Phương pháp chặn dưới đơn điệu và bài toán giá trị riêng cho phương trình đa trị trong không gian có thứ tự

Trần Thị Hồng Quyến PHƯƠNG PHÁP CHẶN DƯỚI ĐƠN ĐIỆU VÀ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016.

Trần Thị Hồng Quyến

PHƯƠNG PHÁP CHẶN DƯỚI ĐƠN ĐIỆU VÀ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CHO PHƯƠNG TRÌNH

ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

Trần Thị Hồng Quyến

PHƯƠNG PHÁP CHẶN DƯỚI ĐƠN ĐIỆU VÀ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CHO PHƯƠNG TRÌNH

ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “Phương pháp chặn dưới đơn điệu và bài toán giá trị riêng cho phương trình đa trị trong không gian có thứ tự” là

do cá nhân tôi thực hiện với sự hướng dẫn khoa học của PGS-TS Nguyễn Bích Huy, không sao chép của bất cứ ai Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn mình

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016

Học viên thực hiện Trần Thị Hồng Quyến

Sau khi hoàn thành các học phần của chương trình đào tạo Cao học, tôi đã lĩnh hội được nhiều kiến thức mới, rất hay và bổ ích, là cơ sở để tôi thực hiện luận văn này cũng như tiếp tục nghiên cứu khoa học về sau Trong quá trình học, tôi đã nhận được

sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của quý Thầy, Cô trong khoa Toán-Tin và các quý Thầy, Cô đang công tác ở phòng sau đại học

Trước hết, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến PGS-TS Nguyễn Bích Huy,

người Thầy hướng dẫn khoa học, đã đưa ra định hướng và giúp tôi hoàn thành luận văn này Trong suốt quá trình học các học phần cũng như thực hiện luận văn, Thầy luôn theo dõi, hướng dẫn tận tình để tôi nắm được kiến thức và hoàn thiện luận văn của mình

Tiếp đến, tôi cũng xin cảm ơn tất cả quý Thầy, Cô giảng dạy các học phần mà tôi

đã được học trong quá trình học Cao học, cũng như ban giám hiệu nhà trường và các quý Thầy, Cô công tác ở phòng sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu

Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và góp ý giúp luận văn được hoàn thiện

Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các thành viên của lớp cao học Toán Giải tích khóa 25 đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện luận văn

Học viên thực hiện Trần Thị Hồng Quyến

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG 3

1.1 Không gian Banach có thứ tự 3

1.2 Ánh xạ đa trị, tính liên tục 6

1.3 Bậc tô pô của ánh xạ đa trị 11

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHẶN DƯỚI ĐƠN ĐIỆU 13

2.1 Sự tồn tại nhánh liên tục các nghiệm 13

2.2 Khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm 15

Chương 3 BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG 27

3.1 Sự tồn tại giá trị riêng, vectơ riêng 27

3.2 Các tính chất của cặp riêng dương 29

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39  

MỞ ĐẦU

Mỗi hệ thống trong Tự nhiên hoặc Xã hội, trong quá trình phát triển của nó chịu tác động của nhiều yếu tố Về mặt Toán học, chúng được mô tả bởi các phương trình phụ thuộc tham số, trong đó tham số có vai trò như các yếu tố tác động lên hệ thống

đó Do ý nghĩa khoa học như thế mà các phương trình phụ thuộc tham số thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các nhà Toán học theo các hướng: nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm, sự phụ thuộc của tập nghiệm vào sự thay đổi của tham số, tìm các giá trị của tham số mà tại đó hệ có những thay đổi cơ bản về chất

Phương trình đơn trị chứa tham số đã được nghiên cứu khá lâu và đã thu được các kết quả hoàn thiện trong các công trình của Lyapunov, Krasnoselskii, Rabinowitz, Dancer,… Công cụ nghiên cứu là phương pháp biến phân, phương pháp bậc tôpô Để nghiên cứu các phương trình chứa tham số trong không gian có thứ tự, Krasnoselskii

đã đưa ra phương pháp chặn dưới đơn điệu và áp dụng có hiệu quả trong nghiên cứu tập nghiệm của phương trình

Cùng với sự phát triển của Toán học cũng như để nghiên cứu các bài toán mới phát sinh trong quá trình phát triển của Khoa học tự nhiên và Xã hội mà từ những năm

1950 các phương trình đa trị cũng được các nhà Toán học đưa vào nghiên cứu Phương pháp bậc tôpô, phương pháp biến phân đã được mở rộng cho phương trình đa trị và cho phép thu được các kết quả khả quan trong nghiên cứu ánh xạ đa trị Tuy nhiên, phương pháp chặn dưới đơn điệu chỉ gần đây mới được mở rộng cho phương trình đa trị và chưa có nhiều kết quả theo hướng nghiên cứu này Vì những lý do trên mà việc thực hiện đề tài về phương pháp chặn dưới đơn điệu cho ánh xạ đa trị và áp dụng cho bài toán giá trị riêng là cần thiết và có ý nghĩa khoa học và đào tạo

Mục đích chính của luận văn là sử dụng phương pháp chặn dưới đơn điệu kết hợp với định lý chỉ số điểm bất động để đạt được định lý tổng quát về sự tồn tại nhánh liên tục các nghiệm của phương trình đa trị phụ thuộc vào tham số Sau đó sử dụng kết quả này để chứng minh sự tồn tại cặp riêng dương của ánh xạ đa trị

Nội dung chính của luận văn gồm có 3 chương Cụ thể như sau:

Chương 1: Trình bày các kiến thức đã được sử dụng trong luận văn, bao gồm các

kiến thức về không gian Banach có thứ tự, về ánh xạ đa trị, tính liên tục và bậc tô pô của ánh xạ đa trị

Chương 2: Trình bày về phương pháp chặn dưới đơn điệu, bao gồm định lý về sự tồn tại nhánh liên tục các nghiệm và khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm, sau đó áp dụng vào nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên có dạng

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG

Chương này giới thiệu các khái niệm về không gian Banach có thứ tự, tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị, cũng như tính chất của ánh xạ đa trị

và định nghĩa, tính chất bậc tô pô của ánh xạ đa trị Nội dung của chương chủ yếu được tham khảo trong tài liệu [8]

1.1 Không gian Banach có thứ tự

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian Banach và K là tập con của X Tập K được

gọi là nón nếu:

i K là tập đóng,

ii K K K K K  ,    ,  0,

iii K  ( K) { }.

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là không gian Banach và K là nón trong X Thứ tự trong

X sinh bởi nón K được định nghĩa bởi:

x y   y x K

Khi đó cặp ( , )X K được gọi là không gian Banach có thứ tự

Ta kiểm tra quan hệ " "  được định nghĩa như trên là một quan hệ thứ tự Thật vậy,

Ta ký hiệu K• K\ { }  , với  là phần tử 0 trong X

Ví dụ 1.1.1 Trong không gian Banach C 0,1 , không gian các hàm thực liên tục trên

 0,1 với chuẩn ||.|| xác định như sau:

   

|| || maxx  x t :t 0,1 Khi đó tập K {x C[0,1]: ( ) 0, x t   t [0,1]} là nón trong C 0,1

Thật vậy, dễ thấy K   Giả sử { }x n Kthỏa x n||.|| x ta chứng minh x K

Do x n||.|| x nên dãy { }x n hội tụ đều về x trên  0,1, mặt khác ta có { }x n liên tục và

Định nghĩa 1.1.3 Cho K là nón trong không gian Banach X , nón liên hợp (nón đối

ngẫu) của K được định nghĩa là tập hợp

trong đó, X* là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của X, là tập hợp tất

cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

Mệnh đề 1.1.1 Cho ( , )X K là không gian Banach có thứ tự Khi đó,

Chứng minh Lấy fK*\{ }ˆ tùy ý, ta chứng minh f x( ) 00 

Ta có x0K nên tồn tại r  0 thỏa B x r( , )0 K

Mặt khác, do f ˆ nên tồn tại x1K\{ } thỏa f x( ) 01 

Định nghĩa 1.1.4 Cho ( , )X K là một không gian Banach có thứ tự

1 Với hai tập con A B, 2 \{ }X  chúng ta định nghĩa

(a) A(1) B nếu (   x A y B, sao cho x y )

(b) A(2) B nếu (   y B x A, sao cho x y )

(c) A(3) B nếu (x A y B ,   x y)

Các kí hiệu “ k ”, k  1, 2 được sử dụng hoàn toàn tương ứng một cách tự nhiên

2 Ánh xạ F M: X 2 \{ }X  được gọi là ( )k -tăng, k1, 2, nếu x y M x y,  , 

kéo theo F x( ) ( )k F y( ), hơn nữa, nó được gọi là (3)-tăng nếu x y M x y,  , 

kéo theo F x( ) (3) F y( )

Ví dụ 1.1.2 Dễ dàng thấy rằng nếu A X: X là ánh xạ tuyến tính nhận giá trị đơn

thì A là tăng nếu và chỉ nếu A x( )Kvới mọi x K (hoặc tương đương x kéo theo A x( ))

Trong giải tích đa trị, một ánh xạ tuyến tính cũng được gọi là quá trình lồi, là một ánh xạ A X: 2 \{ }X  thỏa mãn

(i) A x( ) A y( ) A x y(  ) với mọi x y X, 

(ii) A tx tA x  với mỗi t0,x X (chúng ta cũng nói A là 1-thuần nhất dương)

Nếu A là một quá trình lồi thì chúng ta có:

1 A là  1 -tăng nếu { } (1) A x( ) với mọi x

2 A là  2 -tăng nếu A x( ) (2){ } với mọi x

Bây giờ chúng ta chứng minh khẳng định thứ nhất

Với x y ta có y x , theo giả thiết chúng ta có { } (1) A y x(  ) và do đó theo định nghĩa của quan hệ “ 1 ” tồn tại u A y x (  ) thỏa u

Do A là quá trình lồi nên A y x(  ) A x( )  A y( ), chúng ta suy ra rằng

1 Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (t.ư nửa liên tục dưới) trên D nếu tập hợp

{x D F x : ( ) V}(t.ư {x D F x : ( )   V }),

là mở trong D, với mọi tập con mở VY

2 Ánh xạ F được gọi là compact nếu với bất kỳ tập con bị chặn BD, tập hợp

x B

F B F x



 là compact tương đối

3 Đồ thị của ánh xạ F được định nghĩa là tập hợp

3 Nếu ánh xạ đa trị F là compact và đồ thị của nó là tập đóng trong D X thì

F là nửa liên tục trên trên D

Mặt khác, do x n x nên x nW khi n lớn và do đó y nF x n V Ta suy ra

 , 

2

n

r

d y y  , mâu thuẫn với  y n hội tụ về y

2 Lấy y F x ( ) tùy ý, ta chứng minh tồn tại dãy  x n k và dãy  y k thỏa

3 Giả sử F không là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên trên D

Khi đó tồn tại tập mở V trong Y , trong khi tập W  {x D F x : ( ) V}không là

tập mở trong X, tức tồn tại x W mà W không là lân cận của x Do đó

Trong khi đó x W nên F x( ) V, do đó y V , dẫn đến mâu thuẫn

Vậy ánh xạ F là nửa liên tục trên trên D 

Bổ đồ 1.2.1 Cho F X:  2Y\  là ánh xạ nửa liên tục dưới, f X: Y là ánh xạ liên tục thỏa mãn với   0 thì F x B f x  ,     , x X Khi đó, ánh xạ

 

\

:X 2Y

   xác định bởi  x F x B f x  ,  là nửa liên tục dưới

Chứng minh Thật vậy, lấy V là tập mở tùy ý trong Y , ta chứng minh

W x X  x   V

là tập mở trong X

Lấy x0W tùy ý, ta chứng minh có một lân cận mở của x0 chứa trong W

Do x0W nên ( )x0   V Do đó, tồn tại y0F x( )0 và 0    sao cho

       

,,

Vì vậy x W , do x tùy ý nên W1W2W

Ta kết luận được W là tập mở trong X, suy ra ánh xạ  là nửa liên tục dưới 

Bổ đề 1.2.2 Nếu : 2 \{ }Y

thì với mỗi   0, tồn tại hàm liên tục g X: Y thỏa d g x F x( ( ), ( ))  , x X

Chứng minh Với mỗi x X , chọn y xF x( ) ta có B y( , )x  là tập mở trong Y

Do F là nửa liên tục dưới nên tập hợp W x  {u X F u: ( )B y( , )x   } là tập mở trong X

Như vậy, họ { }W x xX là phủ mở của X Mặt khác, X là không gian paracompact nên tồn tại họ tập mở làm mịn hữu hạn địa phương { }U x x X của {W }x x X

Gọi họ { }x x X các ánh xạ liên tục từ X vào [0,1], là phân hoạch phụ thuộc duy nhất của { }U x x X

Khi đó ánh xạ g X: Y được xác định bởi

Dễ thấy g là ánh xạ liên tục Với mỗi u X , ta chứng minh d g u F u( ( ), ( ))

Cố định u X , theo định nghĩa của họ { } chỉ có hữu hạn x x( ) 0u  , giả sử

Xét ánh xạ đa trị :X 2 \{ }Y  xác định như sau:

(ii) Do ( )b và

0

1

2n n





 hội tụ nên { }f n là dãy Cauchy trong không gian Banach

( , )

L X Y nên { }f n hội tụ về f theo || || trong L X Y( , ) Sự hội tụ này là đều và

do dãy { }f n liên tục nên f cũng liên tục

1.3 Bậc tô pô của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.1 Cho ( , )X d là không gian mêtric và Ylà không gian Banach Cho

Mặt khác, ta có F là ánh xạ nửa liên tục trên nên {u X F u : ( )F u( )B( , )}  là tập mở chứa x, vì vậy tồn tại x 0 thỏa F B x( ( , ))x F x( )B( , )  , ta có thể chọn

trên D ứng với nón K, kí hiệu là i F D k( , ), được xác định bởi

1 i F D k ,  0 nếu tồn tại x0K\{ } sao cho x F x ( )tx0 với mọi

0,

t x K  D

2 i F D k ,  1 nếu tx F x ( ) với mọi t1, x K D

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHẶN DƯỚI ĐƠN ĐIỆU

Chương này trình bày các định lý về sự tồn tại nhánh liên tục các nghiệm của phương trình xF x( ) và khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm, sau đó vận dụng các định lý này để chỉ ra sự tồn tại nghiệm dương của bài toán biên

Nội dung của chương chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [7], [8]

2.1 Sự tồn tại nhánh liên tục các nghiệm

Định lý 2.1.1 Cho X K,  là không gian Banach có thứ tự và : 2 \{ }K

xạ compact nửa liên tục trên, nhận giá trị lồi, đóng Giả sử rằng tồn tại ánh xạ

(i) B x( ) (2)F x( ) với mọi x K

(ii) Tồn tại các số dương a,b và phần tử uK \ { }  sao cho {btu} (2) B tu( ) với mọi t [0, ]a

Khi đó tập nghiệm có dạng S  {x :K•   0,xF x( )} là nhánh liên tục từ 

, nghĩa là, S   G với bất kỳ tập con mở bị chặn G chứa 

Chứng minh Cho G X là một tập con mở, bị chặn và G Bây giờ chúng ta khẳng định rằng S   G

Giả sử ngược lại S   G , tức là x F x( ) với mọi xK    G,  0 Khi đó, bởi tính chất đồng luân bất biến, chỉ số i K(F G, ) là một hằng số với mọi   (0, )  Thật vậy, lấy  1, 2(0, ) tùy ý, giả sử  1 2, ta có   compact, xét ánh xạ 1F, 2F

Chúng ta sẽ chứng minh i K(F G, ) 1 với  đủ nhỏ bằng việc chứng minh

Gọi sn là số lớn nhất thỏa mãn x ns u n Từ (2.3), chúng ta có x n t u n nên s n t n

(do tính cực đại của s n), do đó sn 0

N và N2 đều hữu hạn, như vậy chúng ta nhận được mâu thuẫn

Thật vậy, giả sử N1 vô hạn, với n N 1 ta có s n 0,a nên theo giả thiết    i , ii

và B là ánh xạ  2 -tăng ta có

(2) (2) (2)

{bs u n }  B s u( n )  B x( )n  F x( ) (2.4)n

Từ (2.3) suy ra n F x( )n (2){ }x n cùng với (2.4) ta có x nn bs u n Do tính cực đại

của s n, ta có n bs n s n suy ra n b1 (do s n 0) hay 1 , 1

n

b n N



Do N1 vô hạn nên cho n  ta có b 0, mâu thuẫn Do đó N1 là hữu hạn

Với n N 2, ta có s na sử dụng lý luận tương tự chúng ta đạt được

Như vậy (2.2) thỏa và i K(F G, ) 0 với  đủ lớn Kết thúc chứng minh 

Định lý 2.1.2 Nếu giả thiết "nửa liên tục trên" trong định lý 2.1.1 được thay thế bởi

"nửa liên tục dưới" thì kết luận vẫn còn đúng

Chứng minh Ta có F ánh xạ nửa liên tục dưới, nhận giá trị đóng, do đó theo mệnh

đề 1.2.2 gọi f là lát cắt liên tục của F Do F là ánh xạ compact và

   ,

f x F x  x K nên ta có f là hoàn toàn liên tục, B x( ) (2) f x( ) và

{x K \{ }: xf x( )} { x K\{ }: xF x( )}

Áp dụng định lý 2.1.1 cho f , chúng ta đạt được kết luận 

2.2 Khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm

Với x K \{ } , ta định nghĩa ( ) {x  \{0}:xF x( )} và với r  0 ta đặt

Khi đó phương trình xF x( ) có nghiệm dương với mọi  ( , )a b

Chứng minh Giả sử có trường hợp

Ta chứng minh phương trình xF x( ) có nghiệm dương với mọi  ( , )a b

Phản chứng giả sử tồn tại 0( , )a b thỏa

x0F x( ) với mọi x K \{ }, (2.5) Chúng ta định nghĩa S1 {x S : ( )  x (2)0} { },  

Do đó blimn 0b, điều này vô lý Vậy sup{|| ||:x x S 1} 

Tiếp theo ta chứng minh S1 là compact Xét { }x n S1, khi đó tồn tại dãy { } và n

tụ, không mất tổng quát ta giả sử limn *0, y n||.|| y Do đó x n ||.|| x *y

Ta chứng minh x S 1 Do F là nửa liên tục trên nên y F x ( ), do đó x*F x( ) Giả sử x (vì nếu x thì x S 1), do giả thiết phản chứng (2.5) nên  * 0, vì vậy  * 0 Vậy x S 1 hay S1 là tập compact

Ta chứng minh S2 là tập đóng Đặt r0 inf{|| ||:x x S 2}, ta chứng minh r00 Giả sử r00, khi đó tồn tại hai dãy { }x n và { } thỏa n

Do đó alimn0 a, vô lý Vậy r0 0

Lấy { }x n S2 thỏa x n||.|| x Ta chứng minh x S 2 Ta có ||x n||r0 và r00 nên

|| || 0x  hay x Do { }x n S2 nên tồn tại { } và n { }y n thỏa