Một số vấn đề trong bài toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến

Do nhu cầu của sự phát triển kinh tế và kỹ thuật, ngày càng nhiều mục tiêu được hướng đến với mong muốn có thể thực hiện cùng lúc khiến cho bài toán tối ưu một mục tiêu không thể đáp ứng

Hu ỳnh Phước Long

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Chuyên ngành: Toán giải tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

L ỜI CẢM ƠN

Với sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc, tôi chân thành cảm ơn TS Trịnh Công

dẫn và giúp đỡ của thầy đối với tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học

Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin và Phòng Sau Đại

trong thời gian học tại trường

Xin gởi lời cảm ơn đến quý thầy, cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý và phản biện cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh nhất

viên giúp tôi hoàn thành luận văn này

M ỤC LỤC

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 3

1.1 Bài toán t ối ưu một mục tiêu 3

1.2 Bài toán t ối ưu đa mục tiêu 6

1.3 “Tr ọng số” ưu tiên trong bài toán tối ưu đa mục tiêu 8

C hương 2 TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 11

2.1 Nón và quan h ệ thứ tự 11

2.2 T ối ưu Pareto 14

2.2.1 Nghi ệm tối ưu Pareto 14

2.2.2 Nghi ệm tối ưu Pareto yếu và ngặt 15

2.2.3 Nghi ệm tối ưu Pareto chính thường 23

2.2.4 T ối ưu Pareto trong trường hợp bài toán tối ưu một mục tiêu 28

2.3 M ột số khái niệm tối ưu đa mục tiêu khác 30

C hương 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU PHI TUY ẾN 39

3.1 Phương pháp tổng trọng số 39

3.2 Phương pháp trọng số L -mêtric 42 p 3.3 Phương pháp ràng buộc ( ε−constraintmethod ) 46

3.4 Phương pháp Normal-Boundary Intersection (NBI) 50

K ẾT LUẬN 54

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 55

M Ở ĐẦU

Trong thực tiễn cuộc sống, chúng ta thường gặp phải những vấn đề đòi hỏi cần đưa

ra những quyết định đúng đắn nhất, tốt nhất cho vấn đề đó Chẳng hạn khi ta muốn mua

một cây viết thì vấn đề đặt ra là nên mua của thương hiệu nào để có chất lượng tốt nhất?

Hoặc khi đi du lịch thì nên lựa chọn khách sạn nào nghỉ ngơi để tiết kiệm được nhiều chi phí nhất? Giải quyết vấn đề trên có nghĩa chúng ta đang đặt ra mục tiêu cụ thể để đi tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của nó thông qua việc thu thập và phân tích thông tin Nói cách khác, đi tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một mục tiêu nào đó chính là chúng ta đang giải bài toán tối ưu một mục tiêu

Do nhu cầu của sự phát triển kinh tế và kỹ thuật, ngày càng nhiều mục tiêu được hướng đến với mong muốn có thể thực hiện cùng lúc khiến cho bài toán tối ưu một mục tiêu không thể đáp ứng được Từ đó bài toán tối ưu đa mục tiêu được hình thành nhằm

phục vụ cho nhu cầu của các hoạt động kinh tế, kỹ thuật Ví dụ một công ty muốn tìm một con đường vận chuyển hàng hóa, có thể bằng đường bộ, đường thủy hoặc đường hàng không sao cho thời gian đi là nhanh nhất nhưng lại tiết kiệm được nhiều chi phí nhất Các

mục tiêu của bài toán tối ưu đa mục tiêu thường là độc lập với nhau và có thể là đối kháng nhau Nghĩa là một phương án tốt nhất cho mục tiêu này có thể không tốt nhất đối với các

mục tiêu khác nên phương án tốt nhất cho tất cả các mục tiêu là rất khó xảy ra Do đó giải bài toán tối ưu đa mục tiêu có nghĩa là tìm ra phương án tốt nhất theo một nghĩa nào đó

Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu ban đầu được đưa ra bởi Edgeworth từ năm 1881 và Pareto từ năm 1906 Cơ sở toán học của lý thuyết này là những không gian có thứ tự đưa

ra bởi Cantor năm 1897, Hausdorff năm 1906 và những ánh xạ đơn trị cũng như đa trị có giá trị trong một không gian có thứ tự thỏa mãn những tính chất nào đó Từ năm 1950, sau

những công trình về điều kiện cần và đủ cho tối ưu của Kuhn-Tucker năm 1951 tối ưu Pareto của Deubreu năm 1954, lý thuyết tối ưu đa mục tiêu mới thực sự được công nhận

là ngành toán học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Bên cạnh đó, tối ưu đa mục tiêu phi tuyến là một bộ phận quan trọng của tối ưu đa

mục tiêu Ngày càng có nhiều nhà nghiên cứu quan tâm đến lĩnh vực này với mục tiêu xây

dựng một hệ thống phương pháp hoàn thiện nhằm áp dụng cho tất cả các bài toán kinh tế,

sản xuất nói riêng và các lĩnh vực khác nói chung

Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu và trình bày một số kết quả của bài toán

tối ưu đa mục tiêu phi tuyến trong các tài liệu tham khảo [2] và [4] Kết quả của việc làm này được trình bày thành ba chương

Chương 1: trình bày một số ví dụ thực tế với mô hình toán học cụ thể của bài toán

tối ưu một mục tiêu cũng như bài toán tối ưu đa mục tiêu Đồng thời phát biểu dạng tổng quát của hai dạng bài toán tối ưu trên và giới thiệu “trọng số” ưu tiên trong bài toán tối ưu

hợp đặc biệt của nghiệm tối ưu Pareto trong bài toán tối ưu một mục tiêu

Chương 3: trình bày một số phương pháp để giải bài toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến với cơ sở lí luận cũng như thuật toán và ví dụ cụ thể

Chương 1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN

1.1 Bài toán t ối ưu một mục tiêu

Các ví dụ về bài toán tối ưu một mục tiêu xuất hiện rất nhiều trong thực tế Ở đây tôi chỉ nêu một vài ví dụ mà mô hình toán học của nó được xem xét như là các ví dụ về việc áp

dụng lý thuyết toán học để giải quyết Mô hình tổng quát của các bài toán và “trọng số”

ưu tiên trình bày trong chương này có thể tìm thấy trong [1], [4], [5]

Ví d ụ 1: Một nhà máy dự định sản xuất một loại thùng hình trụ có chiều cao là h> , bán 0kính đáy là r> Biết rằng chi phí sản xuất cho mỗi thùng như vậy được xác định theo 0

C= πr + πrh Hãy xác định r sao cho thùng có thể tích mong muốn là

1125 ( )3

cm với chi phí sản xuất là thấp nhất?

Mô hình toán h ọc: Ta có r là bán kính đáy (r >0), h là chiều cao của thùng (h>0) Thùng có thể tích mong muốn 1125 ( )3

2

11251125

biểu dưới hình thức một bài toán tối ưu sau:

r

π

Ví d ụ 2: Một nhà đầu tư có 5 tỉ đồng muốn đầu tư vào ba lĩnh vực chứng khoán, gửi tiết

kiệm, bất động sản với lãi suất như sau:

Để giảm thiểu rủi ro, nhà đầu tư cho rằng không nên đầu tư vào chứng khoán và bất động

sản quá 50% tổng số vốn Gửi tiết kiệm ít nhất 30% tổng số vốn cho an toàn và đầu tư vào

Ví d ụ 3: Một xí nghiệp sản xuất giấy hiện có số lượng bột gỗ và chất hồ keo tương ứng là

5580 m và 90 t3 ấn Xí nghiệp sản xuất 3 loại giấy A, B, C Nguyên liệu cần để sản xuất các loại giấy được cho trong bảng sau:

Bột gỗ ( 3

Biết rằng lợi nhuận khi sản xuất được 1 tấn giấy A, B, C lần lượt là 2,7; 3,6; 3 (triệu đồng) Lập kế hoạch sản xuất để lợi nhuận lớn nhất?

Mô hình toán h ọc: Gọi x là s1 ố tấn giấy loại A (x1≥ ), 0

2

x là số tấn giấy loại B (x2 ≥ ), 0

3

x là số tấn giấy loại C (x3≥ ) 0Nguyên liệu bột gỗ thỏa: 1,5x1+1,8x2+1, 6x3 ≤5580( )3

Nguyên liệu chất hồ keo thỏa: 20x1+30x2+24x3≤90000 (kg)

Lợi nhuận đạt được là f x x x( 1, 2, 3)=2, 7x1+3, 6x2+3x3 Vậy bài toán trên có thể phát

biểu dưới hình thức một bài toán tối ưu sau:

Các ví dụ trên đã phần nào nói lên dạng tổng quát của bài toán tối ưu một mục tiêu, đó

là bài toán tìm x=(x x1, 2, ,x n) sao cho:

(2)

1.2 Bài toán t ối ưu đa mục tiêu

Các bài toán thực tế trong sản xuất nói riêng và các ngành khác nói chung không chỉ dừng

lại ở một mục tiêu duy nhất là làm sao để thu được lợi nhuận lớn nhất hay làm sao để tiết

kiệm tối đa chi phí nguyên liệu Ngày càng nhiều mục tiêu được hướng đến với mong

muốn có thể đạt được cùng lúc Câu hỏi đặt ra lúc này là như thế nào sẽ là một phương án

tối ưu trong mô hình bài toán với số mục tiêu lớn hơn hay bằng hai

Ví d ụ 4: Một người muốn mua một chiếc xe ô tô với những sự lựa chọn được cho trong

Mục tiêu lựa chọn của người này là muốn mua xe với giá thành thấp, tiết kiệm nhiên liệu

và động cơ mạnh mẽ Vậy sự lựa chọn nào sẽ là tốt nhất với các mục tiêu trên?

Mô hình toán h ọc: Gọi x là loại xe cần tìm, x∈ =X {Toyata Ford Honda; ; },

f1 là hàm mục tiêu động cơ,

f là hàm m2 ục tiêu nhiên liệu tiêu hao,

f là hàm mục tiêu giá thành

Ràng buộc dấu (3)

Nếu xem f x( )= −( f x1( ) ( ) ( ), f2 x , f3 x ) thì bài toán trên có thể phát biểu dưới hình thức

một bài toán tối ưu sau:

( )

min f x v ới điều kiện x X∈

Nếu ta xét từng mục tiêu đơn thuần như một bài toán tối ưu một mục tiêu thì ta có kết quả như sau:

• Mục tiêu giá thành thấp: Ford

• Mục tiêu tiết kiệm nhiên liệu: Honda

• Mục tiêu động cơ tốt: Toyota

Như vậy ta sẽ gặp khó khăn nếu muốn đạt được cùng lúc cả 3 mục tiêu trên theo nghĩa của bài toán một mục tiêu

Ví d ụ 5: Một người có mảnh vườn hình chữ nhật với chu vi là 100 m Xác định độ lớn của

chiều rộng sao cho diện tích mảnh vườn là lớn nhất và bình phương của độ lớn chiều dài

trừ bình phương của hai lần độ lớn chiều rộng là nhỏ nhất Biết rằng chiều rộng có độ lớn

ít nhất là 5m và không vượt quá 40m

Mô hình toán h ọc: Gọi x là chiều rộng mảnh vườn (5≤ ≤x 40) (m)

kiện 5≤ ≤x 40 thì phương án tối ưu là x=40 Rõ ràng hai phương án tối ưu này không trùng nhau

Các ví dụ 4 và ví dụ 5 cho thấy khó khăn và sự không khả thi nếu ta định nghĩa phương án

tối ưu của mô hình tối ưu với số mục tiêu lớn hơn hay bằng hai theo cách tương tự như trường hợp một mục tiêu Điều này dẫn đến phải có một yêu cầu cụ thể về phương án tối

ưu trong trường hợp này

Các mục tiêu trong bài toán thực tế thường độc lập và có thể là đối kháng nhau

Chẳng hạn nếu muốn tạo ra nhiều sản phẩm thì khó để tiết kiệm nguyên liệu; nếu muốn xe

có động cơ mạnh thì khó để tiết kiệm xăng… Do đó giảm nhẹ yêu cầu tối ưu qua một số

“điều chỉnh” nào đó đối với các mô hình tối ưu (qua các ví dụ cụ thể ở trên) với mục đích tìm ra một phương án được xem là chấp nhận được chính là ý tưởng về nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Dạng tổng quát của bài toán tối ưu đa mục tiêu:

min (f x1( ), , f Q( )x ) hay min ( f x( ) ), (1.1)

sao cho : x∈ X

Trong đó: f i :n → với 1, ,i= Q là các hàm mục tiêu, f x( )=(f x1( ), , f Q( )x ),

n

X ⊂  là tập ràng buộc ( hay miền chấp nhận được của (1.1)),

x được gọi là véc tơ chấp nhận được của (1.1) hoặc các phương án

1.3 “Tr ọng số” ưu tiên trong bài toán tối ưu đa mục tiêu

Một hướng giải quyết bài toán tối ưu đa mục tiêu là sử dụng “trọng số” “Trọng số” ở đây

có nghĩa là mức độ ưu tiên hay tầm quan trọng của từng mục tiêu mà dựa vào đó ta sẽ đưa bài toán ban đầu về bài toán tối ưu một mục tiêu ứng với “trọng số” tìm được

• Đầu tiên ta so sánh các mục tiêu trên, chẳng hạn A quan trọng hơn B hay B quan

trọng bằng C… Vấn đề quan trọng trong vấn đề này không phải là lời phát biểu mà

là giá trị bằng số liên quan đến lời phát biểu Ở đây ta sử dụng ma trận so sánh cặp

của Saaty như sau:

2, 4, 6, 8 Mức trung gian giữa các mức nêu trên

• Xác định trọng số: Tính tổng mỗi cột trong ma trận:∑a ij rồi tính /a ij ∑a ij

+ Mục tiêu f (giá thành) có vai trò quan tr3 ọng nhất Tiếp theo là mục tiêu f2

(nhiên liệu tiêu hao) do 0,487 > 0,435

+ Mục tiêu f1 (động cơ) đóng vai trò không đáng kể

Do đó bài toán ví dụ 4 được chuyển về bài toán min 3( )

x X f x

Ford

C hương 2 TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

Chương này dành cho việc trình bày quan hệ thứ tự và khái niệm nghiệm của bài toán tối

ưu đa mục tiêu Bên cạnh đó là giới thiệu một số khái niệm tối ưu đa mục tiêu khác ứng

với những quan hệ thứ tự khác nhau trong không gian n

 Những chứng minh trong chương này có thể tìm thấy trong [4]

2.1 Nón và quan h ệ thứ tự

• Tích đề-các của hai tập hợp A và B , đó là tập A B× ={ ( )a b, /a∈A b, ∈B} Tổng quát, ký hiệu A1×A2× × A n ={ (a a1, 2, ,a n)/a i∈A i i; =1,n} là tích đề-các của các tập A A1, 2, ,A n

• Quan hệ hai ngôi: Cho A là tập bất kì Quan hệ hai ngôi trên tập A là tập con R

của A A× Kí hiệu: ( )a b, ∈R với ,a b∈A hay còn được ghi là aRb

Định nghĩa 2.1 Cho R là quan hệ hai ngôi trên A, khi đó R được gọi là:

+ Phản xạ nếu ( )a a, ∈ ∀ ∈ R, a A

+ Phi phản xạ nếu ( )a a, ∉ ∀ ∈ R, a A

+ Đối xứng nếu ∀a b, ∈ sao cho A ( )a b, ∈ ⇒R ( )b a, ∈ R

+ Phi đối xứng nếu ∀a b, ∈ sao cho A ( )a b, ∈ ⇒R ( )b a, ∉ R

+ Phản xứng nếu ∀a b, ∈ sao cho A ( )a b, ∈ và R ( )b a, ∈ ⇒ = R a b

+ Bắc cầu nếu ∀a b c, , ∈ sao cho A ( )a b, ∈ và R ( )b c, ∈ ⇒R ( )a c, ∈ R

+ Phủ định bắc cầu nếu ∀a b c, , ∈ sao cho A ( )a b, ∉ và R ( )b c, ∉ ⇒R ( )a c, ∉ R

Định nghĩa 2.2 Cho R là quan hệ hai ngôi trên A, khi đó R được gọi là:

+ Quan hệ tương đương nếu R có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu

+ Tiền thứ tự nếu R có tính chất phản xạ và bắc cầu

Trong trường hợp quan hệ R là tiền thứ tự thì cặp (A R , ) được gọi là tập tiền thứ tự

Thông thường quan hệ R thường được viết là  Khi đó ta có thể viết như sau:

a thay cho b ( )a b, ∈; a b thay cho ( )a b, ∉

Với bất kì một quan hệ  tiền thứ tự nào thì ta cũng có hai quan hệ sau:

M ệnh đề 2.3 Cho  là một tiền thứ tự trên tập A Khi đó:

• Quan hệ ≺ trong (i) là phi phản xạ và bắc cầu

• Quan hệ ∼ trong (ii) là quan hệ tương đương

M ệnh đề 2.4 Một quan hệ hai ngôi phản xứng là phi phản xạ Một quan hệ hai ngôi bắc

Trong luận văn này, ta sử dụng quan hệ thứ tự trên không gian Euclide  Một số thứ tự n

trên  được nêu trong bảng sau: n

Định nghĩa 2.7 Một tập con n

K ⊆  được gọi là nón nếu x Kλ ∈ với mọi x K∈ và với

mọi λ∈,λ >0

Định nghĩa 2.8 Nón K trong  được gọi là: n

Suy ra u− − = + ∈( )v u v K Vậy K lồi

c Giả sử ta có 0 u K≠ ∈ , nghĩa là u y x K= − ∈  và u− = − ∈x y K

Do 0≠ nên x u  và y x y  nhưng x y≠ (Mâu thuẫn)

Định nghĩa 2.11 Cho K là nón Ta định nghĩa K như sau:

x ⇔ − ∈ (3i)

Mệnh đề 2.12 Cho K là nón và thứ tự theo nón  trong (3i) tương thích với phép nhân K

vô hướng và phép cộng trong n

2.2 T ối ưu Pareto

2.2.1 Nghi ệm tối ưu Pareto

Định nghĩa 2.13

x là nghiệm tối ưu Pareto thì ( )*

f x được gọi là điểm hữu hiệu

x ∈ là nghiệm tối ưu Pareto nếu X

1 Không tồn tại x X∈ sao cho ( ) ( )*

• Nếu *

x là nghiệm tối ưu Pareto yếu thì ( )*

f x được gọi là điểm hữu hiệu yếu

• X w Par− : tập hợp gồm tất cả các nghiệm tối ưu Pareto yếu *

x là nghiệm tối ưu Pareto ngặt thì ( )*

f x được gọi là điểm hữu hiệu ngặt

• X s Par− : tập hợp gồm tất cả các nghiệm tối ưu Pareto ngặt *

• L≤( )f x( ) ={x∈X : f x( )≤ f x( ) } được gọi là tập mức của f tại x

• L=( )f x( ) ={x∈X : f x( )= f x( ) } được gọi là đường cong mức của f tại x

( ) { }* 1

Q

q q

= =

2 x là t* ối ưu Pareto

3 x là t* ối ưu Pareto yếu

f x < f x với mọi q=1, ,Q

⇔ Không tồn tại x X∈ sao cho ( ( )* ) ( )

L< y

= = ∅

Ví d ụ 8: Một chuyến xe đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Nha Trang với các loại vé

tương ứng với thời gian và các mệnh giá được cho trong bảng sau:

Xác định loại vé sao cho thời gian đi là ngắn nhất và giá là rẻ nhất ?

Mô hình toán h ọc: min( f x1( ) ( ), f2 x )

sao cho x∈ =X {A B C D E F, , , , , }

Nhận xét:

- Vé loại C tốt hơn vé loại B và vé loại E tốt hơn vé loại D về cả thời gian đi

và giá Nói cách khác C là trội hơn B và E là trội hơn D

- Nghiệm tối ưu Pareto là: A, E, F vì không tồn tại x X∈ sao cho

C là nghiệm tối ưu Pareto yếu nhưng không là nghiệm tối ưu Pareto vì tồn

tại nghiệm E thỏa f E1( )< f C1( ) và f2( )E ≤ f2( )C

- Nghiệm tối ưu Pareto ngặt là: A, E, F vì:

không tồn tại x∈X x, ≠ sao cho A f x( )≤ f A( ).không tồn tại x∈X x, ≠ sao cho E f x( )≤ f E( ).không tồn tại x∈X x, ≠ sao cho F f x( )≤ f F( )

Ý nghĩa thực tế: Qua ví dụ ta thấy ý nghĩa của phương án tối ưu trong bài toán đa mục

tiêu không phải là giá trị nhỏ nhất của tất cả các hàm mục tiêu Ở đây ta có thể tìm được

loại vé tối ưu về thời gian đi hoặc loại vé tối ưu về giá nhưng không thể tìm được loại vé

tối ưu về cả thời gian và giá Điều này dẫn đến phải có sự “dung hòa” theo nghĩa tăng

hoặc giảm giá trị của từng hàm mục tiêu cụ thể Chẳng hạn muốn mua loại vé với giá có

thể dao động từ 200000đ đến 250000đ và thời gian đi từ 7h đến 9h Ta thấy vé loại F với

thời gian 4h là thời gian đi ngắn nhất nhưng giá lại vượt quá điều kiện ban đầu Cho nên

tăng giá trị thời gian để tìm được loại vé phù hợp chính là sự dung hòa cần đạt được Do

đó với từng mong muốn cụ thể mà ta sẽ tìm loại vé tương ứng, nói cách khác đó là sự lựa

chọn giữa nghiệm tối ưu Pareto hay nghiệm tối ưu Pareto yếu, ngặt

• Với mong muốn thời gian đi là ngắn nhất hay giá vé là tốt nhất thì ta sẽ chọn nghiệm tối ưu Pareto hoặc nghiệm tối ưu Pareto ngặt

• Với mong muốn có sự dung hòa giữa thời gian đi và giá vé thì ta sẽ chọn nghiệm

tối ưu Pareto yếu Nghĩa là nếu muốn chọn loại vé có thể không tốt nhất về thời gian hoặc giá nhưng không có loại vé nào đồng thời tốt hơn cả hai mục tiêu trên thì ta sẽ chọn nghiệm tối ưu Pareto yếu Trong một số trường hợp nghiệm tối ưu Pareto yếu đó cũng chính là nghiệm tối ưu Pareto

Chẳng hạn nếu muốn đi nhanh nhất thì ta chọn nghiệm tối ưu Pareto (ngặt) E, nếu muốn

loại vé rẻ nhất thì ta chọn nghiệm tối ưu Pareto (ngặt) A Với loại vé mà giá dao động từ 200000đ đến 250000đ và thời gian đi từ 7h đến 9h thì nghiệm tối ưu Pareto yếu C và E là hai sự lựa chọn phù hợp Tuy nhiên ở đây E là nghiệm tối ưu Pareto nên vé loại E sẽ tốt hơn C

Ví d ụ 9: Xét bài toán tối ưu ba mục tiêu sau:

Giá trị của từng hàm mục tiêu tại x=(2,5;0,5) và x=( )0;3 được thể hiện trong bảng sau:

Hình 2.1 x'=( )0;0 là nghiệm tối ưu Pareto ngặt.

2.2.3 Nghi ệm tối ưu Pareto chính thường

Định nghĩa 2.18 (Geoffrion 1968)

*

x ∈ được gọi là nghiệm tối ưu Pareto chính thường Geoffrion nếu X *

x là nghiệm tối ưu Pareto và nếu có một số M > sao cho với mỗi i và x X0 ∀ ∈ thỏa mãn ( ) ( )*

x là nghiệm tối ưu của bài toán (1.2))

h  → là hàm lồi, 1, ,i= Q Khi đó nếu

bất phương trình h x i( )<0,i =1, ,Q không có nghiệm x X∈ thì tồn tại

Cho X ⊂  là tập lồi và giả sử :n f i X →  là hàm lồi Khi đó *

x ∈ là nghiệm tối ưu X

Pareto chính thường Geoffrion khi và chỉ khi *

x là nghiệm tối ưu của bài toán (1.2) với

⇐) Được suy ra từ định lý 2.19

⇒ ) Giả sử *

x là nghiệm tối ưu Pareto chính thường Geoffrion Khi đó, có M > sao cho 0

với mọi i =1, ,Q thì bất phương trình ( ) ( )*

x là nghiệm tối ưu của bài toán (1.2)

Định nghĩa 2.22