Bài toán parabolic liên quan đến sự xuyến thấu của từ trường trong một vật chất

Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán–Tin học, trường Đại Học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy

Nguyễn Thành Long người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua mọi

khó khăn để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc

Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán–Tin học, trường Đại Học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức cũng như các hỗ trợ khác về tinh thần và tư liệu cho tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc

Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán –Tin học, Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập

Chân thành cảm ơn Quí Thầy Nguyễn Bích Huy, Trần Minh Thuyết đã đọc

và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi

Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 15 đã luôn động viên và quan tâm trong thời gian học tâp và làm luận văn Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2007

Trương Văn Chính

2 2N

(0.6)

1 B

c t4

có nhiệt độ trong đó là , phụ thuộc vào suất dẫn điện  Giả sử rằng suất

dẫn điện     phụ thuộc vào nhiệt độ ,   ta thêm vào (0.5) phương trình gây ra nhiệt nhờ sự nóng lên của Joule:

và B=H Do đó, dựa vào định luật j  và từ (0.6), hệ (0.5), (0.7) được viết E

theo dạng dưới đây:

Laptev biến đổi (0.8), (0.9) thành một phương trình bởi hàm s( ) dưới đây:

Các hàm C ( ),v    là dương nhờ vào ý nghĩa vật lý của chúng, như  

vậy hàm s  là đơn điệu tăng Do đó nó có duy nhất một hàm ngược, ký hiệu là  s 1 Từ hệ thức

4Giả sử rằng trường w có dạng

Hiện tượng này được chú ý trong cả hai trường hợp bán dẫn và plasmas

Trong [4] Laptev thiết lập các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho

o o

f  F 0, u H  và a C 1 ,  dưới các điều kiện:

(0.19) 2b a o a s a , s 0,1  

1

2 20

b s a ' s ds  

Để nới rộng kết quả của Laptev, trong bài báo [6], Long và Alain Phạm

đã chứng minh các định lý tồn tại, duy nhất và dáng điệu của nghiệm khi

t  cho bài toán (0.1)-(0.4) trong trường hợp 2 

o

u L  ,

f (x, t) 0, F F u , F C   , , F 0 0 sao cho F u   là hàm ukhông giảm, với 0  đủ nhỏ, F biến mọi tập bị chận của L2  thành một tập bị chặn của L2  và hàm a C 1 ,  thoả các điều kiện (0.19), (0.20)

Trong [6], Long và Alain Phạm cũng thu được nghiệm u thuộc về

Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:

Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn

Chương 1, chúng tôi trình bày một số công cụ chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm

Chương 2, chúng tôi trình bày sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán (0.1)–(0.4), dưới giả thiết 2  2 

hàm f, F, a, chúng tôi chứng tỏ rằng nghiệm yếu u thuộc về

Chương 4: Nghiên cứu tính bị chận của nghiệm yếu của bài toán (0.1) –(0.4) theo tính bị chận của điều kiện đầu Trong chương này, nếu uoL  cùng với một số điều kiện khác trên các hàm f, F, a, luận văn chứng tỏ nghiệm yếu u thuộc về L Q  T

Chương 5 đề cập đến dáng điệu tiện cận của nghiệm yếu của bài toán (0.1)–(0.4) khi t 

Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1 CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1 Các không gian hàm thông dụng

Chứng minh bổ đề 1.1 có thể tìm thấy trong [2]

Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không gian

(1.7)

1

H 1

0

H , v H 1 chuẩn trên H1 và 1

1

2 2N

đương Điều này cho bởi bất đẳng thức Poincaré sau:

1 o

 ), với mọi v C ( ). 1  Khi đó ocòn gọi là ánh xạ vết

Bổ đề 1.3 Đồng nhất L với (2 L )’ (đối ngẫu của 2 L ) Khi đó ta có 2

Vậy L triệt tiêu trên (H1)’

Chú thích 1.2 Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vơ hướng , trong L2 để chỉ cặp tích đối ngẫu , (H ) ',H 1 1 giữa 1

Cho X là khơng gian Banach thực với chuẩn là Ta kí hiệu X

Lp(0,T;X), 1   p là khơng gian các lớp tương đương chứa hàm

u : (0,T) đo được sao cho: X

T

p X 0

inf{M>0:  a.e t (0,T)}, với p=  

Lions[5]

Bổ đề 1.4. (Lions[5]): Lp(0,T;X), 1   p là khơng gian Banach

Bổ đề 1.5 (Lions[5]): Gọi X’ là đối ngẫu của X Khi đó, với

3 Phân bố có giá trị véctơ trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính

liên tục từ D((0,T)) vào X được gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong X Tập hợp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là:

0

T , v(t) (t)dt, D(0,T) 

Ta có thể nghiệm lại rằng TvD '(0,T;X) Thật vậy,

i.1/ Ánh xạ T : D(0,T)v  là tuyến tính X

i.2/ Ta chứng minh T : D(0,T)v X là liên tục vì:

Giả sử   i D(0,T), sao cho  i 0 trong D(0,T) ta có,

Do đó T ,v  j 0 trong X khi j  Vậy + Tv D '(0,T;X)

ii/ Ánh xạ vTv là một đơn ánh, tuyến tính từ Lp(0,T;X) vào D’(0,T;X) Do

đó, ta có thể đồng nhất Tv = v Khi đó ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.7. (Lions[5]) L (0,T;X)p D '(0,T;X) với phép nhúng liên tục

4 Đạo hàm trong L p (0,T;X)

Do Bổ đề 1.7, f  Lp(0,T;X) ta có thể coi f  D’(0,T;X) và do đó df

dt là phần tử của D’(0,T;X) Ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.8. (Lions[5]) Nếu f, f’  L1(0,T;X) thì f bằng với hầu hết một hàm

Chứng minh Bổ đề 1.8 được thực hiện qua nhiều bước

Bước 1. Đặt

t 0

H(t) f '(s)ds Khi đó H :[0,T] liên tục, vì X f’  L1(0,T;X)

Vậy dH df f '

dt  dt  trong D’(0,T;X)

Bước 2 Ta chứng minh f = H + C theo nghĩa phân bố (C là hằng) Thật vậy, giả sử v = H - f ta có v’ = 0 theo nghĩa phân bố (do bước 1) Ta có: v ' 0 tương đương với

(1.18)

T 0

Cv(t) (t)dt, từ (1.8) ta suy ra:

T 0

(v(s) C) (s)ds 0, D(0,T).   



Vậy v(t) = C trong D’(0,T;X)

Bước 3 Ta sử dụng tính chất sau:

Nếu w  L1(0,T;X) và

T 0

5 Bổ đề về tính compact của Lions.

Cho ba không gian Xo, X1, X với Xo  sao cho X X1

Khi đó W(0,T) là không gian Banach Hiển nhiên W(0,T) L (0,T;X). p o Ta

có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact

Bổ đề 1.10. (Bổ đề về tính compact của Lions[5])

o

p

W(0,T) L (0,T;X) là compact

Chứng minh. Có thể tìm thấy trong Lions[5], trang 57

6 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong L q (Q).

Bổ đề 1.11 Cho Q là tập mở, bị chặn của IRN và Gm, G  Lq(Q), 1< q < +

Chứng minh bổ đề có thể tìm thấy trong Lions[5], trang 12

Trong luận văn ta kí hiệu u(t), u '(t) u (t) u(t), t  u ''(t) u (t) u(t), tt 

x x x x x

u (t), u (t), u (t), u(t) để lần lượt chỉ

2 2

CHƯƠNG II

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong chương này chúng tôi trình bày định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu cho bài toán giá trị biên và ban đầu sau:

1

2 2N

Trước hết ta thành lập các giả thiết sau:

(ii) tồn tại các hằng số ao, a1 sao cho 2b a o a(s) a , s 0. 1  

(A3) Hàm F C ( o   ; ) thỏa các điều kiện:

(i) F(x,0)= 0, x  ,

(ii)   2

F(x,u) F(x,v) (u v)    u v , u, v   , a.e.x ,

2 o

Định lý 2.1 Giả sử các giả thiết (A1) – (A4) đúng Khi đó, bài toán (2.1) –

o

u L (0,T;H ) L (0,T;L ) , với mỗi T > 0

Chứng minh Chứng minh định lý 2.1 là tổ hợp phương pháp compact

và lý luận về tính đơn điệu và được thực hiện qua nhiều bước Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Giả sử A là toán tử được xác định bởi (2.4) Khi đó, ta có bất đẳng thức:

(2.5)

2 o

J, w(t) dt.

 Do (2.12) ta có

L (Q ) L (Q ) 0

s(x,T, ) T

T

2 2

Vậy từ (2.17) và (2.20) ta đã chứng minh được (2.16)

Do giả thiết (A2) và (2.16) vế phải của (2.14) được đánh giá như sau

2 T

o

T

2 2

T

2 1

(2.25)

T 0

có umwu mạnh khi m  Do F liên tục nên tồn tại dãy con của

 m vẫn kí hiệu là  m sao cho:

(2.26) F(x,umw)F(x,u) hầu khắp nơi trong QT,

(2.33) F(x,umw)F(x,u) trong L2(QT) yếu,

do đó ta có (2.7) Như vậy Bổ đề 2.2 đã được chứng minh

Trở lại chứng minh định lý 2.1 Định lý được chứng minh qua nhiều bước

Bước 1. Phương pháp Galerkin (được giới thiệu bởi Lions [5])

2 '

i 0

t

0 n

Ta ký hiệu BM  c X : c X M là quả cầu đóng tâm O, bán kính M Dùng định lý điểm bất động Schauder, ta sẽ chứng minh rằng tồn tại các hằng số M > 0, Tn(0,T) sao cho toán tử U : BM BM có điểm bất động Điểm bất động này cũng chính là nghiệm của hệ (2.42), (2.43)

(i) Trước hết ta chứng minh U là ánh xạ từ B vào chính nó M

Do (Uc) (t)i i(t) (Vc) (t) i xác định theo (2.43) nên (Uc) liên tục itheo biến t với mọi i = 1, 2, …,n, nghĩa là Uc X. Mặt khác, ta lại có

Do (A3)(iii) ánh xạ F xác định bởi F(v)(x) F(x, v(x)), v L ,  2 biến mọi tập bị chận trong L ( )2  thành một tập bị chận trong L ( )2  nên từ (2.50) ta được

Như vậy (i) được chứng minh

(ii) Chứng minh U liên tục trên B M

Giả sử với mọi dãy  cm B , cM m c trong B ,M ta chứng minh

j 1 2 n

Do vậy, (m j) (x,s) bị chận bởi một hàm  khả tích trên

n

T

Q độc lập với m, nên theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có

Tn

m j Q

T

2 m

0 T

c/ Chứng minh U(B ) là tập compact của X M

Bổ đề 2.3 đã được chứng minh

Từ chứng minh trên ta có, với mỗi n, tồn tại nghiệm un(t) dạng (2.35) thỏa (2.36), (2.37) trên khoảng đủ nhỏ [0,Tn], với 0 T n  Các đánh giá T.tiên nghiệm sau đây cho phép ta lấy Tn = T, với mọi n

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm

(2.91)

o 2

Bước 3 Qua giới hạn

Nhân (2.36) với D([0,T]) và lấy tích phân theo biến thời gian, ta

T

0 T

0 limX lim Au (t),u (t) dt (t) (t), v(t) dt

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1) – (2.4) đã được chứng minh

Bước 4 Chứng minh nghiệm duy nhất

Giả sử u, v là 2 nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4) Khi đó w = u-v

là nghiệm yếu của bài toán:

1w(t) Au( ) Av( ), w( ) d 0.

Theo (2.117) ta có:

(2.135)

t 0

CHƯƠNG 3 TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM

Trong chương này, luận văn muốn đề cập đến tính trơn của nghiệm yếu của bài toán (0.1)-(0.4) theo tính trơn của điều kiện đầu Cụ thể là chúng tôi tăng cường giả thiết về điều kiện đầu 1

(iv) Với mỗi tập con bị chận 1

0

BH , tồn tại hằng số KB > 0 phụ thuộc vào B sao cho

Sự tồn tại nghiệm yếu

Giống như chứng minh định lý 2.1, ta xét hệ phương trình (2.36), (2.37), trong đó (2.38) được thay bởi

trong đó M là hằng số độc lập với n và phụ thuộc vào T T

Bây giờ ta thực hiện thêm một đánh giá cần thiết khác

Ta đặt Q1  (0,T ), 0 T1   Do 1 T wj  jwj, thay thế wj(x) trong (2.36) bởi  ta được wj

(3.6) (u ) ,n t wj Au ,n wj F(x,u ),n wj f (t), w ,j

1 j n

Nhân mỗi phương trình của (3.6) với cnj(t), lấy tổng theo j sau đó lấy

tích phân theo biến thời gian từ 0 đến T1 ta được:

0 T

F(x,u (t)) u (x,t) dxdt u (x, t) dxdtu

i, j 1 i j0

(3.22)

1 2

2

1

1

2 1

x x4b C u ( ) d 4b C u

Từ (3.18), áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz đối với *

1

J ta được

N 2

2 T

N

n n

2 1

n n

i 1 0 i i 1 0 i

2 N

2 1

T 2

Từ (3.40) theo định lý Riesz – Fischer, tồn tại dãy con của  u vẫn ký n

hiệu là  u sao cho n

(3.41) un  và u    hầu khắp nơi trong Qun u T

2 t

Nhân phương trình (2.36) với D(0,T), lấy tích phân trên theo biến thời gian ta được:

Từ (3.55), (3.56) ta có điều kiện đầu u(0) = uo

Như vậy sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4) đã được chứng minh

Chứng minh nghiệm duy nhất

Giả sử u, v là 2 nghiệm yếu của hệ (2.1) - (2.4) Đặt w=u-v Khi đó w là nghiệm yếu của hệ

1

T 2 1

0 T 0

CHƯƠNG 4 TÍNH BỊ CHẬN CỦA NGHIỆM

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính bị chận của nghiệm yếu của bài toán giá trị biên và ban đầu (0.1) – (0.4) theo tính bị chận của điều kiện đầu Cụ thể là, nếu uoL ( )  cùng với một số các điều kiện khác trên các hàm f, F, a Luận văn chứng tỏ rằng nghiệm yếu u cũng thuộc về L (Q ). TPhương pháp chứng minh cũng tương tự như trong [8]

Trước hết chúng tôi thành lập các giả thiết sau:

t N

2

t

2 0

2 2

t

2 2

(4.10)

, z 0

2 , z 0 , z 0

F(x,z (x, t) M).z dx F(x,z (x, t) M).z dxF(x,z (x, t) M) F(x,M) z dx F(x,M).z dx

(4.14) u(x, t) M với hầu hết (x,t) Q  T

* Tương tự, ta xét z = u + M thay cho z = u - M và chọn

CHƯƠNG 5 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU

Trong chương 2, theo định lý 2.1 bài toán (2.1) – (2.4) có duy nhất

Định lý 5.1. Giả sử các giả thiết "

(A ) (A ), (A ) đúng Khi đó, bài toán

(2.1) – (2.4) có duy nhất nghiệm yếu 2 1 2

0

u L (0, ;H )  L (0, ;L ),  thỏa đánh giá

2 u (t) u (t) f (t)

2 u (t) u (t) f (t) ,C

KẾT LUẬN

Luận văn khảo sát bài toán biên và ban đầu dạng parabolic phi tuyến

mà ý nghĩa của nó liên quan đến sự xuyên thấu của từ trường trong một vật chất Kết quả tồn tại duy nhất nghiệm với giá trị đầu 2

o

u L ( ), tính trơn của nghiệm với 1

o 0

u H ( ), tính bị chận của nghiệm với uoL ( ),  được trình bày lần lượt trong các chương 2, 3, 4 Trong chương 5 tính tắt dần theo dạng hàm mũ của nghiệm khi t  cũng được chứng minh

Qua luận văn nầy, tác giả thực sự bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống Tác giả cũng học tập được phương pháp nghiên cứu trong việc đọc tài liệu, thảo luận trong nhóm sinh hoạt học thuật Chúng tôi cũng học tập được công cụ của Giải tích hàm phi tuyến để khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán parabolic phi tuyến, chẳng hạn như: phương pháp Galerkin liên hệ với các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật về tính compact và hội tụ yếu Chúng tôi cũng có dịp sử dụng được các công cụ cùng với các kỹ thuật đánh giá dáng điệu tiệm cận của nghiệm Tuy nhiên với sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong được sự đóng góp, chỉ bảo của Quí Thầy, Cô trong và ngoài Hội đồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Adams R A (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, NewYork

2 Brézis H (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Masson

Paris

3 Jangveladze T.A., Kiguradze Z.V (2006), Asymptotics of solution of a

Seberian Mathematical Journal, Vol 47, No 5, pp 867-878

4 Laptev G I (1988), Mathematical singularities of a problem on the

Mat i Mat Fiz 28, No 9, 1332-1345; translation in USSR Comput Math and Math Phys 28, No.5, 35-45

5 Lions J L (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux

6 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, (1993), Nonlinear parabolic

problem associated with the penetration of a magnetic field into a

7 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, (1995), Periodic solution of

a nonlinear parabolic equation associated with the penetration of a

8 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, (2006), On a nonlinear

parabolic equation involving Bessel’s operator associated with a

196 (1) 267-284