Chøng minh r»ng gãc gi÷a AC vµ IJ kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña I vµ J... T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn víi α vµ tÝnh diÖn tÝch cña thiÕt diÖn nµy.[r]
Trang 1GIA SƯ
‘‘Thắp sỏng ngọn lửa thành cụng’’
• Chuyờn luyện thi ðại Học
Khối A - B
• Nhận dạy kốm tất cả cỏc lớp 22A - Phạm Ngọc Thạch – TP.Quy Nhơn
Liờn hệ : Thầy Khỏnh – 0975.120.189
VECT TRONG KHễNG GIAN
QUAN H VUễNG GểC
I - VECT TRONG KHễNG GIAN
Bài 1
Bài 1: Cho hai đường thẳng d, d’ cắt ba mặt phẳng song song (α) , (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’ Với điểm O bất kỳ trong không gian, đặt OI=AA'; OJ=BB'; OK=CC'
Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng
Bài 2
Bài 2: Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho
AM= AB; BN= BC; AQ= AD; DP=kDC
Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng
Bài 3
Bài 3: Cho hình chap S.ABCD có đáy là hình bình hành Một mặt phẳng (P) bất kỳ không đi qua S cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A’, B’, C’, D’
Chứng minh rằng : SA +SC=SB+SD
SA' SC' SB' SD' Bài 4
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho MA mAB=
Tìm
điểm N trên đường thẳng B’C và điểm P trên đường thẳng A’C’ sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng
(m≠0)
Bài 5
Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB’A’
M là một điểm trên OB’ Mặt phẳng (MD’C) cắt BC’ ở I và DA’ ở J Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng hàng
Bài 6
Bài 6: Cho tứ diện ABCD Gọi B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD, ADB và ABC Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác BCD và B’C’D’ Chứng minh ba điểm A, G’, G thẳng hàng
Bài
Bài 7777: Trong không gian cho hai hình bình hành bất kỳ A B C D1 1 1 1 và A B C D2 2 2 2 Trên các đoạn
A A ; B B ; C C ; D D lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho : 1 1 1 1
AA BB CC DD
= = =
AA BB CC DD =k Chứng minh rằng ABCD cũng là một hình bình hành
Bài 8
Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi E, F lần lượt là những điểm nằm trên các đường chéo CA’ và AB’ của các mặt bên sao cho EF//BC’ Tìm tỷ số
'
EF
BC , xác định vị trí của E và F
Trang 2Bài 9
Bài 9: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Ba điểm M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ sao cho AM=B'N=C'P=3
AA' BB' CC' 4 Hai điểm E, F lần lượt nằm trên các đoạn thẳng CM, A’N sao cho EF//B’P Tìm tỷ số
1
EF
B P
Bài 10
Bài 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng
AC và điểm N duy nhất thuộc DC’ sap cho MN//BD’ Tính tỷ số
'
MN BD
Bài 11
Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB’ Chứng minh rằng MN vuông góc với A’C
Bài 12
Bài 12: Trên các đường chéo D’A, A’B, B’C, C’D của các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho D'M=BN =B'P=DQ=λ
D'A B'C Biết MN ⊥PQ Tính λ Bài 13
Bài 13: Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD Chứng minh rằng :
AB +BC +CD +DA =AC +BD +4PQ
Bài 14
Bài 14: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD,
AB +CD +AC +BD +BC +AD =4(IJ +HK +EF )
II - HAI NG THNG VUễNG GểC
Bài 1
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi , cạnh bên SA=AB và SA vuông góc với BC
a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC
b) Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc Sb và SD sao cho IJ//BD Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J
Bài
Bài 2222: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, góc BAD bằng 0
60 , 0 BAA'=DAA'=120 1) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D
2) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’
3) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường AB, AD và AA’
Bài 3
Bài 3: Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau
1) Chứng minh rằng AD vuông góc với CB
2) Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho
MA=kMB ; ND=k NB
Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC
Bài 4
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có BC AD a, AC BD b, AB CD c= = = = = = Đặt α là góc giữa BC và AD, β
là góc giữa AC và BD, γ là góc giữa AB và CD Chứng minh rằng trong ba số hạng
a cosα ; b cosβ ; c cosγ có một số hạng bằng tổng của ba số hạng còn lại
B
Bài 5ài 5ài 5: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AC, AD sao cho
IB=kIC ; JA=kJC ; KA=kKD
, trong đó k là số dương cho trước Chứng minh rằng
1) MN⊥IJ ; MN⊥JK 2) AB⊥CD
III - NG THNG VUễNG GểC VI MT PHNG
Bài 1
Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và SA = SC, SB = SD Gọi O là giao điểm của
AC và BD
1) Chứng minh rằng SO⊥(ABCD)
2) Gọi d là giao tuyến của (SAB) và (SCD), d’ là giao tuyến của (SBC) và (SAD) Chứng minh
( , ')
SO ⊥ d d
Trang 3Bài 2
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A xuống SB, SC Chứng minh rằng
1) BC⊥(SAB) 2) AB'⊥(SBC) 3) Tứ giác BCC’B’ nội tiếp
Bài 3
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều có
2
SC =a Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD
1) Chứng minh rằng : SH⊥(ABCD)
2) Chứng minh rằng AC SK ; CK⊥ ⊥SD
Bài 4
Bài 4: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC)
1) Chứng minh rằng BC⊥(OHA) ; CA⊥(OBH) ; AB⊥(OCH)
2) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC
3) Chứng minh rằng 1 2= 12 + 12 + 12
OH OA OB OC 4) Chứng minh rằng các góc của tam giác ABC đều nhọn
Bài 5
Bài 5: Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông cạnh bằng a Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
1) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI⊥(SCD) ; SJ⊥(SAB)
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ Chứng minh rằng SH ⊥AC
3) Tính độ dài SH
4) Gọi M là một điểm thuộc CD sao cho BM ⊥SA Tính độ dài AM theo a
Bài 6
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), ∆ABC vuông tại A
1) Chứng minh ACS là tam giác vuông
2) Tính SA, SB, SC biết rằng các góc ACB=α ; ACS=β ; BC=a
Bài 7
Bài 7: Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi α là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC Tìm thiết diện của tứ diện với α và tính diện tích của thiết diện này
Bà
Bài 8i 8i 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a,
SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M là một điểm trên cạnh AB, α là mặt phẳng qua
M vuông góc với AB Đặt x = AM với 0 < x < a
1) Tìm thiết diện của hình chóp với α Thiết diện là hình gì ?
2) Tìm diện tích của thiết diện theo a và x
IV - HAI MT PHNG VUễNG GểC
Bài 1
Bài 1: Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD)
1) Chứng minh : (SAB)⊥(SAD) ; (SAB)⊥(SBC)
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
3) Gọi H và I lần lượt là trung điểm của AB và BC Cmr : (SHC)⊥(SID)
Bài 2
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng (BDC) Vẽ đường cao BE, DF của tam giác BCD và đường cao DK của tam giác ACD
1) Chứng minh AB⊥(BCD)
2) Chứng minh (ABE)⊥(ADC) ; (DFK)⊥(ADC)
3) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của tam giác BCD và ACD Cmr OH ⊥(ACD)
Bài 3
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O AB = a, BC = 2a Lấy điểm S trong không gian sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đặt SO = h Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD
1) Tính góc giữa mp(SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tìm hệ thức liên hệ giữa a và h để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB), (SCD)
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Bài 4
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a Tính
1) Các góc giữa các mặt phẳng chứa các cạnh bên và mặt đáy của hình chóp
Trang 42) Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai cạnh bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp Bài 5
Bài 5: Trong mặt phăngt (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a Gọi E, F lần lượt là trung
điểm của AD và BC Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P) vẽ nửa đường tròn đường kính EF Gọi S là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn đó
1) Chứng minh (SEF)⊥(SAD) ; (SEF)⊥(SBC) ; (SAD)⊥(SBC)
2) Gọi H’, K’ lần lượt là hình chiếu của các trực tâm H, K của các tam giác SAD và SBC xuống (P) Chứng minh HH’.KK’ không phụ thuộc vào vị trí của điểm S
Bài 6
Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a
1) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC’ và A’B
2) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC và DD’ Cmr: AC'⊥(MNP)
Bài 7
Bài 7: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh bằng a.GọiC1là trung điểm của CC’
1) Tính góc giữa hai đường thẳng BC1 và A’B’ Tính góc giữa hai mặt phẳng (BC A1 ) và ( ABC )
2) Chứng minh hình chóp C ABB A1 ' ' là hình chóp tứ giác đều
3) Một mặt phẳng (P) chứa cạnh AB tạo với mặt đáy (ABC) góc ϕ và cắt hình lăng trụ đã cho theo hình có diện tích khác 0 Tính diện tích thiết diện đó theo a và ϕ
Bài 8
Bài 8: Trên các cạnh Ox, Oy, Oz của tam diện vuông Oxyz lấy các điểm A, B, C sao cho OA = a, OB =
b, OC = c Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC
1) Chứng minh tam giác ABC nhọn
2) Tính OH, OG và diện tích tam giác ABC theo a, b, c
3) Chứng minh S2ABC=SOAB2 +SOBC2 +S2OCA
4) Gọi α ; β ; γ là góc tạo bởi OH với OA, OB, OC Chứng minh : 2 2 2
cos α + cos β +cos γ=1