Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Kettavong Chinnalone BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018... Ý nghĩa của luận văn Luận văn là tài liệu

Kettavong Chinnalone

BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

Kettavong Chinnalone

BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của tôi được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Anh Tuấn

Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu

từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018

Học viên thực hiện

KETTAVONG Chinnalone

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Mặc dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian để hướng dẫn tôi hoàn thành bài luận này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy trong khoa Toán – Tin

và cán bộ nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và làm luận văn tại trường

Và cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các anh chị em, bạn bè gần xa và người thân trong gia đình đã luôn khuyến khích, động viên giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

KETTAVONG Chinnalone

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Các ký hiệu

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 3

1.2 Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy 12

1.3 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 13

1.4 Một liên hệ giữa ổn định và xấp xỉ 18

Chương 2 BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 26

2.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát 26

2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát 40

Chương 3 BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 46

3.1 Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (3.1), (3.2) 46

3.2 Các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2) 51

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

tập con compắc của I

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết bài toán biên xuất hiện từ thế kỷ XVIII nhưng đến nay vẫn phát triển mạnh mẽ do có các ứng dụng sâu sắc trong vật lý, cơ học, cơ khí, sinh học Bài toán trên cho hệ phương trình vi phân tuyến tính vào các điều kiện biên khác nhau như tuần hoàn, đối xứng, phản đối xứng, nhiều điểm cũng đã được xem xét Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có rất nhiều ứng dụng trong vật lý và cơ học Chính vì thế tôi chọn đề tài “bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính”

2 Ý nghĩa của luận văn

Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học khi nghiên cứu về bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính

3 Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

4 Nội dung của luận văn

Chương1: Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, ta xây dụng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính và nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này

Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Trong chương này, chúng ta xây dựng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, ta còn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này

Chương 3: Bài toán biên hai đìểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Mục đích chính của chương 3 là áp dụng các kết quả của chương 1 và chương 2 để xây dựng các điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm cho bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Ngoài ra, chúng ta cũng nghiên cứu một số tính chất đại số cho nghiệm của bài toán biên hai điểm khi bài toán biên thuần nhất tương ứng có nghiệm khác tầm thường.

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Giả sử p,q L  loc  I, R , t0 I,C0 Rvà hàm số xCloc I, R hầu khắp nơi

trên I thỏa bất đẳng thức:

x t C  p τ x τ q τ dτ , t I.   (1.6) Khi đó   t I ta có:

Xem chứng minh trong [1]

Định lý 1.1

P  L I, R  , q  L I, Rn , t  I, C  R thì bài toán Cauchy (1.1),

(1.2) có nghiệm và nghiệm đó là duy nhất

Chứng minh

Trước hết ta nhận thấy x(t) là nghiệm của (1.1), (1.2)

     

dx(t) P t x t q t ,

x t C P τ x τ q τ dτ , t I.   (1.8) Phương trình (1.8) là phương trình tích phân dạng Volter

 Ta chứng minh tồn tại nghiệm của (1.8) bằng xấp xỉ Picard

Xét dãy vectơ hàm xk t k 1 xác định như sau:

Dễ thấy

 n

k loc

x  C I, R , k   N.

Ta chứng minh rằng dãy xk t k 1

 là hội tụ đều trên I bằng cách chứng minh rằng chuỗi:

Vậy nếu k    1,2 thì          

0 t

0 t

hội tụ đều trên I về hàm C0  ξ t expξ t 0   

Nên theo dấu hiệu Weirstrass chuỗi (1.10) hội tụ đều về hàm x(t) trên I

C P τ x t q τ dτ , t I.

Vậy x(t) – nghiệm của (1.8) và do đó nó là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)

 Ta chứng minh bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất

Giả sử x(t), y(t) – nghiệm của (1.1), (1.2) Theo (1.8) ta có:

   

x t  y t , t   I.

Định lý đã được chứng minh

Xét hệ phương trình tuyến tính :

     

dx( ) P t x t q t

(1.15) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất của (1.1)

Ta biết tập các nghiệm của hệ (1.15) làm thành một không gian vectơ

   

0

k t

m

1 m

t k

Vậy X(t) là ma trận cơ bản của hệ (1.15)

tdet X t det X t exp tr P s ds 

Chứng minh

 Tồn tại là hiển nhiên

 Ta chứng minh tính duy nhất:

Giả sử C t, τ   – ma trận Cauchy của hệ (1.15)

Giả sử X t0 – ma trận cơ bản tùy ý của hệ (1.15)

Do với mỗi τ  I, C t, τ – ma trận cơ bản nên C t, τ  X t C τ 0  0 

Định lý 1.5

Với t0I, mọi nghiệm của hệ (1.15) có dạng:

   0  0

x t  C t, t x t (1.25) với C t, τ  – ma trận Cauchy của (1.15)

Hệ quả 1.2

P  R  thì ma trận Cauchy của hệ phương trình vi phân

dxP.x

có dạng:

     

C t, τ exp P t τ  (1.30)

1.2 Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy

Xét bài toán Cauchy:

x t   X t y t     X t y t   

 P t X t y t      X t y t     (1.32) Thay vào (1.1) ta có:

       

x t   P t x t  q t  P t X t y t      q t 

 t0 C0.

Định nghĩa 1.2

Bài toán (1.1), (1.2) được gọi là xấp xỉ được nếu với mỗi ε 0 (đủ bé), ξ 0

(đủ lớn) đều tồn tại δ 0 sao cho:

ρ   P s ds. (1.43) Khi đó:

thỏa các điều kiện (1.38), (1.39), (1.40)

Giả sử y(t) là nghiệm của bài toán (1.36), (1.37) và

  C  

I2δ x t x s ds 

Nếu ta định nghĩa khái niệm hệ xấp xỉ được theo nghĩa sau:

Bài toán (1.1), (1.2) gọi là xấp xỉ được nếu:







t t k k

1.4 Một liên hệ giữa ổn định và xấp xỉ

t + t

Giả sử t0R ,C+ 0R+, x(t) là nghiệm của bài toán

Do P là ổn định tiệm cận lũy thừa nên ta có

i Nghiệm x(t) thỏa điều kiện

Chứng minh

Giả sử x(t) là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)

Do P là ổn định đều nên tồn tại số  0 0 sao cho

Chương 2 BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

2.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát

Cho I = [a, b], xét hệ phương trình vi phân

x(t) C(I, R )  thỏa (2.1) hầu khắp nơi trên I

Bài toán đặt ra: Tìm nghiệm x(t) của hệ (2.1) thỏa điều kiện biên

Trường hợp riêng của bài toán (2.1), (2.2) là:

 Bài toán Cauchy:

Cùng với hệ (2.1), (2.2) ta có bài toán thuần nhất

G : I R  gọi là ma trận Green của bài toán 2.1 , 2.2 0  0 nếu:

1 Với mỗi a, b, các cột của ma trận G ,   là nghiệm của bài toán

2.1 0trên các khoảng [a, ),( ,b]  và G  ,  G  ,  E.

Bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán 2.1 , 0

2.2 0 chỉ có nghiệm tầm thường Khi đó nghiệm của (2.1), (2.2) có dạng:

Mặt khác điều kiện (2.7) tương đương với điều kiện bài toán 2.1 , 2.2 0  0

chỉ có nghiệm tầm thường Vậy bài toán    2.1 , 2.2 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán 2.1 , 2.2 0  0 chỉ có nghiệm tầm thường

Nếu bài toán 2.1 , 2.2 0  0 chỉ có nghiệm tầm thường thì det  Y  0 khi

thì x 0 t là nghiệm của 2.1 0 thoả điều kiện (2.2)

 b

Điều kiện cần và đủ để bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất là tồn tại các

số tự nhiên k và m sao cho ma trận

Chứng minh

Điều kiện đủ:

Giả sử các điều kiện (2.16), (2.17) được thực hiện Ta chứng minh bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất

Trước hết ta xây dựng các dãy toán tử

E  M k,m xC  0.

Do

k , mr(M ) 1

Điều kiện cần:

Giả sử bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm Ta chứng minh tồn tại các số tự nhiên k, m sao cho (2.15), (2.16) đúng

Trước hết ta lưu ý

a

P(τ) dτ P(t)

a 3

a j

Gọi Y là ma trận cơ bản của (2.10), (2.20) thỏa Y a  E.

Do bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất nên

Suy ra Y tk   hội tụ đều trên I Do đó Y tk   hội tụ đều trên I tới X(t)

 

Do đó tồn tại k, m đủ lớn sao cho r(Mk , m) 1

Định lý đã được chứng minh

Chú ý:

Nếu cho f t  L I, R  thì ta có

k t

t

a

k 0 a

f (τ) dτexp f(τ) dτ

t

a

k 0 a

với M , Mk k, 1 như trong định lý 2.2

Theo (2.25) hoặc (2.26), (2.27) thì det Mk 0.

Để chứng minh bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm ta chỉ cần chứng minh bài toán (2.10), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Ta có điều phải chứng minh

2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát

Cùng với bài toán (2.1), (2.2) ta xét các bài toán sau

Định nghĩa 2.2 Bài toán (2.1), (2.2) gọi là xấp xỉ được nếu nó có nghiệm

Nếu bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất thì nó là xấp xỉ được

Trước khi chứng minh định lý 2.4 ta cần bổ đề sau

Gọi Y là ma trận cơ bản của (2.10), (2.20) thỏa Y a  E.

Do bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất nên theo (2.7) ta có

Với mỗi số tự nhiên k, gọi Yk là ma trận cơ bản của hệ

thỏa điều kiện biên Y a k  E.

Khi đó theo định lý 1.10 ta có:

Chương 3 BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

A , A gọi là các ma trận điều kiện biên của bài toán đã cho

Trong mục 3.1 chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính giải được của bài toán (3.1), (3.2) Trong mục 3.2 ta xét trường hợp khi điều kiện duy nhất của (3.1), (3.2) không còn và đưa ra một số tính chất đại số của bài toán này

3.1 Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (3.1), (3.2)

Cùng với bài toán (3.1), (3.2) ta xét bài toán thuần nhất tương ứng:

Trong đó Y là ma trận cơ bản của hệ  3.10 Nếu điều kiện (3.3) được thoả mãn thì nghiệm duy nhất của bài toán (3.1), (3.2) cho bởi công thức Green:

A là ma trận chuyển vị của A Với H là ma

Khi đó nếu (3.9) (hoặc (3.10)) xảy ra, ta nhận được u(b) u(b) (hoặc u(b) u(b) ) (mẫu thuẫn) Do đó ta có điều phải chứng minh

3.2 Các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2)

Cùng với hệ (3.1), (3.2) ta xét hệ thuần nhất sau:

và P là ma trận đối ngẫu của P và B ,B1 2 Rn n .

Hệ (3.12) gọi là hệ đối ngẫu của hệ  3.10

Định nghĩa 3.1

Giả sử rank A ,A  1 2  n Điều kiện biên (3.13) gọi là đối ngẫu với điều kiện  3.20 nếu rank B ,B  1 2  n và A B1 1* A B 2 *2 (3.14)

Bổ đề 3.1

 3.10 Khi đó tồn tại ma trận chính qui n n

Do (3.14), (3.18) nên các cột của ma trận sau:

* 1

* 2

B D

02

B D

x , y  C I, R thỏa các điều kiện biên  3.20và (3.13)

Theo bổ đề 3.1 thì (3.15) đúng và từ (3.13) kéo theo (3.16)

M  R  sao cho đẳng thức (3.15) được thoả mãn

Giả sử Y là ma trận cơ bản của hệ  3.10 Khi đó Y1 là ma trận cơ bản của hệ (3.12) Vì vậy mỗi nghiệm của hệ (3.12), (3.13) có dạng

* 2

.0

cc

i.) Bài toán     3.1 , 3.20 0 và (3.12), (3.13) có số nghiệm độc lập tuyến tính

là như nhau

ii.) Bài toán     3.1 , 3.2 là giải được khi và chỉ khi mọi nghiệm y  y t  

của (3.12), (3.13) thỏa đẳng thức:

iii.) Nếu x0 là một nghiệm của bài toán     3.1 , 3.2 và x , x , , x1 2 m là cơ sở

nghiệm của bài toán    3.1 , 3.20 0 , khi đó mọi nghiệm của    3.1 , 3.2

- Từ bổ đề 3.3 ta có ngay i.)

- Chứng minh ii.)

với n  

cR , Y t là ma trận cơ bản của 3.20

Khi đó bài toán (3.33), (3.34) có nghiệm khi và chỉ khi hệ phương trình

tuyến tính sau có nghiệm

Tương tự chúng ta chỉ ra được bài toán (3.33), (3.34) giải được khi và chỉ

khi cho khác nghiệm y của (3.12), (3.13) theo (3.31) là điều phải chứng minh

KẾT LUẬN

Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng các điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Nội dung luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Nội dung chương này chủ yếu xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính và nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này Định lý 1.1 khẳng định bài toán Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất và nghiệm này được cho bởi công thức Cauchy (1.35) và được trình bày ở Định lý 1.7 Định lý 1.8 đưa ra điều kiện để bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ được

Chương 2: Trong chương này, chúng ta xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát cho phương trình vi phân tuyết tính Hơn nữa, chúng ta xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho bài toán này Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) được nói ở Định lý 2.1 Định lý 2.4 đưa ra điều kiện để bài toán (2.1), (2.2) xấp xỉ được

Chương 3: Trên cơ sở các kết quả của Chương 1 và Chương 2

điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính (3.1), (3.2)

Các kết quả chính của chương là các định lý 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 Trong phần cuối của chương chúng ta xem xét các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2) khi bài toán thuần nhất  3.1 , 3.20  0 có nghiệm không tầm thường Các kết quả chính của phần này là định lý 3.5

Từ những vấn đề mà luận văn nêu như trên, một cách tự nhiên ta thấy rằng các kết quả đã trình bày trong luận văn có còn đúng hay không cho bài toán biên nhiều điểm hay các bài toán biên dạng tuần hoàn, cũng như các kết quả trên có còn đúng hay không đối với bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân