Định lý điểm bất động schauder trong không gian lũy đẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Lê Văn Phương ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG SCHAUDER TRONG KHÔNG GIAN LŨY ĐẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Lê Văn Phương

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG SCHAUDER TRONG KHÔNG GIAN LŨY ĐẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Lê Văn Phương

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG SCHAUDER TRONG KHÔNG GIAN LŨY ĐẲNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Nguyễn Bích Huy Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy - người đã cung cấp tài liệu, từng bước hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài và truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ Giải tích, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt khóa học cao học Chân thành cảm ơn quý thầy cô phòng sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này

Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, các anh chị học viên lớp cao học Giải tích khóa 24 đã luôn đồng hành, ủng hộ và có những trao đổi góp

ý, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Người thực hiện luận văn

Lê Văn Phương

MỤC LỤC

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 4

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Không gian topo .4

1.2 Không gian metric hóa .6

1.3 Không gian compact 7

1.4 Ánh xạ đa trị 8

CHƯƠNG 2 9

Å - KHÔNG GIAN TOPO 9

2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản 9

2.2 Å -không gian topo 11

2.3 Tập lồi trong Å -không gian topo 16

CHƯƠNG 3 34

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG SCHAUDER TRONG KHÔNG GIAN LŨY ĐẲNG 34

3.1 Định lý Brouwer 34

3.2 Định lý Schauder 38

3.3 Định lý Schauder đối với ánh xạ đa trị tăng 40

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

1

MỞ ĐẦU

Cho X là một tập con của không gian V, f là một ánh xạ từ X vào X Phải đặt những điều kiện nào trên X, V và f để có thể khẳng định sự tồn tại của một điểm

0

x trong X sao cho f(x )0 = x0? Điểm x0 như vậy gọi là điểm bất động của ánh

xạ f Lý thuyết điểm bất động có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất nghiệm của một số lớp phương trình phi tuyến Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) cho không gian hữu hạn chiều, định lý điểm bất động Schauder (1930) là mở rộng của định lý điểm bất động Brouwer cho không gian vô hạn chiều (cụ thể là không gian Banach), định lý điểm bất động Tychonoff (1935) là mở rộng của định lý điểm bất động Schauder cho không gian lồi địa phương Cụ thể:

Định lý Brouwer (1912) : Cho X là tập con lồi, compact của n và f : X® Xlà ánh xạ liên tục Khi đó, f có điểm bất động trong X

Định lý Schauder 1 (1930) : Cho X là tập con lồi, compact của không gian Banach V, f : X ® X là ánh xạ liên tục Khi đó, f có điểm bất động trong X

Định lý Schauder 2 (1930) : Cho X là tập con lồi, đóng và bị chặn của không gian Banach V, f : X® X là ánh xạ liên tục và compact Khi đó, f có điểm bất động trong X (ánh xạ compact là ánh xạ biến mọi tập bị chặn thành tập compact)

Định lý Tychonoff (1935) : Cho X là tập con lồi, compact của không gian lồi địa phương V và f : X® X là ánh xạ liên tục Khi đó, f có điểm bất động trong X

Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau Giải tích hàm thông thường xét các không gian vectơ topo trên trường số thực  hoặc trên trường số phức  với các phép toán thông thường

và các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa chúng Xuất phát từ việc nghiên cứu các

2

phương trình Vật lý - Toán, nhà toán học người Nga, V.P.Maslov và các học trò

đã xây dựng Lý thuyết về Giải tích lũy đẳng và Giải tích hàm lũy đẳng từ nửa cuối thập niên 1980 Giải tích hàm lũy đẳng nghiên cứu các không gian lũy đẳng trong đó phép “cộng” Å hai phần tử có tính chất a a aÅ = và có phép

“nhân”  phần tử với số thuộc nửa vành lũy đẳng Ví dụ đơn giản và thông dụng với nửa vành lũy đẳng là tập  �È -¥{ } với phép “cộng” Å và “nhân”  được định nghĩa như sau:

Đây là một trong những lý do mà Giải tích hàm lũy đẳng được các nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu và có những ứng dụng sâu sắc trong Vật lý- Toán, Tính toán khoa học, Toán kinh tế, Toán thống kê,…

Hiện nay, Giải tích hàm lũy đẳng đã được xây dựng tương đối hoàn chỉnh Tuy nhiên, các nghiên cứu về phương trình trên không gian lũy đẳng, nói riêng

là bài toán điểm bất động, còn rất hạn chế Do đó, việc tìm hiểu về mở rộng các định lý điểm bất động cơ bản như định lý ánh xạ co, định lý Schauder,… trong không gian lũy đẳng là một đề tài có ý nghĩa Luận văn được viết dựa trên việc tìm hiểu các sách chuyên khảo và các bài báo khoa học có liên quan đến đề tài Phân tích, tổng hợp các kiến thức thu được và trình bày chúng theo thể thống nhất khoa học, chi tiết

Mục tiêu của luận văn là trình bày chi tiết và hệ thống các kiến thức cơ bản

về không gian lũy đẳng, nửa vành lũy đẳng, Å -không gian topo, các tập lồi

3

trong Å-không gian, định lý Brouwer và định lý Schauder trong không gian lũy đẳng Luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày một số khái niệm và tính chất có liên quan đến các chương sau: Không gian topo, không gian compact, ánh xạ đa trị

Chương 2: Å -không gian topo

Trong chương này xây dựng khái niệm về nửa vành lũy đẳng, nửa modun lũy đẳng trên nửa vành lũy đẳng,…, không gian lũy đẳng, tính lồi trong không gian lũy đẳng Đồng thời, trình bày khái niệm và một số tính chất về tập Å -lồi, phát biểu và chứng minh định lý tách tập Å -lồi với một điểm trong không gian lũy đẳng

Chương 3: Định lý Schauder trong không gian lũy đẳng

Trong chương này sẽ phát biểu và chứng minh định lý điểm bất động Brouwer trong không gian lũy đẳng, định lý điểm bất động Schauder trong không gian lũy đẳng đối với ánh xạ đơn trị Ngoài ra, luận văn còn trình bày kết

quả mở rộng của định lý điểm bất động Schauder trong không gian lũy đẳng đối

với ánh xạ đa trị tăng

4

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian topo

1.1.1 Định nghĩa topo và không gian topo

Cho tập hợp X ¹ Æ Một họ t các tập con của X được gọi là topo trên X nếu tthỏa mãn các tính chất sau:

Cho t t, / là hai topo trên X Ta nói t mạnh hơn t/ nếu t É t/

1.1.2 Cơ sở của topo

Cho (X, )t là không gian topo Một họ con s Ì t được gọi là một cơ sở của tnếu " Î t " ÎG , x GÞ $ Î sV : xÎV ÌG

1.1.3 Lân cận, cơ sở lân cận

Cho (X, )t là không gian topo và xÎ X

Lân cận Tập U ÌX được gọi là lân cận của x nếu

Nếu lân cận U của x là tập mở thì U được gọi là lân cận mở của x

Họ gồm các lân cận của x được ký hiệu là Ux

Cơ sở lân cận Họ Vx ÌUx được gọi là cơ sở lân cận của x nếu

" ÎU Þ $ ÎV Ì

5

1.1.4 Phần trong, bao đóng của tập hợp

Cho (X, )t là không gian topo và AÌX

Phần trong Phần trong của A, ký hiệu Ao hay IntA, là tập mở lớn nhất chứa trong A (tức là hợp tất cả các tập mở, chứa trong A) Mỗi xÎ Ao gọi là điểm trong của A

Bao đóng Bao đóng của A, ký hiệu A hay ClA, là tập đóng nhỏ nhất chứa A (tức là giao tất cả các tập đóng, chứa A) Mỗi xÎA gọi là điểm dính của A

Cho các không gian topo (X, )t và (Y, )q

Ánh xạ liên tục Ta nói ánh xạ f : X ® Y liên tục tại x0 Î X nếu

Hiển nhiên trong định nghĩa trên có thể lấy V thuộc cơ sở lân cận của f(x )0

Ta nói f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x thuộc X

Ánh xạ đồng phôi Ta nói ánh xạ f : X ® Y đồng phôi nếu f là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược f- 1 liên tục

6

ĐỊNH LÝ 1.1.1

Các mệnh đề sau đây tương đương:

i) f liên tục trên X

ii) Mọi tập B mở (đóng) trong Y thì f (B)- 1 mở (đóng) trong X

ĐỊNH LÝ 1.1.2

Cho t s, là hai topo trên X Khi đó:

i) s Ì t Û ánh xạ đồng nhất I : (X, )t ®(X, )s là liên tục

ii) s = t Û ánh xạ đồng nhất I : (X, )t ®(X, )s là đồng phôi

1.1.6 Topo cảm sinh, không gian con

Cho không gian topo (X, )t và Æ ¹A ÌX

Topo cảm sinh Họ t =A {A G : GÇ Î t} là một topo trên A và được gọi là topo cảm sinh trên A của t

Không gian con Không gian topo (A,tA) được gọi là không gian topo con (hay không gian topo con) của (X, )t

ĐỊNH LÝ 1.1.3

Cho không gian topo (X, )t và Æ ¹A ÌX Khi đó:

i) Nếu Æ ¹BÌA thì ( )tA B = tB

ii) Nếu f : (X, )t ® Y liên tục thì f | : (A,A t ®A) Y liên tục

1.2 Không gian metric hóa

Topo sinh bởi metric Cho không gian metric (X, d)

Họ t ={UÌX | x" Î X, r$ >0 : B(x, r)ÌU} là một topo trên X và được gọi

là topo sinh bởi metric d trên X, các phần tử thuộc tđược gọi là các tập mở trong (X,d)

7

Không gian metric hóa Không gian topo (X, )t được gọi là không gian metric hóa hay không gian metric hóa được nếu trên X có một metric d sao cho topo sinh bởi metric d trùng với topo t trên X

1.3 Không gian compact

Tập có hướng Tập hợp A được gọi là tập có hướng nếu trong A có quan hệ

thì lưới {xa( )b}bÎB gọi là lưới con của {x }a aÎA

Lưới hội tụ Lưới {x }a aÎA trong không gian topo X được gọi là hội tụ về

a Î sao cho tập {x :a a ³ a0} chứa trong B hoặc X \ B

Không gian compact Cho không gian topo X Tập con A của X được gọi là tập compact nếu từ mỗi phủ mở của A có thể lấy phủ con hữu hạn Tức là:

ĐỊNH LÝ 1.3.1 Các mệnh đề sau đây tương đương:

i) X là không gian compact

ii) Mọi họ có tâm gồm các tập đóng trong X thì có giao khác rỗng

iii) Mọi siêu lưới trong X thì hội tụ

iv) Mọi lưới trong X có lưới con hội tụ

ĐỊNH LÝ 1.3.2

i) Nếu A compact, B đóng và BÌA thì B compact

ii) Nếu A compact và X là không gian Hausdoff thì A đóng

iii) Nếu X là không gian compact và f : X® Y liên tục thì f(X) compact

1.4 Ánh xạ đa trị

Cho X, Y là hai tập hợp khác rỗng Ký hiệu 2Y là tập các tập con của Y

Khi đó, ánh xạ F : X ®2 , xY  F(x) : Fx= , được gọi là ánh xạ đa trị

F(A) :  Fx, được gọi là ảnh của A qua F

• Nếu X = Ythì xÎ X thỏa mãn xÎFx được gọi là điểm bất động của F Tập hợp các điểm bất động của ánh xạ đa trị F, ký hiệu Fix(F)

• Ánh xạ đơn trị f : X® Ythỏa mãn f(x) Fx, xÎ " ÎX, được gọi là hàm chọn (hay lát cắt) của ánh xạ đa trị F

9

Chương 2

(a b)c=a(bc) "a, b, cÎK

• Tính giao hoán của Å:

10

a(bÅc)=(a b) (aÅ c) "a, b, cÎK

(aÅb)c =(ac) (bÅ c) "a, b, cÎKPhần tử đơn vị của nửa vành lũy đẳng K là phần tử  ÎK sao cho

 Ta trang bị trên Å topo trên  nên coi Å là không gian topo

Đặt max =Å È -¥{ } với hai phép toán:

“Tổng” Ålà phép toán max: aÅ =b max{a, b}

“Nhân” là phép toán cộng thông thường: ab= +a b

Với quan hệ thứ tự £ là quan hệ thứ tự thông thường trên tập số thực 

11

Khi đó, (max, , )Å  là nửa vành lũy đẳng giao hoán có phần tử q là -¥ và có phần tử đơn vị  là 0

2.1.3 Nửa môđun lũy đẳng

Nửa nhóm lũy đẳng V (với phép toán ÅV) được trang bị phép toán “nhân”

Khi đó, V được gọi là nửa môđun lũy đẳng trên nửa vành lũy đẳng K

Phần tử q ÎV V được gọi là phần tử không của nửa môđun lũy đẳng V nếu

- không gian Nửa vành Ålà Å -không gian trên chính nó

2.1.4 Ánh xạ tuyến tính trong không gian lũy đẳng

Cho V và W là nửa môđun lũy đẳng trên vành lũy đẳng K

Ánh xạ f : V® W được gọi tuyến tính trên K nếu

2.2 Å-không gian topo

Xét trong V là nửa môđun lũy đẳng trên nửa vành lũy đẳng K với quan hệ thứ tự

£, ta ký hiệu các đoạn và nửa khoảng như sau:

Topo trên Å -không gian V được gọi là o -lồi địa phương nếu với mọi

x ÎV đều có cơ sở lân cận các tập o -lồi

Giả sử V là Å -không gian được trang bị topo o -lồi sao cho với mọi J ÎV, ánh xạ r  r J liên tục từ Å vào V và các nửa khoảng (., ],[ ,.)J J đóng thì

V được gọi là Å -không gian topo Kí hiệu V * là tập các ánh xạ tuyến tính liên tục trên Å -không gian topo V

Å

- không gian topo V được gọi là chính quy nếu

x, y V, x y, V* : (x) (y)

Topo sinh bởi cơ sở của họ tất cả các tập {xÎV | a< x(x)<b} với

a, bÎÅ,x Î V*, được gọi là Å -topo yếu

Cho V, W là hai Å -không gian topo Khi đó, ánh xạ f : V ® W được gọi là

Å -liên tục yếu nếu với mọi x ÎW * thì ánh xạ x f : V ® Å là liên tục Cho V là Å-không gian và x, yÎV

Lấy J ÎV, coi lân cận của v đối với topo đều có dạng D ( )x  , với x ÎV, >

Ta sẽ chứng minh tồn tại r ÎÅ, r> sao cho D (r)J ÌD ( )x  Thật vậy:

14

Do J ÎD ( )x  nên   x J và   J x Theo định nghĩa , tồn tại p >sao cho  x³pJ và  J ³px Chọn rÎÅ sao cho < <r p Khi đó, D (r)J ÌD ( )x 

Thật vậy, lấy tùy ý zÎD (r)J , suy ra r  J z r-1J

CHỨNG MINH

Lấy xÎV,ÎÅ,>, coi D ( )f(x)  là lân cận của f(x) và D ( )x  là lân cận của x đối với topo đều Ta cần chứng minh f D ( )( x  )ÌD ( )f(x) 

Thật vậy, lấy yÎD ( )x  Khi đó,   x y và   y x

Theo định nghĩa , tồn tại rÎÅ sao cho  < <r  thỏa mãn  x³ry

và  y³rx

Từ đó, kết hợp giả thiết ta có:

•  r- 1 f(x)³f( r- 1x)³f(y) nên  f(x)³rf(y)

15

•  r- 1 f(y)³f( r- 1 y)³f(x) nên  f(y)³rf(x)

Suy ra,  f(x) f(y) và  f(y) f(x) hay f(y) D ( )Î f(x) 

Dẫn đến f liên tục tại x tùy ý thuộc V nên f liên tục đối với topo đều trên V



M ỆNH ĐỀ 2.2.2

Cho V là Å-không gian topo Khi đó:

a) Mỗi tập con mở của V (đối với topo thông thường) là tập mở đối với topo đều

b) Không gian V là Å -không gian topo với topo đều

CHỨNG MINH

Ta có Å -topo yếu là o -lồi và ánh xạ r  r J liên tục từ Å vào V đối với

Å -topo yếu Ta chỉ cần chứng minh các nửa khoảng (., ],[ ,.)J J là đóng đối với Å -topo yếu

Thật vậy, lấy x thuộc bao đóng của (., ]J đối với Å -topo yếu

Khi đó, x(x)£ x J( ) với mọi x ÎV * do tính chất tuyến tính của x ÎV * nên suy ra x J Å( x)= x J( ) Mà V là Å -không gian topo chýnh quy nên

x

J Å = J

Dẫn đến x £ J hay x (., ]Î J Do đó, (., ]J là đóng đối với Å -topo yếu

Tương tự ta cũng có [ ,.)J là đóng đối với Å -topo yếu



2.3 Tập lồi trong Å -không gian topo

2.3.1 Tập Å - lồi

Tập lồi là một khái niệm quan trọng trong Toán học, nó có nhiều ứng dụng trong

Giải tích, Hình học,… Khái niệm này được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Bây giờ ta sẽ xét tính lồi trong không gian lũy đẳng

Å  được gọi là Å -tổ hợp tuyến tính của tất cả các phần

tử của X Tập X ÌV được gọi là tập Å - lồi nếu X chứa mọi Å - tổ hợp tuyến tính của các phần tử của các tập con hữu hạn của X

Tập X ÌV được gọi là tập a - lồi nếu với mọi ánh xạ p : X ® K thỏa mãn

® íïïî = m Khi đó p(x)Åp(y)= , từ đó do X

là tập Å -lồi nên lxÅ my=p(x)xÅp(y)yÎX

Ngược lại, giả sử (*) thỏa mãn

Ta chứng minh X là tập Å -lồi, tức chứng minh với Ak ={x , , x1 k}ÌX,

Giả sử X là tập con của tập sắp thứ tự (S, )£ , ta ký hiệu chặn trên nhỏ nhất của X

là ÚX hay ÅX, chặn dưới lớn nhất của X là ÙX Khi ÚXthuộc X ta nói ÚX là phần tử lớn nhất của X, ký hiệu lại là max X, khi ÙX thuộc X ta nói ÙX là phần tử nhỏ của X, ký hiệu lại là min X

19

Tập sắp thứ tự đầy đủ Một tập sắp thứ tự (S, )£ được gọi là đầy đủ nếu mọi tập con X của S đều có chặn trên nhỏ nhất ÚX

Đặc biệt, S có phần tử lớn nhất là max S= ÚS và phần tử nhỏ nhất là min S = ÚÆ

Ánh xạ dư Cho (S, )£ , (T, )£ là các tập sắp thứ tự Khi đó, ánh xạ f : S® Tđược gọi là ánh xạ dư nếu tồn tại ánh xạ f : T+ ®S sao cho

f(s)£ Û £t s f (t)+ " Î " Îs S t T

Có nghĩa là với mọi t TÎ , tập {s S : f(s)Î £t} có phần tử lớn nhất là f (t)+

Hay f (t)+ = max s S : f(s){ Î £t} " Ît T

f( U)Ú = Úf(U) " ÌU S

Ở đây, f(U)={f(x) : xÎU}

Đặc biệt, khi U = Æ ta có f(ÚÆ = ÚÆ)

[dÞa]: Giả sử d) xảy ra Khi đó f+  f f+ = =f f I S nên f+ f =IS

(3) là kết quả đối ngẫu của (2) 

ĐỊNH LÝ 2.3.2

Cho (S, )£ , (T, )£ , (W, )£ là các tập sắp thứ tự và f : S® T, g : T ® W là các ánh xạ dư Khi đó g f là ánh xạ dư và (g f) + =f+ g+

Nửa modun lũy đẳng đầy đủ Nửa modun lũy đẳng V trên nửa vành lũy đẳng K

được gọi là đầy đủ (V, )£ và với J ÎV,l ÎK thì L : VVl ® V, x lx và

Khi đó (K , , )I Å  được gọi là nửa modun lũy đẳng đầy đủ tự do

Trong nửa modun lũy đẳng đầy đủ V, ta định nghĩa:

V x V

y \ x : (R ) (y) max K : x y/ x : (L ) (x) max y V : y x

+ + l

Với mọi x, yÎ V và với mọi l ÎK

Theo định nghĩa của ánh xạ dư ta có:

Trong đó, x \ U ={x \ u : uÎU},

U \ x ={u \ x : uÎU},

l/ U= l{ / u : uÎU},

G/ x= g{ / x : g Î G}

Nửa modun lũy đẳng đối Giả sử V là nửa modun lũy đẳng trên nửa vành lũy

đẳng K, ta định nghĩa nửa modun lũy đẳng đối của V, ký hiệu Vop, là nửa modun lũy đẳng với phép “cộng” ÅV op : (x, y) x yÙ và phép “nhân”