bộ hàm cơ sở đối xứng trụ, sử dụng sơ đồ vòng lặp để tìm nghiệm chính xác bằng số

của phương trình Schrödinger (3.1)

Để tính toán các yếu tố ma trận của ˆo

H và Vˆtừ bộ hàm cơ sở đối xứng trụ, ta xây dựng thêm một số biểu thức:

+ +

t dt t

3.4 Nghi ệm của phương trình Schrödinger

Để tìm nghiệm của phương trình Schrödinger (3.1) ta xây dựng lại sơ đồ vòng lặp ứng với

bộ hàm cơ sở đối xứng tụ

Từ định nghĩa trạng thái n qua trạng thái n n1, 2,±m ở (3.5), phương trình Schrödinger (3.1) được viết thành:

Hai biểu thức (3.48) và (3.49) là hai biểu thức chính trong sơ đồ vòng lặp tìm năng lượng

của nguyên tử hydro trong từ trường ngoài

3.5 Lưu đồ thuật giải chương trình tính mức năng lượng của nguyên tử hydro đặt trong

t ừ trường đồng nhất

Để khảo sát hiệu ứng Zeeman, chúng tôi dùng chương trình MAGENERGY[phụ lục D] Chương trình này được viết bằng ngôn ngữ Portran 90 với thuật giải được mô tả khái quát thông qua các bước sau:

Trước hết, lập chương trình con tính các yếu tố ma trận của ˆ , ˆ

II

Z H

Trong đó tham số tự do ω sẽ làm ảnh ưởng đến tính hội tụ của nghiệm [7]

Sử dụng lưu đồ thuật giải sau:

3.6 M ức năng lưựng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ

b ất kỳ

Hàm sóng ở trạng thái kích thích thứ hai của nguyên tử hydro trong từ trường có cường

độ bất kỳ ϕn n1,2,±m với n 1 + n 2 +m = 2 được biểu diễn qua bộ hàm cơ sở đối xứng trụ như sau:

Từ kết quả tính mức năng lượng liên kết kích thích thứ hai ở trạng thái ϕ00 2− tương ứng

với trạng thái 3d-2 của nguyên tử hydro và so sánh với tài liệu 10, đã g định thêm tính đúng đắn

của phương pháp toán từ

3.7 Kh ảo sát hiệu ứng Zeeman

Trong nội dung này, ta sẽ khảo sát hiệu ứng Zeeman cho các mức kích bậc một, hai… trong ba khoảng từ trường: từ trường có cường độ yếu ứng với giá trị 3

2.10

γ ≤ − từ trường có cường độ mạnh ứng với giá trị 3

Khi có từ trường ngoài đồng nhất, mức kích thích thứ nhất bị tách thành ba mức tương ứng với m= ± 0, 1, mức kích thích thứ hai tách thành 5 mức tương ứng m= ± ± 0, 1, 2, nguyên tử hydro bị khử suy biến một phần Ở cùng mức n, khi m bằng nhau thì các vạch lại trùng nhau,

có nghĩa là, sự tách mức năng lượng phụ thuộc cả vào số lượng tử m

Trong khoảng tò trường có cường độ yếu, năng lượng của nguyên tử hydro phụ thuộc tuyến tính theo cường độ từ trường đồng nhất

Từ kết quả cho ta kết luận: phương pháp toán tử với phép biến đổi Laplace theo sơ đồ vòng lặp hoàn toàn có thề khảo sát được hiệu ứng Zeeman