Tính compắc và liên thông của tập nghiệm cho bài toán biên trong phương trình vi phân với đối số lệch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHNGUYỄN THỊ MINH THƯ TÍNH COMPĂC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BIÊN TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐỐI SỐ L

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN THỊ MINH THƯ

TÍNH COMPĂC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM CHO BÀI TOÁN BIÊN TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

VỚI ĐỐI SỐ LỆCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ

H Ồ CHÍ MINH

Thầy hướng dẫn:

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Khoa Toán - Tin học

Trường Đại học sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Thầy phản biện 1:

PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

Khoa Toán - Tin học

Trường Đại học sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Thầy phản biện 2:

TS CHU ĐỨC KHÁNH

Bộ môn Toán - Tin học

Trường Dự bị Đại học Thành phố Hồ Chí Minh

Người thực hiện:

NGUYỄN THỊ MINH THƯ

Học viên Cao học Toán khóa 11

Chuyên ngành: Giải tích

LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH.

L ỜI CÁM ƠN

Tôi chân thành cám ơn các Thầy Cô khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi từ bước đầu vào trường Sư Phạm đến Thạc sĩ Đặc biệt tôi cám ơn quý Thầy Cô

đã tham gia giảng dạy tôi trong lớp Cao học Giải tích khóa 11

Tôi rất biết ơn Thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã động viên và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi

trong suốt quá trình học tập

Tôi chân thành cám ơn Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy và Thầy TS Chu Đức Khánh đã nhận

xét và góp ý giúp tôi hoàn thành tốt luận văn

Tôi rất biết ơn Ban Giám Hiệu, Bộ Môn Toán Trường Dự Bị Đại Học TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong công tác để tôi có thể yên tâm tham gia đầy đủ khóa học

Tôi cám ơn khoa Toán và Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm TP.Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học và hoàn thành luận văn Cao học

TP Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2003 Nguyễn Thị Minh Thư

M ỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 3

MỤC LỤC 4

MỞ ĐẦU 6

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ CÁC KẾT QUẢ CƠ BẢN 7

1.1 Bậc tôpô trên không gian Banach 7

1.2 Định lý xấp xỉ Lipschitz địa phương 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Định lý 1.1 8

1.3 Định lý về tính compăc liên thông 11

1.4 Định lý điểm bất động của toán tử loại Krasnosel’skii 13

1.4.1 Điều kiện (A) 13

1.4.2 Định lý 1.3 (xem [2]) 13

1.4.3 Định lý 1.4 (Định lý điểm bất động, xem [2]) 14

1.5 Tính compắc tương đối trong không gian các ánh xạ liên tục 14

1.5.1 Định nghĩa 15

1.5.2 Định lý 1.5 (Định lý Ascoli -Arzela, xem [1]) 15

1.5.3 Định lý 1.6 (xem [3]) 15

Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM 17

2.1 Sự tồn tại nghiệm 18

2.1.1 Xét bài toán (I) 18

2.1.2 Xét bài toán (II) 31

2.2 Tính duy nhất nghiệm 36

2.2.1 Xét bài toán (I) 36

2.2.2 Xét bài toán (II) 38

Chương 3: TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM 41

3.1 Tính compắc liên thông của tập nghiệm trên [0, n] 41

3.1.1 Xét bài toán (I) 41

Định lý 3.1 41

3.1.2 Xét bài toán (II) 44

3.2 Tính compắc liên thông của tập nghiệm trên [0, ∞) 46

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

Luận văn gồm có ba chương Chương 1 giới thiệu các khái niệm và các kết quả cơ bản được sử dụng trong luận văn Chương 2 trình bày sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm Phần trọng tâm của luận văn ở chương 3 trình bày tính compắc liên thông của tập nghiệm

Trong luận văn Cao học của Nguyễn Đình Tùng [8] đã xét hai phương trình trên, trong đó ϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục và chỉ đề cập đến sự tồn tại nghiệm, nghiệm tuần hoàn Trong luận văn này ta khảo sát sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hai phương trình trên trong trường hợp ϕ thỏa điều kiện Lipschitz và phần chính của luận văn là xét tính compắc liên thông của tập nghiệm

Định lý (3.1) - (3.2) về tính compắc liên thông của tập nghiệm trên [0, n] và định lý (3.3) - (3.4)

về tính compắc liến thông của tập nghiệm trên [0, ∞) trong luận văn không trùng lặp với các kết quả cùng loại đã có

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ CÁC KẾT QUẢ CƠ BẢN

Trong chương này sẽ giới thiệu các khái niệm và các định lý được sử dụng trong luận văn như bậc tôpô trên không gian Banach, định lý xấp xỉ Lipschitz địa phương, định lý về tính compắc liên thông, định lý điểm bất động của toán tử loại Krasnosel'skii và tính compắc tương đối trong không gian các ánh xạ liên tục

1.1 B ậc tôpô trên không gian Banach

Cho E là một không gian Banach, I là ánh xạ đồng nhất trên E, D là một tập mở bị chặn trong E

i) Nếu deg (I— T, D, p) #0 thì tồn tại x ∈ D sao cho (I - T)(x) = p

2i) Cho (D i ) i ∈ N là dãy các tập mở cách biệt chứa trong D và p ∉ ( I -T)

3i) ( Bất biến đồng luân )

Cho H:[0,1] x 𝐷� → E liên tục sao cho H ([0,1]x 𝐷�) là tập compắc tương đối Đặt h:[0,1]x 𝐷� →

4i) Nếu D là một tập mở lồi bị chặn trong E và T: 𝐷� → D thì deg(I - T, D, 0) = 1

1.2 Định lý xấp xỉ Lipschitz địa phương

1.2.1 Định nghĩa

Cho X, Y là hai không gian Banach

Anh xạ I: X → Y được gọi là Lipschitz địa phương nêu với mọi Xo E X, tồn tại lân cận V của Xo

và một hằng số k ( phụ thuộc Xo ) sao cho

f(x) - f(x') ≤ k.x - x' với mọi X, x' ∈ V

1.2.2 Định lý 1.1

Cho X, Y là hai không gian Banach, D là một tập mở trong và f: D → Y liên tục Khi đó với mỗi ε

> 0, tồn tại fε:D → Y Lipschitz địa phương sao cho

f(x)-fε(x) I < ε với mọi x ∈ D và f ε (D) ⊂ cof(D) (với co A là bao lồi của A)

Chứng minh

Với x∈D, đặt ωX{y∈D /f( y) - f( x)< 𝜀

2thì họ { ωx, x∈D } là phủ mở của D

Gọi {Vλ,λ∈Λ} là phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn của phủ {ωx , x∈ D} sao cho

- Với mọi x ∈ D tồn tại lân cận V(x) của x thỏa mãn V(x) ∩ Vλ # 0 chỉ với một số hữu hạn λ⊂Λ

- Với mỗi λ⊂Λ , tồn tại x∈ D để Vλ ⊂ ωx

Với mỗi λ⊂Λ, xác định αλ: D → R định bởi

0 , nếu x∉Vλ

αλ(x) =

ρ(x,∂Vλ) , nếu x∉Vλ trong đó ρ (x, A) = inf {x - y, y ∈ A }

⇒ ρ(x,∂Vλ)-ρ(y,∂Vλ)≤x-y (theo tính chất của inf)

Vậy αλlà ánh xạ Lipschitz trên D

Vậy φµ(x) hoàn toàn xác định

Hơn nữa φλ (x) = 0 nếu x∉Vλ và φλ Lipschitz địa phương

Thật vậy, lấy x∈ D thì tồn tại lân cận V(x) của X sao cho có một số hữu hạn λ1,λ2,…λn∈Λ để

i

n

λ i=1

V(x) ⊂ U V Nên tồn tại M sao cho

φλ(x)-φλ(y)≤M.αλ(x)-αλ(x)≤Mx-yvới mọi x, y ∈V(x)

Như vậy φλ Lipschitz địa phương

Với mỗi λ∈Λ , chọn aλ∈Vλ∩D Định nghĩa fε: D → F xác định bởi ε λ λ

∑ nên fε (x) ∈ cof(D) với mọi x ∈ D

Ta chứng minh fε Lipschitz địa phương trên D

Thật vậy, lấy x ∈ D thì tồn tại lân cận V(x) của x sao cho chỉ có hữu hạn

λ1,λ2,…λn∈Λ để

i

n λ i=1

≤ M N.x - y với mọi x∈V(x)

Với mỗi x∈D, tồn tại λ∈ Λ để x∈Vλ và x0∈ D để

1.3 Định lý về tính compăc liên thông

Định lý 1.2 (Định lý Krasnosel'skii - Perov)

Cho (E,  ) là một không gian Banach thực, D là tập mở bị chặn trong E và T: 𝐷� → E là ánh

xạ compắc

Giả sử T thỏa mãn điều kiện (1)

Với mỗi ε>0, tồn tại ánh xạ compắc Tε sao cho (1) Tε(x)-T(x) <ε với mọi x ∈ 𝐷�

Và phương trình x= Tε(x)+b có nhiều nhất một nghiệm trong 𝐷� nếu b≤ε

Giả sử 0∉(I-T)(∂D) và deg(I-T,D,0)≠0

Khi đó, tập các điểm bất động của T là tập khác rỗng, compắc và liên thông

Chứng minh

Đặt N = {x∈D�,T(x) = x}

Do deg(I - T, D, 0) ≠ 0 nên theo tính chất i) của bậc tôpô suy ra tồn tại x ∈ D sao cho (I-T)(x)

= 0 hay tồn tại x ∈ D� sao cho T(x) = x

Vậy N khác rỗng

Ta chứng minh N là tập compắc trong E

Do T là ánh xạ compắc và N ⊂ D là tập bị chặn

Nên T(N) compắc tương đối trong E

Hơn nữa N = T(N) là tập đóng

Suy ra N là tập compắc trong E

Giả sử N không liên thông Khi đó tồn tại hai tập mở O1, O2chứa trong D sao cho

N ∩ O1 ≠ ∅ , N ∩ O2 ≠ ∅

N ⊂ O1 ∪ O2

O1 ∩ O2 ≠ ∅

Theo tính chất 2i) của bậc tôpô, ta có

deg(I -T, D, 0) = deg(I -T, O1, 0) + deg(I - T, O2, 0)

Ta chứng minh deg(I -T, D, 0) = deg(I -T, O1, 0) + deg(I - T, O2, 0) = 0

Thật vậy

Do N ∩ O1 ≠ ∅ nên tồn tại x1 ∈ N ∩ O1 sao cho T(x1) = x1

Đặt ϕε(x) = x- Tε(x)- [x1- Tε(x1)] trong đó 0<ε<α2, với

α = min {|x-T(x)|, x ∈ ∂O2} và Tε là ánh xạ compắc thỏa mãn điều kiện (1)

Xét đồng luân H(t, x) = t.ϕε (x) + (1 - t)(I - T)(x) với x ∈ D� và t ∈ [0,1]

Do ϕε (x) = x - Tε (x) - b thỏa mãn điều kiện (1), nên ϕε (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm và do

ϕε (x1) = 0 nên ϕε không triệt tiêu trong O2

Suy ra deg(ϕε,O2, 0) = deg(I - T, O2, 0) = 0

Tương tự, do N ∩ O2 ≠ ∅, ta cũng có được deg(I - T, O1, 0) = 0

Khi đó, ta có deg(I - T, D, 0) = deg(I - T, O1, 0) + deg(I - T, O2, 0) = 0

Mâu thuẫn giả thiết

Vậy N là tập liên thông

1.4 Định lý điểm bất động của toán tử loại Krasnosel’skii

Trong phần này sẽ giới thiệu định lý điểm bất động đối với các toán tử dạng U + C trên tập con lồi đóng bị chặn của không gian lồi địa phương, với C là toán tử compắc và U thỏa mãn điều kiện (A) được định nghĩa như sau

1.4.1 Điều kiện (A)

Giả sử X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương và p là một họ nửa chuẩn tách trên X, D là tập con của X và U : D → X

Với bất kỳ a ∈ X, ta định nghĩa Ua : D → X xác định bởi

Ua(x) = U(x) + a Toán tử U : D → X được gọi là thỏa mãn điều kiện (A) trên tập con Ω của X nếu

(A.l) Với bất kỳ a ∈ Ω , Ua(D) ⊂ D

(A.2) Với bất kỳ a ∈ Ω và p ∈ P , tồn tại ka ∈ Z+có tính chất với mọi ε > 0

tồn tại r ∈ N và δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D

Giả sử X là một không gian lồi địa phương với một họ nửa chuẩn tách P, D là một tập con đầy

đủ theo dãy của X, U là một toán tử liên tục đều trên D (nghĩa là với mọi p ∈ P và ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho p (x - y) < δ => p (U(x) - U(y))<ε)

Giả sử U thỏa mãn điều kiện (A) trên tập con Ω của X

Khi đó toán tử (I –U) -1 được hoàn toàn xác định và liên tục trên Ω

Hơn nữa, nếu ở trong điều kiện (A) được chọn không phụ thuộc vào a ∈ Ω thì toán tử (I –U) -1 liên tục đều trên Ω

1.4.3 Định lý 1.4 (Định lý điểm bất động, xem [2])

Giả sử X là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách P và giả

sử U, C là các toán tử trên X sao cho

i) U thỏa mãn điều kiện (A) trên X

2i) Với bất kỳ p ∈ P, tồn tại k > 0 (phụ thuộc theo p) sao cho

p(U(x) - U(y)) ≤ k.p(x-y) với mọi x, y ∈ X

3i) Tồn tại x 0 ∈X có tính chất với mọi p ∈ P, tồn tại r ∈ N và λ ∈ [0, 1) ( r, λ phụ thuộc theo p) sao cho

Chứ thích : Trong phần chứng minh của định lý 1.4 (xem [2]) ta có kết quả

Giả sử X là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách P và giả

sử U, C là các toán tử trên X thỏa mãn các điều kiện từ i) đến 5i)

Nếu tồn tại D là một tập con lồi mở bị chặn của X sao cho (I - U) -1

C: 𝐷� → D Khi đó (I- U) -1

C có điểm bất động trong 𝐷�, đó cũng chính là điểm bất động của U + C trong 𝐷� (nhưng không thuộc ∂D)

1.5 Tính comp ắc tương đối trong không gian các ánh xạ liên tục

Giả sử (S, d) là một không gian metric compắc và E là một không gian Banach với chuẩn . Gọi C(S) là không gian Banach các ánh xạ liên tục từ S vào E với chuẩn ||x|| = sup{| x(s)|,s∈S}

1.5.1 Định nghĩa

Tập A ⊂ C(S) được gọi là đẳng liên tục nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với bất kỳ s, s'∈S , d(s, s') < δ thì x(s) - x(s') < ε , x ∈ A

1.5.2 Định lý 1.5 (Định lý Ascoli -Arzela, xem [1])

Cho S là một không gian metric compắc, E là một không gian Banach và C(S) là không gian Banach các ánh xạ liên tục từ S vào E Khi đó

Tập hợp A ⊂ C(S) là compắc tương đối nếu và chỉ nếu A đẳng liên tục và với mọi s ∈ S tập hợp A(s)= {x(s) / x ∈ A} compắc tương đối trong E

Bây giờ ta xét một điều kiện cần và đủ cho tính compắc tương đối trong trường hợp S là một không gian metric không cần compắc

Giả sử S là một không gian metric thỏa mãn

1+p (x-y)

∞

∑ với mọi x,y ∈ C(S)

Khi đó (pn)n là một họ nửa chuẩn tách và d là metric trên C(S)

Ta có C(S) là không gian Fréchet và dãy (xk)k trong C(S) hội tụ về X nếu và chỉ nếu

limk→∞pn(xk− x) = 0 với mọi n ∈ N

1.5.3 Định lý 1.6 (xem [3])

Cho S là một không gian metric thỏa mãn (c i ) - (c ii ) - (c iii ) và C(S) là không gian Fréchet các ánh

xạ liên tục từ S vào E

Khi đó, tập A trong C(S) là compắc tương đối nếu và chỉ nếu với mỗi n ∈ N, A đẳng liên tục trên

S n và tập A n = {x(s) /x ∈ A, s ∈ Sn } compắc tương đối trong E

Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM

Cho E là không gian Banach với chuấn . và r > 0 cho trước

Đặt C = C ([-r, 0], E) là không gian Banach của các hàm liên tục từ [-r, 0] vào E với chuẩn

∥ x ∥ = sup{|x(θ)|/θ ∈[-r,0]}

Đặt X = C ( [-r, ∞), E ) là không gian các hàm liên tục từ [-r, ∞) vào E

Với mỗi x ∈ X và t ≥ 0 Đặt xt ∈ C được định nghĩa

x0=h với h ∈ C cho trước

2.1 S ự tồn tại nghiệm

2.1.1 Xét bài toán (I)

x’(t)=f(t,ϕ(xt))+g(t,ϕ(xt));≥0

x0=h

với h ∈ C cho trước, ϕ : C → Enlà ánh xạ Lipschitz

f và g thỏa mãn các điều kiện

(I.1) f: [0,∞) x En

E liên tục, thỏa mãn Với mỗi n ∈ N, tồn tại kn > 0 sao cho

n

f(t,u)-f(t,u') ≤ k u-u'n

với mọi u,u' ∈En và t ∈ [0,n]

(I.2) g : [0, ∞) x En → E là ánh xạ compắc, nghĩa là g liên tục và biến tập bị chặn trong [0, ∞) x Enthành tập compắc tương đối trong E

lim→∞ = đều theo t trên mỗi tập bị chặn của [0, ∞)

Định lý 2.1

Giả sử f, g thỏa mãn các điêu kiện (I.1) - (I.2) và (I.3)

Khi đó bài toán (I) có nghiệm trên [0, ∞)

Pn(x) = sup{|x(t)| , t ∈ [0,n]} với mọi n ∈ N

và metric

p (x-y) d(x,y) 2

Khi đó x� liên tục trên [- r, ∞)

Ta định nghĩa các toán tử U, G : Xo → Xo như sau

Giả sử x ∈ Xo là một điểm bất động của U + G, nghĩa là

U(x)(t) + G(x)(t) = x(t) với mọi t > 0 Khi đó, ta có :

Vậy 𝑥̅ là nghiệm của (I’) trên [0, + ∞)

⇒‖x� (𝜃) − ys � (𝜃)‖ ≤ |x(s + 𝜃) − y(𝑠 + 𝜃)| + |x(0) − y(0)| s

≤(x-y)(s+𝜃)+(x-y)(0)

≤ 2.pn(x-y) (*) (do pn(x-y) = sup{|(x-y)(t)|/t ∈ [0,n]} với mọi n ∈ N)

i n

2 s.k φ

p (x-y) i!

n

p (x-y) (i+1)!

g(s, φ(x ))ds

∫

t

s t'

(trong đó X có thể là một trong các xk đã cho (k ∈ Z+

) và (xki)i có thể không là dãy con của (xk)k)

Với mỗi X cố định thuộc Xn, ta có ánh xạ

Do đó: x -x =sup x (θ)-x (θ) /θ [-r,0] <εs s' { s s' ∈ }

Nên từ bất đẳng thức (*), ta có : i

i s s k i

lim (x ) =x

→∞ trong C

Suy ra B compắc trong C

Do ϕ:C→Enlà ánh xạ Lipschitz ⇒ϕ liên tục

Nên ϕ (B) compắc trong En Suy ra tập [0, n] x ϕ (B) compắc trong [0, ∞) x En Với bất kỳ ε > 0 cho trước, vì g liên tục trên tập compắc [0, n] x ϕ (B) nên tồn tại δ > 0 sao cho với mọi u, v ∈ B ta có

Nên với mọi x ∈ A, ta có: ϕ (x) n ≤ ϕ x ≤ ϕ N

Suy ra ϕ (A) bị chặn trong En

Vì g là ánh xạ compắc nên tập g ([0, n] xϕ (A) ) là tập compắc tương đối trong E Do đó nó bị chặn

Khi đó, từ biểu thức định nghĩa của Gn ta có Gn(Ω) đẳng liên tục trên [0, n]

Thật vậy, do ϕ(A) bị chặn trong Ennên tồn tại R>0 sao cho

Do g là ánh xạ compắc nên tập g([0,n]xB(0,R)) bị chặn

Suy ra tồn tại M > 0 sao cho

g(s,u)≤M với mọi s ∈ [0, n] và u ∈ B(0,R))

 Ta chứng minh U, G thỏa mãn các điều kiện i) đến 5i) của định lý 1.4

1) U thỏa mãn điều kiện (A)

U: Xo → Xo

U(x)(t) =

t

s 0

f(s, (x ))ds ϕ

∫

z ∈ Xo, Uz:Xo → Xo

Uz(x)=U(x)+z (A.1): Với bất kỳ z ∈ Xo, Uz (Xo) ⊂ Xo (hiển nhiên)

(A.2): Ta phải chứng minh với bất kỳ z ∈ Xo và Pn tồn tại kz ∈ Z+thỏa mãn

Với mọi ε > 0, tồn tại r ∈ N và δ > 0 sao cho

αzp(x,y) < + ⇒ ε δ αzp(U (x), U (y))rz rz < ε với mọi x, y ∈ Xo

2) U thoả mãn điều kiện 2i)

Với bất kỳ pn, tồn tại k>0 (phụ thuộc theo pn) sao cho

pn(U(x)-U(y))≤k.pn(x-y) với mọi x, y ∈ Xo

Thật vậy, ta có Uz(x)(t) = U(x)(t) + z(t) với mọi x ∈ Xo

⇒Uz(x)(t) - Uz(y)(t) = U(x)(t) - U(y)(t)

Suy ra pn(U(x)-U(y)) ≤ k.pn(x-y) với k=2n.kn ϕ

3) U thỏa mãn điều kiện 3i)