Dạy học khái niệm tích phân ở bậc trung học phổ thông theo quan điểm liên môn

Việc thiết kế các tình huống dạy học để học sinh có thể vận dụng toán học là vô cùng quan trọng, nó không những không phủ định việc dạy các tri thức, kĩ năng riêng của từng phân môn mà s

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đậu Thanh Huyền

Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đậu Thanh Huyền

Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN

Chuyên ngành: Lí lu ận phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã s ố: 60 14 01 11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS LÊ TH Ị HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người đã bỏ nhiều công sức hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn

Tiếp đến, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến PGS TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga Các Thầy Cô đã bỏ nhiều thời gian và công sức giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những tri thức cần thiết và quan trọng của bộ môn didactic Toán

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này

Cũng không thể không nhắc đến tập thể lớp 12A10 trường THPT Lê Minh Xuân Cám ơn các em vì những tiết thực nghiệm đầy hào hứng và thú vị

Đậu Thanh Huyền

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP LUẬN NGHIÊN CỨU 5

1.1 Khái niệm liên môn 5

1.1.1 Nguyên tắc của dạy học liên môn 6

1.1.2 Sự cần thiết phải vận dụng dạy học liên môn trong dạy học toán 6

1.2 Thuyết nhân học trong didactic Toán 9

1.2.1 Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân 9

1.2.2 Tổ chức toán học 9

1.3 Đồ án didactic 10

1.4 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu 10

1.5 Phương pháp nghiên cứu 11

Chương 2 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC VẬT LÍ 12 2.1 Khái niệm tích phân trong sách giáo khoa vật lí 10 13

2.1.1 Vấn đề tìm quãng đường 13

2.1.1.1 Vấn đề tìm quãng đường trong chuyển động thẳng đều 13

2.1.1.2 Vấn đề tìm quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều 14

2.1.1.3 Vấn đề tìm quãng đường trong chuyển động rơi tự do 15

2.1.2 Về kiểu nhiệm vụ ngược của T2 15

2.2 Khái niệm tích phân trong sách giáo khoa vật lí 12 16

Chương 3 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN 21

3.1 Phân tích chương trình 21

3.1.1 Chương trình giải tích 12 cơ bản 21

3.1.2 Chương trình giải tích 12 nâng cao 22

3.2 Cách trình bày khái niệm tích phân trong các sách giáo khoa giải tích lớp 12 23 3.2.1 Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản 23

3.4 Các praxéologie liên quan đến khái niệm tích phân 29

KẾT LUẬN 33

Chương 4 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ MỘT TIỂU ĐỒ ÁN DẠY HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN 34

4.1 Đối tượng và mục đích thực nghiệm 34

4.2 Xây dựng các bài toán thực nghiệm 34

4.2.1 Những kiểu nhiệm vụ được lựa chọn 34

4.2.2 Các biến được sử dụng 35

4.2.3 Các bài toán thực nghiệm 37

4.3 Phân tích tiên nghiệm 37

4.3.1 Các chiến lược 37

4.3.2 Dàn dựng kịch bản 41

4.3.4 Phân tích kịch bản 43

4.4 Phân tích hậu nghiệm 44

4.5 Kết luận cho tiểu đồ án dạy học 51

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

PH Ụ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Trong chương trình giáo dục của nước ta hiện nay, môn toán có vai trò hết sức quan trọng Nó là môn thi bắt buộc cho nhiều chuyên ngành trong kì thi tuyển sinh đại

học Có lẽ lý do chính là vai trò công cụ của toán học trong cuộc sống, trong nhiều khoa học như vật lí, hóa học, sinh học, Thế nhưng dường như việc dạy học toán vẫn chưa chú ý đúng mức đến vai trò công cụ của toán học đối với các lĩnh vực ngoài toán Nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn nhận định: “Cách dạy phổ biến hiện nay là

th ầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lí) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lí, hiểu chứng minh định lí, cố gắng tập vận

d ụng các công thức định lí để tính toán, chứng minh…” (Mai Thị Ngoan, 2010, trang

12)

Giáo sư Hoàng Tụy đã phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí

nh ớ, dạy mẹo vặt để giải bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản…” (Mai

Thị Ngoan, 2010, trang 12)

Thực trạng trên cho thấy, đổi mới quan điểm và cách thức dạy học môn toán thật

sự cần thiết và có vai trò vô cùng quan trọng trong công cuộc đổi mới chất lượng giáo

dục ở nước ta hiện nay Dạy học toán như thế nào để kiến thức thu được có ích cho

cuộc sống của người học? Làm sao để toán học trong nhà trường không tách rời khỏi nguồn gốc thực tiễn của nó? Để trả lời cho những câu hỏi này người ta đang nói đến quan điểm liên môn Chúng tôi quan tâm đến quan điểm này vì thực tiễn dạy học cá nhân tôi cho thấy có nhiều kiến thức trước khi giảng dạy ở trong môn toán thì học sinh

đã được tiếp cận ở các môn như vật lí, hóa học,… Nhưng họ vẫn không thể vận dụng

tổng hợp cũng như hiểu đầy đủ nghĩa của tri thức ở các khía cạnh khác nhau Việc thiết kế các tình huống dạy học để học sinh có thể vận dụng toán học là vô cùng quan trọng, nó không những không phủ định việc dạy các tri thức, kĩ năng riêng của từng phân môn mà sẽ làm cho học sinh nhận thức được mối liên hệ hữu cơ giữa toán học

với các môn học, khắc phục được tính rời rạc, tản mạn trong kiến thức của học sinh

Liên môn trong dạy học toán có thể được thực hiện thông qua việc khai thác qua mối quan hệ giữa toán với các môn như vật lí, hóa học, sinh học,… ở đây chúng tôi chọn vật lí vì nó có mối quan hệ rất khăng khít với toán học Vì thế, việc khai thác môn học này sẽ mang lại cho ta những tình huống giúp học sinh hiểu nguồn gốc và

ứng dụng của toán học Cụ thể, theo nhận định của tác giả Ngô Minh Đức, “Tri thức

toán học được ứng dụng rất nhiều trong nghiên cứu vật lí, và đặc biệt nếu xét trong chương trình phổ thông thì đạo hàm là một trong những khái niệm được ứng dụng nhiều nhất” (Ngô Minh Đức, 2013, trang 1) Khái niệm đạo hàm là công cụ để giải

quyết rất nhiều bài toán khác nhau của vật lí Một cách tự nhiên, ta có thể suy ra rằng

những bài toán ngược của chúng sẽ giúp chúng ta thiết kế những tình huống dạy học khái niệm tích phân theo quan điểm liên môn Nếu như khái niệm tích phân trong toán

học được vận dụng chủ yếu trong việc tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể thì đối với vật lí, khái niệm tích phân được vận dụng đa dạng hơn, như: tính quãng đường

đã đi khi biết sự phụ thuộc giữa vận tốc và thời gian mà vận tốc lại có sự thay đổi khá

lớn trong thời gian chuyển động, xác định sự phụ thuộc của điện tích vào thời gian nếu

đã biết giá trị dòng vào mỗi thời điểm hay tìm momen quán tính của vật rắn, Rõ ràng

rằng nếu được học khái niệm tích phân trong mối liên hệ liên môn giữa toán và vật lí

một cách hợp lí, thì học sinh có thể hiểu bản chất của khái niệm tích phân và biết được những vấn đề mà ở đó nó có thể giải quyết Vì vậy, nghiên cứu dạy học khái niệm tích phân theo quan điểm liên môn chúng tôi nhận thấy là một việc cần thiết

Xuất phát từ những ghi nhận ban đầu nêu trên, chúng tôi chọn đề tài: “DẠY

HỌC KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN” để thực hiện nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu và câu hỏi ban đầu

2.1 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu sự lựa chọn của chương trình, sách giáo khoa trong dạy học khái niệm tích phân ở bậc trung học phổ thông theo quan điểm liên môn Trước hết, chúng tôi sẽ phải nghiên cứu lý luận về dạy học liên môn nói chung, liên môn trong dạy học toán nói riêng Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa vật lí để biết được tích phân ứng dụng ở đâu Tiếp theo, chúng tôi sẽ vận dụng lý luận

về dạy học liên môn để phân tích quan điểm liên môn trong chương trình và trong cách trình bày của sách giáo khoa về khái niệm tích phân Cuối cùng, chúng tôi sẽ xây dựng

một tiểu đồ án dạy học khái niệm tích phân nhằm đảm bảo mối quan hệ liên môn với

vật lí

2.2 Câu hỏi ban đầu

Với mục tiêu trên, câu hỏi nghiên cứu ban đầu mà chúng tôi đặt ra là:

Khái niệm tích phân được dùng để giải quyết vấn đề gì trong toán học cũng như trong vật lí? Việc dạy học khái niệm tích phân ở trường phổ thông hiện nay đã phục vụ cho dạy học vật lí như thế nào? Mối quan hệ liên môn giữa toán và vật lí liên quan đến khái niệm tích phân đã được tính đến ra sao trong dạy học khái niệm tích phân ở lớp 12?

3 C ấu trúc luận văn

Luận văn gồm 4 phần:

CHƯƠNG 1: Cơ sở lí luận và phương pháp luận nghiên cứu

Các lí thuyết của didactic sẽ giúp chúng tôi có cơ sở để phân tích chương 2 và chương 3 Ngoài ra, lý luận về dạy học liên môn sẽ giúp chúng tôi có những hiểu biết

về dạy học theo quan điểm liên môn, đặc biệt vận dụng quan điểm này vào trong việc

dạy học toán cần dựa trên những cơ sở và đảm bảo những nguyên tắc cần thiết nào để học sinh có thể vận dụng kiến thức toán học vào vật lí và ngược lại Từ đó, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh trong những vấn đề của thực tiễn

CHƯƠNG 2: Khái niệm tích phân trong thể chế dạy học Vật lí

Chương 2 giúp chúng tôi hiểu rõ hơn sự tồn tại và những ứng dụng của khái niệm tích phân trong thể chế dạy học vật lí theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành ban cơ bản và nâng cao

CHƯƠNG 3: Khái niệm tích phân trong thể chế dạy học Toán

Thể chế mà chúng tôi nói đến ở đây là hệ thống dạy học toán theo chương trình

và sách giáo khoa hiện hành, ban cơ bản và nâng cao Chương 3 giúp chúng tôi làm rõ tiến trình, cách thức mà sách giáo khoa lựa chọn để đưa vào khái niệm tích phân và thể hiện quan điểm liên môn với vật lí Từ đó, chúng tôi có thể rút ra những ràng buộc, cũng như những điều kiện của thể chế trong dạy học khái niệm tích phân

CHƯƠNG 4: Nghiên cứu thực nghiệm về một tiểu đồ án dạy học khái niệm tích

phân

Chúng tôi sẽ thiết kế tình huống dạy học khái niệm tích phân theo quan điểm liên môn nhằm bổ sung thêm cho mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với khái niệm tích phân Từ đó, học sinh có thể vận dụng khái niệm tích phân vào những tình huống vật lí khác nhau

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP LUẬN NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu cơ sở lí luận giúp chúng tôi hiểu rõ dạy học theo quan điểm liên môn nói chung và dạy học toán theo quan điểm liên môn nói riêng, đặc biệt là trong mối quan hệ liên môn giữa toán và vật lí Từ đó, muốn biết được quan điểm liên môn đã được thể hiện như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa, chúng tôi sẽ sử dụng thuyết nhân học trong việc phân tích chương trình và sách giáo khoa Đây chính là cơ

sở quan trọng để chúng tôi thực hiện các nghiên cứu ở các chương tiếp theo

1.1 Khái niệm liên môn

Theo từ điển giáo dục học, liên môn được định nghĩa như sau:

L iên môn là bộ phận nội dung giáo dục có quan hệ với nhiều bộ môn, bao gồm những vấn đề giáp ranh giữa các môn học, đòi hỏi phải có cách tiếp cận tổng hợp từ nhiều

bộ môn mới làm sáng tỏ được bản chất của sự vật Trong trường phổ thông chưa có các chương trình liên môn như hóa – sinh, hóa – lí, toán – cơ, kinh tế chính trị,… nhưng đã có yếu tố thuộc nhiều liên môn kể trên, do đó đang hình thành xu thế tích hợp nhiều môn học

để sớm hình thành được một số khái niệm khoa học phức tạp, đồng thời tiết kiệm được thời gian dạy học so với dạy – học các môn riêng rẽ tách rời nhau (Bùi Hiền, 2001, trang 292)

Tác giả Garry D Brewer (năm 1999) cũng định nghĩa liên môn là sự kết hợp phù

hợp kiến thức từ nhiều chuyên ngành khác nhau, đặc biệt nó được xem như là

một phương tiện để làm sáng tỏ một vấn đề thực tế Kiến thức liên môn vẫn có giá trị

và đem lại hiệu quả hơn so với kiến thức đơn môn

Ngoài ra, tác giả Đỗ Hương Trà (năm 2015) đã định nghĩa liên môn như sau:

Liên môn theo ngữ nghĩa học là giữa các môn học Thuật ngữ này chỉ ra các dạng hợp tác giữa các môn tạo nên… Liên môn áp dụng cho sự tương tác giữa các môn học nhưng đã thay đổi một cách tinh tế Quan điểm nhận thức luận cho rằng liên môn cho phép xây dựng lại sự thống nhất của khoa học Một công cụ có hiệu quả nhất tạo nên tiếp cận liên môn là đặt người học trong tiến trình giải quyết vấn đề xung quanh một tình huống phức hợp, có tính thực tiễn (Đỗ Hương Trà, 2015, trang 44, 45)

Các định nghĩa đều cho thấy liên môn có vai trò quan trọng trong dạy học, cụ thể trong việc giúp học sinh có thể thấy được bản chất của sự vật cũng như các khái niệm

từ cách tiếp cận tổng hợp từ nhiều bộ môn Từ đó học sinh có thể vận dụng kiến thức

đã học để giải quyết những tình huống khác nhau Tuy nhiên để đạt được hiệu quả như vậy thì đòi hỏi người giáo viên phải hiểu khái niệm cơ bản cũng như những nguyên tắc

về dạy học theo quan điểm liên môn để vận dụng vào quá trình dạy học

1.1.1 Nguyên tắc của dạy học liên môn

Việc vận dụng khái niệm liên môn vào dạy học đòi hỏi người giáo viên không

những phải có hiểu biết sâu sắc về chương trình mà còn phải nắm vững các nguyên tắc

về liên môn để từ đó có thể phát huy hiệu quả của giờ học liên môn Vì vậy, từ định nghĩa liên môn, tác giả Đỗ Hương Trà đã đưa ra ba nguyên tắc của dạy học liên môn

đó là: tích hợp – hợp tác và tổng hợp Ba nguyên tắc này đã tạo nên khung quan niệm của dạy học liên môn Cụ thể:

Nguyên tắc thứ nhất là tích hợp Việc tích hợp các kiến thức, khái niệm cũng như

những phương pháp của các môn học nhằm giải quyết các vấn đề liên môn Trong

từng tình huống, các kiến thức ở các môn khác nhau sẽ bổ sung và hỗ trợ cho nhau

nhằm giải quyết một vấn đề phức hợp mà kiến thức đơn môn không thể thực hiện được

Nguyên t ắc thứ hai là hợp tác Khi tích hợp các kiến thức với nhau đòi hỏi sự

hợp tác của ít nhất là hai môn học Chính sự tương tác của các môn học giúp xác định quy chiếu của các kiến thức, kĩ năng thuộc các môn học khác nhau trong tiến trình giải quyết vấn đề

Nguyên tắc thứ ba là tổng hợp Là sự tổng hợp kết quả có được từ việc tích hợp

và hợp tác

Ba nguyên tắc trên bổ sung và củng cố lẫn nhau góp phần làm tăng hiệu quả dạy

học liên môn Vì vậy, khi thiết kế giờ học liên môn, chúng ta cần phải làm sao để có thể vận dụng được ba nguyên tắc trên vào quá trình dạy học

1.1.2 Sự cần thiết phải vận dụng dạy học liên môn trong dạy học toán

Lịch sử phát triển của các ngành khoa học nói chung và lịch sử phát triển của toán học nói riêng là một quá trình đi từ thấp đến cao Đó là một quá trình mà ở đó con người đã tìm tòi và khám phá tự nhiên để kiến tạo ra tri thức Chúng ta có thể thấy rằng những tri thức toán học được hình thành đều bắt nguồn từ thực tiễn cuộc sống hay

từ những lĩnh vực ngoài toán học như vật lí, hóa học,… Bên cạnh đó, những tri thức toán học khi được tạo ra lại trở thành công cụ hữu ích để giải quyết và mở rộng tri thức của những ngành khoa học khác Do đó, dạy học môn toán không thể chỉ bó hẹp trong những vấn đề nội tại của toán học hay nghiên cứu các đối tượng một cách phiến diện,

mà cần đặt những đối tượng của toán học trong một hệ quy chiếu với những lĩnh vực khác nhau

Hiện nay, dạy học môn toán không chỉ đơn thuần cung cấp cho học sinh các kiến thức toán học rồi vận dụng vào giải bài tập, mà còn phải làm cho học sinh nắm được những phương thức tư duy và hoạt động đặc trưng của toán học để vận dụng vào đời sống như: toán học hóa tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện

và giải quyết vấn đề, Vì vậy, để vận dụng được kiến thức toán học thì người giáo viên cần làm cho học sinh thấy được động cơ cũng như là nhu cầu, sự cần thiết của sự hình thành các tri thức toán học mà học sinh đã đang và sẽ được tiếp cận Chẳng hạn:

số học ra đời trước hết là do nhu cầu đếm, hình học phát sinh do sự cần thiết phải đo ruộng đất bên bờ sông Nin (Ai Cập) sau những trận lụt hằng năm,… Mặt khác, những

kĩ năng, tri thức và phương pháp toán học không những phục vụ cho việc kiến tạo tri thức toán học mà nó còn là công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường Chẳng hạn, tri thức về tương quan tỉ lệ thuận y = ax là công cụ để nghiên cứu rất

nhiều hiện tượng trong lĩnh vực khác nhau như hình học, điện học, hóa học,…

Diện tích S của một tam giác với cạnh a cho trước tỉ lệ thuận với đường cao h ứng

v ới cạnh đó:

1 2

S= ah Quãng đường đi được s trong một chuyển động đều với vận tốc cho trước v tỉ lệ

thuận với thời gian đi t:

Do đó, muốn giúp học sinh hiểu đúng nghĩa của tri thức toán học cũng như có thể vận dụng vào những lĩnh vực khác nhau, chúng ta cần cho học sinh thấy được tri thức toán học ở nhiều góc độ, phương diện khác nhau và mối liên hệ của nó với những đối tượng tri thức khác trong các lĩnh vực có liên quan Chẳng hạn, ở các môn học có liên quan trực tiếp ta có thể hình thành những khái niệm chung với các môn học đó Các khái niệm này sẽ có một mức độ khái quát cao và bao hàm kiến thức của nhiều môn

học Vì vậy, việc xác định nội dung và mở rộng các khái niệm này cần đặc biệt coi trọng trong dạy học, nó không những giúp học sinh hình thành được kĩ năng, kĩ xảo

tiếp thu kiến thức mà còn giúp học sinh độc lập suy nghĩ, tìm tòi khám phá tri thức Đây được coi là yêu cầu cao trong việc giải quyết mối liên hệ giữa các môn học

Vận dụng nguyên tắc liên môn trong dạy học toán làm cho học sinh thấy rõ hơn nhu cầu của việc hình thành một khái niệm, từ đó có thể hiểu được nghĩa của tri thức

một cách rõ ràng và vận dụng vào giải quyết các vấn đề ở những lĩnh vực khác nhau; khắc phục được tình trạng nắm kiến thức toán một cách lẻ tẻ, rời rạc hoặc hiểu không đúng nghĩa của tri thức và dẫn đến việc không biết vận dụng vào những tình huống cần

sự tổ hợp của nhiều kiến thức

Thực hiện nguyên tắc dạy học liên môn trong xây dựng chương trình, biên soạn sách giáo khoa và tiến trình dạy học tránh việc trùng lặp, mất thời gian học tập gây tình trạng nặng nề, quá tải cho học sinh Về mặt phương pháp, dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng, việc sử dụng các phương pháp dạy học truyền thống là cần thiết nhưng sẽ đạt hiệu quả cao hơn nếu chúng ta biết kết hợp với các tài liệu tham khảo của các khoa học khác, đồ dùng dạy học, công nghệ thông tin,… Dạy học liên môn bằng cách sử dụng nội dung và phương pháp của bộ môn khác như vật lí, hóa học,… thực sự cần thiết và làm tăng tính hấp dẫn của môn học

Dạy học liên môn trong toán có tác dụng làm cho kiến thức toán không còn bó hẹp trong các vấn đề nội tại của toán học mà nó còn bổ sung cho các kiến thức của vật

lí, hóa học,… Cụ thể: khái niệm vectơ trong toán học là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các vấn đề về lực trong vật lí Ngược lại, trong nhiều trường hợp, tình huống đặt ra các bài toán vật lí lại chính là nguồn gốc để nảy sinh các khái niệm của toán học Chẳng hạn: bài toán tìm vận tốc tức thời là một trong hai nguồn gốc làm nảy

sinh khái niệm đạo hàm Từ đây, ta thấy được dạy học liên môn giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn đối tượng tri thức và thấy được mối liên hệ hữu cơ giữa các môn học với nhau,

để môn toán không còn đơn thuần là việc giải bài tập, vận dụng công thức một cách máy móc mà thay vào đó là một môn học hấp dẫn và có khả năng vận dụng vào cuộc sống

1.2 Thuyết nhân học trong didactic Toán

Khái niệm tích phân được dạy ở lớp 12 Quan điểm liên môn được tính đến như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa ở trình độ này? Để trả lời câu hỏi đó, cần phân tích chương trình và sách giáo khoa Phân tích mà chúng tôi thực hiện được tiến hành nhờ công cụ của thuyết nhân học mà các khái niệm cơ bản của nó sẽ được chúng tôi trình bày tóm tắt dưới đây

1.2.1 Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân

Mối quan hệ thể chế cho biết sự xuất hiện và tồn tại của tri thức là khái niệm tích phân trong thể chế dạy học toán lớp 12 Qua đó chúng tôi tìm hiểu xem học sinh có

những quan niệm như thế nào về khái niệm tích phân và sử dụng chúng ra sao bằng việc chỉ ra những ảnh hưởng của mối quan hệ cá nhân lên đối tượng khái niệm tích phân

Quan h ệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động qua

l ại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, Quan hệ cá nhân v ới một đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O

Mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,τ, θ,Θ], trong đó: T là kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ

Một praxéologie mà trong đó T là kiểu nhiệm vụ toán học được gọi là một tổ chức toán học, ký hiệu OM

Việc xác định các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm tích phân xuất hiện trong chương Nguyên hàm - Tích phân sách giáo khoa toán lớp 12 giúp chúng tôi biết được kiểu nhiệm vụ nào xuất hiện, kiểu nhiệm vụ nào vắng bóng liên quan đến đối tượng O Từ cơ sở phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những ràng buộc của thể chế đối với đối tượng O

Đồ án didactic cho phép thực hiện:

- Một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các nghiên cứu didactic và các

k ết quả trước đó

- M ột sự kiểm chứng về những xây dựng lí thuyết được thực hiện bằng việc nghiên cứu, và thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy

( Đào Hồng Nam, 2013, trang 14)

Đồ án didactic cho phép chúng tôi thiết kế tình huống dạy học nhằm bổ sung vài

yếu tố vào mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm tích phân và cho học sinh thấy được những ứng dụng của khái niệm tích phân trong vật lí

1.4 Trình bày l ại câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm kiếm một số yếu tố trả lời các câu hỏi sau:

CH1: Khái niệm tích phân được sử dụng nhằm giải quyết những vấn đề gì, bài toán nào trong thể chế dạy học vật lí 10 và thể chế dạy học vật lí 12?

CH2: Khái niệm tích phân được hình thành như thế nào trong thể chế dạy học toán 12 hiện hành? (Tiến trình, cách thức tổ chức đưa vào khái niệm tích phân; tổ chức

toán học nào được hình thành, ) Việc dạy học khái niệm tích phân trong mối quan hệ liên môn với vật lí được thể hiện như thế nào?

CH3: Xây dựng một tiểu đồ án dạy học khái niệm tích phân như thế nào để học sinh thấy được những ứng dụng của khái niệm trong mối quan hệ liên môn với vật lí?

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Trước khi tiến hành phân tích R(I; O) với I là thể chế dạy học toán lớp 12, đối tượng O là khái niệm tích phân, cần thiết phải tìm hiểu ứng dụng có thể tìm thấy của tích phân trong môn Vật lí lớp 10, 12 Việc làm rõ tác động của tích phân trong các praxéologie được dạy ở môn vật lí sẽ mang lại cho chúng tôi một tập dữ liệu để xem xét sách giáo khoa giải tích 12 Những praxéologie nào có thể sử dụng cho dạy học khái niệm tích phân theo quan điểm liên môn? Trong số đó những praxéologie nào được khai thác hay ngược lại? Tập dữ liệu này cũng mang lại những yếu tố để sau này chúng tôi xây dựng tình huống dạy học khái niệm tích phân Vì thế, chúng tôi dành chương 2 cho việc nghiên cứu khái niệm tích phân trong thể chế dạy học vật lí Tiếp theo, chương 3 chúng tôi sẽ làm rõ tiến trình, cách thức tổ chức đưa vào khái niệm tích phân và việc vận dụng quan điểm liên môn với vật lí vào quá trình dạy học khái niệm

bằng việc nghiên cứu khái niệm tích phân trong thể chế dạy học toán lớp 12 Cuối cùng, ở chương 4 chúng tôi sẽ thiết kế tình huống dạy học khái niệm tích phân theo quan điểm liên môn nhằm điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm tích phân

Chương 2 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Mục tiêu của chương nhằm trả lời cho CH1: Khái niệm tích phân được sử

dụng nhằm giải quyết những vấn đề gì, bài toán nào trong thể chế dạy học vật lí

10 và th ể chế dạy học vật lí 12? Việc nghiên cứu thể chế sẽ giúp chúng tôi làm rõ

được vai trò của khái niệm tích phân trong thể chế dạy học vật lí ở bậc trung học phổ thông Cụ thể, nghiên cứu sẽ giúp chúng tôi biết được khái niệm tích phân can thiệp vào việc giải quyết những kiểu nhiệm vụ nào của Vật lý

Theo luận văn của Ngô Minh Đức, chúng tôi thấy được các kiểu nhiệm vụ sau liên quan tới đạo hàm:

T1: Tính vận tốc tức thời biết phương trình chuyển động

T2: Tính gia tốc tức thời biết công thức tính vận tốc tức thời

T3: Xác định suất điện động cảm ứng biết công thức tính từ thông qua dây dẫn

T4: Tính tốc độ biến thiên của cường độ điện trường

T5: Tính độ phóng xạ biết số lượng hạt nhân phân rã

T6: Tính cường độ dòng điện tức thời khi biết công thức tính điện tích qua dây dẫn

Đạo hàm và tích phân là hai khái niệm có quan hệ gắn bó với nhau qua công thức Newton – Leibniz Chính nhờ mối quan hệ này mà một vấn đề nếu được giải quyết nhờ đạo hàm thì vấn đề ngược lại có thể được giải quyết nhờ tích phân Chẳng hạn từ các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3, T4, T5, T6 ở trên, ta sẽ thấy ngay là tích phân có thể được sử dụng để giải quyết các kiểu nhiệm vụ sau:

- Tìm phương trình chuyển động biết hàmvận tốc tức thời

- Tìm vận tốc của vật khi biết hàm gia tốc tức thời

- Tính từ thông qua dây dẫn khi biết suất điện động cảm ứng

- Tính cường độ điện trường khi biết cường độ dòng điện trong mạch

- Tính số hạt nhân N tồn tại vào lúc t>0

- Tính điện tích qua dây dẫn khi biết cường độ dòng điện

Những bài toán kiểu này sẽ được chúng tôi gọi là kiểu nhiệm vụ ngược của các kiểu nhiệm vụ mà đạo hàm can thiệp vào kỹ thuật giải quyết

2.1 Khái niệm tích phân trong sách giáo khoa vật lí 10

Trong chương trình toán, khái niệm tích phân được giảng dạy chính thức ở chương trình lớp 12 Vì lí do dó mà việc sử dụng khái niệm tích phân ở trong sách giáo khoa vật lí 10, 11 được đưa vào một cách ngầm ẩn ở các bài toán tìm quãng đường, tìm vận tốc,…

Chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ ngược của T1, xuất hiện khá nhiều trong sách giáo khoa vật lí 10 và 11 đó là: T ′1 : Tìm phương trình chuyển động khi biết vận tốc

Nó được thể hiện qua ba praxéologie bộ phận được hình thành từ ba kiểu nhiệm vụ Dưới đây chúng tôi sẽ phân tích sự hình thành ba praxéologie đó

2.1.1 Vấn đề tìm quãng đường

2.1.1.1 Vấn đề tìm quãng đường trong chuyển động thẳng đều

Trong việc định nghĩa các khái niệm cũng như đưa vào các công thức vận tốc trung bình, vận tốc tức thời, sách giáo khoa vật lí 10 đã hình thành phương trình chuyển động thẳng đều mà chúng tôi gọi đó là kiểu nhiệm vụ T ′1a Đối với kiểu nhiệm

vụ này, chúng tôi nhận thấy công thức đã được hình thành trong chương trình vật lí ở

bậc trung học cơ sở, đó là s = v t Tuy nhiên, sách giáo khoa vật lí 10 vẫn tiến hành chứng minh công thức độ dời (trong trường hợp này độ dời và quãng đường là như nhau) dựa vào đồ thị biểu diễn vận tốc theo thời gian Vì trong chuyển động thẳng đều

vận tốc là không đổi nên đồ thị biểu diễn vận tốc theo thời gian là một đường thẳng song song với trục thời gian Từ đó sách giáo khoa đã khẳng

định:

Độ dời (x−x0 ) được tính bằng diện tích hình chữ nhật (hình

2.9) có m ột cạnh bằng v0 và m ột cạnh bằng t Ở đây vận tốc tức

thời không đổi, bằng vận tốc đầu v0 (Sách giáo khoa vật lí 10

nâng cao, trang 16)

Như vậy sách giáo khoa đã dùng diện tích để giải thích cách tính độ dời Khái

niệm tích phân đã ngầm ẩn tác động vào việc giải quyết T ′1a

2.1.1.2 Vấn đề tìm quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều

Chúng tôi xét đến việc hình thành kiểu nhiệm vụ thứ hai trong kiểu nhiệm vụ T ′1

đó là T ′1b: Viết phương trình chuyển động trong chuyển động thẳng biến đổi đều bằng

đồ thị vận tốc trong bài 5: “Phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều” ở sách giáo khoa vật lí 10 nâng cao Trong sách giáo khoa đã trình bày chi tiết việc hình thành cách tính như sau:

Trong chuyển động thẳng biến đổi đều, công thức của

v ận tốc là: v v at= +0

Đồ thị vận tốc theo thời gian là một đường thẳng xiên

góc

Ta s ẽ chứng minh rằng độ dời x x− 0 được tính bằng

di ện tích hình thang vuông có các cạnh đáy là ,vv0 và đường

cao là .t

Thực vậy, trước hết ta kẻ những đường song song với trục tung Ov cách đều nhau

một khoảng ∆t rất nhỏ Ta có những hình thang nhỏ với đường cao ∆t Lấy một hình

thang b ất kì như trên Hình 5.3 Chuyển động của chất điểm trong khoảng thời gian

các độ dời ∆x trong các kho ảng thời gian ∆t Độ dời này đúng bằng diện tích hình thang

vuông có các cạnh đáy v và v0, đường cao là t t− 0 Dễ dàng tính được diện tích này:

Cũng như đối với T ′1a, khái niệm tích phân đã ngầm ẩn tác động vào kĩ thuật giải quyết T ′1b

2.1.1.3 Vấn đề tìm quãng đường trong chuyển động rơi tự do

Kiểu nhiệm vụ T ′1c: Tính quãng đường đi được trong chuyển động rơi tự do Kiểu nhiệm vụ này chỉ được tìm thấy trong bài tập về chuyển động thẳng biến đổi đều Sách giáo khoa không trình bày cụ thể cách chứng minh, nhưng với lập luận tương tự cho trường hợp chuyển động rơi tự do (cũng là một trường hợp của chuyển động thẳng biến đổi đều), sách giáo khoa đã đi đến kết quả sau:

1 2

y = y + v t + gt trong đóy0 là vị trí ban đầu, v0 là vận tốc ban đầu và g là

gia tốc rơi tự do” (Sách giáo khoa vật lí 10 nâng cao, trang 33)

Nhận xét: Như vậy, với vấn đề tìm quãng đường, sách giáo khoa vật lí 10, 11 chỉ

xét đến ba trường hợp chuyển động là chuyển động thẳng đều, chuyển động thẳng biến đổi đều và chuyển động rơi tự do mà không xét đến trường hợp chuyển động bất kì Lí

do là vì ở thời điểm này, học sinh chưa được tiếp cận với khái niệm tích phân ở chương trình toán nên sách giáo khoa vật lí chỉ đề cập đến ba dạng chuyển động trên Vậy khi học sinh được tiếp cận khái niệm tích phân ở chương trình toán thì sách giáo khoa có quay trở lại để xét vấn đề tìm quãng đường trong trường hợp chuyển động bất

kì hay không? Để tìm câu trả lời, chúng tôi sẽ tiếp tục phân tích những kiểu nhiệm vụ ngược mà có sự can thiệp của tích phân

2.1.2 Về kiểu nhiệm vụ ngược của T 2

Về khái niệm gia tốc tức thời, chúng tôi đã tìm được kiểu nhiệm vụ liên quan đó

là T2: Tính gia tốc tức thời Tương tự như kiểu nhiệm vụ T1, chúng tôi cũng suy ra được kiểu nhiệm vụ ngược T ′2 : Tìm vận tốc của vật khi biết gia tốc tức thời

Trong trường hợp vật chuyển động thẳng biến đổi đều, sách giáo khoa vật lí 10 nâng cao đã hình thành công thức tính vận tốc của vật từ công thức của gia tốc

“Chọn chiều dương trên quỹ đạo Kí hiệu v v , 0 lần lượt là vận tốc tại thời điểm t

và thời điểm ban đầu t0 = 0 Gia tốc a là không đổi Theo công thức gia tốc thì

0

v v − = athay là v v = +0 at.”

(Sách giáo khoa vật lí 10 nâng cao, trang 23)

Có thể thấy công thức trên được suy một cách tự nhiên từ công thức của gia tốc

Nhận xét

Từ các kiểu nhiệm vụ trên, chúng tôi nhận thấy sách giáo khoa vật lí đã chọn các hàm số biểu diễn các đại lượng trong vật lí như vận tốc, gia tốc,… đa số là các hàm sơ cấp, dễ vẽ đồ thị, cụ thể hàm hằng hoặc hàm bậc nhất Khái niệm tích phân được ngầm

ẩn thông qua diện tích để hình thành công thức tính quãng đường, vận tốc Rõ ràng ở giai đoạn này học sinh sẽ không thể nào nhận ra mối quan hệ qua lại giữa các đại lượng vì khái niệm tích phân các em vẫn chưa được học Vậy khi khái niệm tích phân được giảng dạy ở chương trình toán 12 thì những kiểu nhiệm vụ ngược được giải quyết nhờ tích phân trong sách giáo khoa vật lí 12 đã được trình bày như thế nào? Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các kiểu nhiệm vụ đó trong sách giáo khoa vật lí 12

để xem thử khái niệm tích phân tồn tại ra sao và được ứng dụng giải quyết những vấn

đề gì?

2.2 Khái niệm tích phân trong sách giáo khoa vật lí 12

Khi tiến hành phân tích sách giáo khoa vật lí 12 nâng cao, chúng tôi nhận thấy hai kiểu nhiệm vụ bộ phận trong kiểu nhiệm vụ T ′1 đó là T ′1d : Tìm phương trình chuyển động của vật rắn quay đều quanh một trục cố định và T ′1e: Tìm phương trình chuyển động của vật rắn quay biến đổi đều quanh một trục cố định Tuy nhiên, trong việc tìm các phương trình của hai dạng chuyển động quay, sách giáo viên vật lí 12 nâng cao đã khai thác sự tương tự giữa phương trình chuyển động của vật rắn quay đều với phương trình chuyển động thẳng đều và phương trình chuyển động của vật rắn quay biến đổi đều với phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều, dựa vào sự so sánh giữa chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay Từ đây, giáo viên có thể gợi ý

và yêu cầu học sinh tự suy ra công thức Sự tương ứng giữa các phương trình được thể hiện như sau:

a) Trong trường hợp tốc độ góc của vật rắn không đổi theo thời gian (ω = hằng số) thì chuyển động của vật rắn là chuyển động quay đều với phương trình chuyển động:

0 0t

trong đó ϕ là tọa độ góc ban đầu lúc 0 t=0

Phương trình này có dạng tương tự với phương trình chuyển động thẳng đều:

0

x=x +vt

b) Trong trường hợp gia tốc góc của vật rắn không đổi theo thời gian (γ = hằng số)

thì chuyển động của vật rắn là chuyển động quay biến đổi đều với phương trình chuyển động:

2

1 2

t t

ϕ ϕ ω = + + γ

0 , 0

ϕ ω là tọa độ góc và tốc độ góc ban đầu lúc t=0

Phương trình này có dạng tương tự với phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều:

2

1 2

x=x +v t+ at

(Sách giáo viên vật lí 12 nâng cao, trang 24)

Bên cạnh đó, việc sử dụng kết quả trên cho trường hợp tìm tọa độ góc khi biết gia tốc tức thời cũng được chúng tôi tìm thấy trong chuyển động quay biến đổi đều của vật rắn quanh trục cố định Sách giáo khoa vật lí 12 nâng cao đưa ra công thức sau:

1 2

(ϕ ω0, 0 là tọa độ góc và tốc độ góc ban đầu lúc t =0)

(Sách giáo viên vật lí 12 nâng cao, trang 25)

Ở giai đoạn khái niệm tích phân đã được học sinh tiếp cận trong chương trình toán, chúng tôi sẽ phân tích để tìm hiểu xem khái niệm tích phân đã được ứng dụng như thế nào trong chương trình vật lí 12

Với kiểu nhiệm vụ T5: Tính độ phóng xạ chúng tôi không tìm thấy kiểu nhiệm vụ ngược trong sách giáo khoa vật lí 12 nâng cao Tuy nhiên nó lại được trình bày trong sách giáo khoa vật lí 12 cơ bản thông qua kiểu nhiệm vụ tìm số hạt nhân N tồn tại vào lúc t>0 Lúc này, khái niệm tích phân được trình bày một cách tường minh như sau:

Ta xét một mẫu phóng xạ có N hạt nhân tại thời điểm t Tại thời điểm t+dt, s ố

h ạt nhân đó giảm đi và trở thành N+dN v ới dN <0

S ố hạt nhân đã phân rã trong khoảng thời gian dt là −dN; s ố này tỉ lệ với khoảng

th ời gian dt và cũng tỉ lệ với số hạt nhân N có trong mẫu phóng xạ:

G ọi N0 là s ố hạt nhân của mẫu phóng xạ tồn tại vào lúc t= muốn tìm số hạt 0,

nhân N tồn tại vào lúc t>0 ta ph ải tích phân phương trình trên (tích phân theo t từ 0 đến t):

(Sách giáo khoa v ật lí 12 cơ bản, trang 190)

Không giống với chương trình vật lí 10, ở đây tích phân được sử dụng như phép toán ngược của đạo hàm và việc ứng dụng tích phân trong trường hợp này chúng ta sẽ

biết được số hạt nhân tồn tại vào thời điểm t> 0 theo công thức 0

chặt chẽ

Tích phân đã được sử dụng ngầm ẩn hoặc tường minh qua việc giải quyết một số kiểu nhiệm vụ của vật lí

T ′: Tính cường độ điện trường khi

biết cường độ dòng điện trong mạch

Từ bảng thống kê trên chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T ′3, T ′4 và T ′6 không

tồn tại trong thể chế dạy học vật lí ở bậc trung học phổ thông

Khái niệm tích phân chưa được học ở chương trình toán 10 và 11 nên đã được sách giáo khoa dùng ngầm ẩn thông qua diện tích để hình thành các công thức khác nhau trong vật lí

Từ những ứng dụng của khái niệm tích phân nói trên trong chương trình vật lí, chúng tôi nhận thấy khái niệm tích phân đã góp một phần không nhỏ trong việc giải quyết những vấn đề vật lí Tuy nhiên, liệu việc dạy học toán có khai thác điều này?

Nếu làm tốt điều này học sinh sẽ biết được những công thức vật lí xuất phát từ những

vấn đề nào và nhờ công cụ nào để hình thành Do đó, để có thể cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa toán và vật lí thông qua việc dạy học khái niệm tích phân, chúng tôi

nhận thấy bên cạnh việc phân tích thể chế dạy học vật lí để thấy được khái niệm tích phân đã vận dụng vào những vấn đề nào của vật lí, thì việc phân tích khái niệm tích phân trong thể chế dạy học toán là một việc cần thiết Việc phân tích khái niệm tích phân trong thể chế dạy học toán sẽ được trình bày ở chương tiếp theo

Chương 3 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Trong chương này, chúng tôi phân tích khái niệm tích phân trong thể chế dạy học toán nhằm làm rõ sự tồn tại của khái niệm tích phân và tìm kiếm câu trả lời cho CH2:

Khái ni ệm tích phân được hình thành như thế nào trong thể chế dạy học toán 12 hiện hành? (Tiến trình, cách thức tổ chức đưa vào khái niệm tích phân; tổ chức toán học nào được hình thành, ) Việc dạy học khái niệm tích phân trong mối quan h ệ liên môn với vật lí được thể hiện như thế nào?

3.1 Phân tích chương trình

3.1.1 Chương trình giải tích 12 cơ bản

Khái niệm tích phân được giảng dạy trong chương III: “NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG”, là chương tiếp theo của hai chương: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số và hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Nội dung của chương gồm ba bài, cụ thể như sau:

Bài 1: Nguyên hàm

Bài 2: Tích phân

Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Mục tiêu của chương:

Đưa vào khái niệm nguyên hàm nhằm giải bài toán ngược của phép tính đạo hàm hay phép tính vi ph ân Trên cơ sở đó, hình thành khái niệm tích phân không xác định (còn gọi là họ nguyên hàm)

Nêu định nghĩa tích phân (hay tích phân xác định) nhờ khái niệm nguyên hàm Phát biểu và chứng minh các tính chất và nêu cách tính tích phân

Trình bày những ứng dụng của tích phân trong hình học Ở đây sẽ hoàn chỉnh các công thức tính diện tích, tính thể tích của những hình trong chương trình hình học ở trung học phổ thông

(Trần Văn Hạo, 2013, trang 108)

Từ cấu trúc chương trình chúng tôi nhận thấy:

Khái niệm tích phân được đưa vào ngay sau bài nguyên hàm Ngoài ra trong mục tiêu của chương, sách giáo viên cũng đã nhấn mạnh việc vận dụng nguyên hàm trong việc định nghĩa tích phân Từ đây, chúng tôi nhận thấy nguyên hàm và tích phân có

mối liên hệ chặt chẽ với nhau, có thể nói nguyên hàm là công cụ trong việc định nghĩa, chứng minh các tính chất cũng như trong việc tính các tích phân

Chúng ta đã biết khái niệm tích phân có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau Tuy nhiên sách giáo khoa chỉ trình bày việc ứng dụng khái niệm này nội tại toán học đó là trong hình học, cụ thể trong việc tính diện tích và thể tích của những hình trong chương trình hình học ở trung học phổ thông

3.1.2 Chương trình giải tích 12 nâng cao

Giống với ban cơ bản, khái niệm tích phân ở ban nâng cao cũng được giảng dạy trong chương III: “NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG” Tuy nhiên nội dung của chương thì có cụ thể hơn như sau:

Bài 1: Nguyên hàm

Bài 2: Một số phương pháp tìm nguyên hàm

Bài 3: Tích phân

Bài 4: Một số phương pháp tính tích phân

Bài 5: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Bài 6: Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

Mục tiêu của chương:

Kiến thức

Giúp học sinh:

Nắm vững khái niệm nguyên hàm

Nhớ bảng các nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nhớ và hiểu được các tính chất cơ bản cùa nguyên hàm

Nhớ định nghĩa tính chất

Nắm vững phương pháp tính tích phân nhờ đổi biến số và tích phân từng phần

Bước đầu thấy được ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của tích phân trong hình học

(Đoàn Quỳnh, 2008, trang 179)

Tuy khối lượng kiến thức ở cả hai ban là giống nhau nhưng ở ban nâng cao việc trình bày các vấn đề rõ ràng hơn và tách hẳn thành một bài Có thể giải thích vấn đề này là do đối tượng học sinh ở ban nâng cao là học sinh khá giỏi nên sách giáo khoa muốn trình bày thật rõ ràng và chi tiết cho các phần kiến thức nâng cao

Ở ban nâng cao, nguyên hàm vẫn được coi là công cụ quan trọng trong việc định nghĩa, chứng minh các tính chất cũng như là trong việc tính tích phân

Về ứng dụng của tích phân, ở ban nâng cao, học sinh cũng được tiếp cận với

những ứng dụng của tích phân trong hình học đó là tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể Bên cạnh đó, học sinh còn được thấy ý nghĩa thực tiễn trong ứng dụng

cơ học của tích phân, cụ thể là tính quãng đường đi được của một vật Từ đây, chúng tôi nhận thấy ở ban nâng cao đã chú ý tới việc dạy học theo quan điểm liên môn để học sinh thấy được ứng dụng của khái niệm tích phân trong vật lí

3.2 Cách trình bày khái niệm tích phân trong các sách giáo khoa giải tích lớp 12

3.2.1 Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản

Mở đầu cho việc giới thiệu khái niệm tích phân, sách giáo khoa cho học sinh tiếp cận với bài toán tính diện tích hình thang cong Thông qua hoạt động 1, học sinh được

từng bước thực hiện việc tính diện tích hình thang cong dựa vào công thức tính diện tích của những hình quen thuộc như diện tích hình thang vuông

HĐ1: Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y= 2x+ 1 , trục hoành và hai đường thẳng x= 1,x=t( 1 ≤ ≤t 5 )

1 Tính diện tích S của hình T khi t=5

2 Tính diện tích S t( ) của hình T khi t∈[ ]1;5

3 Chứng minh rằng S t( ) là một nguyên hàm của f t( ) = 2t+ 1, t ∈ [ ] 1;5 và diện tích S=S( ) 5 −S( ) 1

(Trần Văn Hạo, 2014, trang 101, 102)

Học sinh sẽ dễ dàng thực hiện được câu 1 của hoạt động vì đây chỉ là diện tích hình thang vuông bình thường đã có công thức tính

Với câu 2 của hoạt động, học sinh vẫn thực hiện việc tính diện tích giống câu 1

nhưng có thể thấy việc tính diện tích không thực hiện ở một giá trị t cụ thể mà

“Cho hàm số y = f x ( ) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [ ] a b ; Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f x ( ), trục hoành và hai đường thẳng x=a x, =b

được gọi là hình thang cong (H.47a).” (Trần Văn Hạo, 2014, trang 102)

Với khái niệm hình thang cong ở trên, việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong bất kì được thực hiện bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục tọa độ và chia hình phẳng thành những hình thang cong Như vậy, việc tính diện tích hình phẳng ban đầu bây giờ đã được quy về tính diện tích hình thang cong

Từ hoạt động 1 và ví dụ ở trên, chúng tôi nhận thấy để tính diện tích hình phẳng

sách giáo khoa đều thực hiện việc chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f x ( ) Vì vậy trong trường hợp với bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì trong trường hợp tổng quát, sách giáo khoa cũng thực hiện điều tương tự nhưng do một số lí do sư phạm mà quá trình chứng minh không được trình bày cụ thể Sách giáo khoa chỉ đưa

ra khẳng định: “S x ( ) là một nguyên hàm của f x ( ) trên đoạn [ ] a b ; ”, từ đó chứng minh công thức tính diện tích hình thang cần tìm

Giả sử F x( ) cũng là một nguyên hàm của f ( )x thì có một hằng số C sao cho

(Trần Văn Hạo, 2014, trang 104)

Việc chứng minh đẳng thức F b ( ) − F a ( ) = G b ( ) − G a ( ) với F x G x ( ) ( ) , là hai nguyên hàm của f x ( ) trên đoạn [ ] a b ; học sinh có thể thực hiện được dễ dàng vì

F x =G x + ⇒C F b −F a = G b +C − G a +C =G b −G a

Từ việc chứng minh cho ta thấy với F x ( ) là nguyên hàm của f x ( ) trên đoạn

[ ] a b ; thì hiệu số F b ( ) − F a ( ) là bất biến đối với họ nguyên hàm của f x ( ) Điều này

là một cơ sở quan trọng cho việc định nghĩa tích phân

Sách giáo khoa định nghĩa tích phân như sau:

Cho f ( )x là hàm số liên tục trên đoạn [ ]a b; Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của f ( )x trên đoạn [ ]a b; Hiệu số F b( ) −F a( ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay

tích phân xác định trên đoạn [ ]a b; ) của hàm số f ( )x , kí hiệu là b ( )

f x dx=F x =F b −F a

Ta gọi

b a

∫ là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f( )x dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f ( )x là hàm dưới dấu tích phân

(Trần Văn Hạo, 2014, trang 105)

Nhận xét

Bài toán mở đầu dẫn tới khái niệm tích phân được sách giáo khoa lựa chọn ở đây

là tính diện tích hình thang cong Từ đó, học sinh có thể thấy được khái niệm tích phân được bắt nguồn từ thực tế Tuy nhiên, việc dạy khái niệm tích phân theo quan điểm liên môn đã không được sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản tính đến Khái niệm tích phân được hình thành từ bài toán hình học nên học sinh không thấy được ứng dụng của khái niệm này vào những vấn đề khác ngoài toán

3.2.2 Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao

Khác với ban cơ bản, để dẫn đến khái niệm tích phân sách giáo khoa ở ban nâng cao đã đưa ra hai bài toán: bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán tính quãng đường đi được của một vật

Với bài toán tính diện tích hình thang cong, sách giáo khoa giới thiệu trực tiếp khái niệm hình thang cong sau đó giải quyết bài toán tìm công thức tính diện tích của hình thang cong Nếu như ở ban cơ bản trình bày cách tính diện tích hình thang cong ở

ví dụ cụ thể thì ban nâng cao trình bày cách tính diện tích với trường hợp tổng quát

Mặc dù ở ban nâng cao sách giáo khoa đưa ra bài toán yêu cầu: “Chứng minh rằng

diện tích S của hình thang cong đó là S = F b ( ) − F a ( ) trong đó F là một nguyên hàm b ất kì của f trên đoạn [ ] a b ; ” nhưng thực chất cũng chỉ là việc xác định công thức tính diện tích hình thang cong Sách giáo khoa cũng tiến hành chứng minh S x ( )

là nguyên hàm của hàm y = f x ( ) trên đoạn [ ] a b ; bằng đạo hàm và giới hạn của hàm

số và từ đó rút ra được điều cần phải chứng minh

Kết thúc bài toán 1, để học sinh có thể hiểu rõ thêm về bài toán vừa giải ở trên, sách giáo khoa cho học sinh làm hoạt động 1 nhằm vận dụng kiến thức vừa được

chứng minh

“H1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 4

y = x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1,x = 2.” (Đoàn Quỳnh, 2010, trang 148)

Muốn tính được diện tích hình thang cong trên, đầu tiên ta phải tìm nguyên hàm