Tuy nhiên khi ra các đề toán loại này cũng cần lưu ý tới tính thực tế: Bởi không phải bao giờ tăng số người làm thì thời gian thực hiện công việc sẽ nhanh hơn.. Chẳng hạn để đào một cái [r]
Trang 1MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG TOÁN THỰC TẾ TIỂU HỌC
Nếu toán chuyển động đều xoay quanh quan hệ giữa 3 đại lượng: s - quãng đường,
t – thời gian đi, v – vận tốc với hệ thức cơ bản: s = v × t thì toán công việc cũng xoay quanh quan hệ giữa 3 đại lượng: S – số sản phẩm, t – thời gian, N – năng suất (số sản phẩm làm được trong một đơn vị thời gian) với hệ thức cơ bản: S = N × t
Cả hai dạng toán, nếu biết 2 đại lượng thì chúng ta tính được đại lượng còn lại
Đặc biệt, vai trò của s tương tự S và của v tương tự N
Bài viết này sẽ cho thấy sự tương tự giữa 2 dạng toán và chỉ ra cách tư duy khi chuyển từ toán chuyển động đều sang toán về công việc Dạy toán và học toán có sự phân tích mối liên hệ giữa các dạng toán là một cách làm cho học sinh hứng thú hơn và nắm vững kiến thức hơn, đồng thời đó cũng là con đường chúng ta phát triển tư duy cho học sinh
Phần cuối, cũng là một bất ngờ khi chúng ta lại tìm thêm mối liên quan của 2 dạng toán trên với một dạng toán thực tế khác
1 Các bài toán cơ bản
+ Tính năng suất
Nếu biết số sản phẩm làm được S trong thời gian t thì năng suất N = S : t
+ Tính số sản phẩm
Nếu biết năng suất N và thời gian làm là t thì số sản phẩm làm được S = N × t
+ Tính thời gian làm
Nếu biết năng suất N và số sản phẩm S thì thời gian làm t = S : N
Các bài toán này tương tự việc tìm vận tốc v, quãng đường s, thời gian t ở toán chuyển động đều
Thí dụ 1 Một người thợ làm từ 7h30 phút đến 12 giờ được 3 sản phẩm Với mức làm
như thế, để làm xong 16 sản phẩm thì người đó làm trong thời gian bao nhiêu giờ?
Trang 2Thời gian làm 3 sản phẩm là 12 giờ - 7 giờ 30 phút = 4 giờ 30 phút
Thời gian để làm 1 sản phẩm là: 4 giờ 30 phút : 3 = 1 giờ 30 phút
Vậy để làm xong 16 sản phẩm, người thợ phải làm với thời gian là:
1 giờ 30 phút × 16 = 24 giờ
Chú ý: Nhiều bài toán cho thêm giả thiết ngày làm việc 8 giờ để yêu cầu tính số ngày
công của người thợ Như bài toán trên người thợ làm 16 sản phẩm mất đúng 3 ngày công
Ở bài toán trên chúng ta đã đi tìm năng suất N của người thợ để từ đó tìm thời gian t mà người thợ làm xong S sản phẩm
Bài toán trên có dạng bài toán “tỷ lệ thuận” giữa số sản phẩm làm được với thời gian làm sản phẩm nên đã giải bằng phương pháp “rút về đơn vị” (tính thời gian làm 1 sản phẩm)
Ta có bài toán tương tự về chuyển động đều:
Thí dụ 1’ Một ô tô chạy từ 7giờ 30 phút đến 12 giờ được 300km Với vận tốc ấy, để
chạy 1600km thì ô tô phải chạy trong bao nhiêu giờ?
Thí dụ 2 Một người A làm 20 sản phẩm trong 21 giờ, còn người B làm 21 sản phẩm
trong 22 giờ Hỏi ai có năng suất cao hơn?
Chú ý: Trong cùng một đơn vị thời gian, ai làm nhiều sản phẩm hơn thì năng suất của
người đó cao hơn
Giải
Trong 1 giờ thì:
Người A làm được
Người B làm được
20 21 21 22 sản phẩm
sản phẩm
Trang 3Ta có 1 20 1 1 1 21
nên 20 21
21 22 tức là người B có năng suất cao hơn.
Chú ý: Để so sánh 2 phân số ở trên, ta đã đưa về so sánh “phần bù” của chúng với
1 (tức là so sánh các hiệu của 1 với các phân số đó) Nếu so sánh trực tiếp bằng cách đưa
về các phân số có cùng mẫu số hay tử số sẽ phức tạp hơn
Bài toán trên tương tự bài toán so sánh vận tốc của 2 chuyển động để xem chuyển động nào nhanh hơn
Thí dụ 2’ Một xe A chạy 20km trong 21 phút, còn xe B chậy 21km trong 22 phút.
Hỏi xe nào chạy nhanh hơn
2 Bài toán tăng/giảm năng suất của một đối tượng
Trong thực tế năng suất lao động thường thay đổi, đại lượng N phụ thuộc vào S và
t là tất nhiên về mặt toán học, tuy nhiên khi gắn với thực tế cần cho học sinh hiểu về năng suất lao động phụ thuộc các yếu tố thực tế nào?
Nếu đối tượng làm việc là con người thì có nhiều yếu tố ảnh hưởng tới năng suất lao động: sức khoẻ, thời tiết và điều kiện làm việc, tinh thần làm việc,…
Thí dụ 3 Bác An thường làm 20 sản phẩm trong 25 giờ Nhưng vừa qua bác bị đau nên
khi khỏi bệnh bác làm 20 sản phẩm phải mất 40 giờ
a) Một sản phẩm bác An làm lâu hơn bao nhiêu phút?
b) Năng suất của bác An trước khi đau gấp bao nhiêu phần trăm năng suất sau khi khỏi bệnh?
c) Năng suất của bác An đã giảm bao nhiêu phần trăm so với khi chưa đau?
Giải
a) Thời gian bác An làm 1 sản phẩm:
- Trước khi đau là: 25 : 20 = 1,25 (giờ)
- Sau khi khỏi bệnh là: 40 : 20 = 2 (giờ)
Trang 42 - 1,25 = 0,75 (giờ) = 45 phút.
b) Số sản phẩm bác An làm trong 1 giờ:
- Trước khi đau là: 20 : 25 = 0,8 (sản phẩm)
- Sau khi khỏi bệnh là: 20 : 40 = 0,5 (sản phẩm)
Do đó năng suất lao động của bác An trước khi đau so với sau khi khỏi bệnh sẽ gấp: 0,8 : 0,5 = 1,6 (lần) = 160 %
c) Năng suất sau khi khỏi bệnh so với trước khi đau là
0,5 : 0,8 = 0,625 (lần) = 62,5%
Do đó năng suất của bác An sau khi khỏi bệnh đã giảm:
100% - 62,5% = 37,5%
Chú ý: Khi làm toán so sánh năng suất lưu ý 2 thời điểm so sánh: thời điểm nào so sánh
với thời điểm nào? Sức khoẻ quyết định năng suất lao động
Thí dụ 3’ Một ô tô chạy trên đường cao tốc có thể chạy 200km trong 2,5 giờ nhưng khi
sang đường qua nhiều khu dân cư chỉ có thể chạy 200km với 4 giờ
a) Mỗi ki-lô-mét đường qua khu dân cư ô tô chạy lâu hơn báo nhiêu phút?
b) Tốc độ ô tô chạy trên đường cao tốc gấp bao nhiêu phần trăm so với chạy qua khu dân cư?
c) Khi đi qua khu dân cư, vận tốc ô tô giảm bao nhiêu phần trăm so với chạy trên
đường cao tốc?
3 Bài toán làm chung công việc
Ở đây ta xét những bài toán có nhiều đối tượng làm việc năng suất khác nhau khi làm cùng một công việc Khi làm chung thời gian làm công việc này sẽ nhanh hơn vì có nhiều người làm hơn Tuy nhiên khi ra các đề toán loại này cũng cần lưu ý tới tính thực tế: Bởi không phải bao giờ tăng số người làm thì thời gian thực hiện công việc sẽ nhanh hơn Chẳng hạn để đào một cái giếng, chưa hẳn tăng số người gấp nhiều lần thì giếng sẽ được đào nhanh hơn
Trang 5Thí dụ 4 Ba người cùng làm một công việc sẽ hoàn thành trong 2 giờ 40 phút Nếu một
mình người thứ nhất làm thì hết 8 giờ, một mình người thứ hai làm phải mất 12 giờ Hỏi người thứ ba làm một mình thì sẽ mất bao nhiêu giờ?
(Đề thi học sinh giỏi lớp 5, Thanh Hoá) Phân tích: Bài toán đưa về tính năng suất lao động của người thứ ba khi đã biết năng suất
lao động của 2 người khác, nghĩa là cần tìm phần công việc làm được của người thứ ba trong 1 giờ
Giải
Ta có: 2 giờ 40 phút = 2 giờ + 2 giờ = 8 giờ
Mỗi giờ cả ba người làm được: 1:83 83(công việc)
Mỗi giờ người thứ nhất làm được: 1: 8 1
(công việc)
8
Mỗi giờ người thứ hai làm được: 1:12 1 (công việc)
12
Mỗi giờ người thứ ba làm được: 3 1 1 1 (công việc)
Do đó nếu người thứ ba làm một mình thì để hoàn thành công việc sẽ làm trong thời gian: 1: 16
6
(giờ)
Thí dụ 4’ Ba người chạy tiếp sức trên quãng đường từ A tới B với vận tốc mỗi người
không đổi thì hết 2 giờ 40 phút Với vận tốc đó, người thứ nhất chạy từ A đến B mất 8 giờ, còn người thứ hai chạy hết 12 giờ Hỏi người thứ ba chạy từ A đến B hết bao nhiêu giờ?
Chú ý: Bài toán làm chung công việc còn có thể phát biểu dưới dạng bài toán tháo nước
Trang 6điều này cũng tương tự như năng suất lao động hay vận tốc chuyển động ta hay tạm coi là không thay đổi trong một khoảng thời gian nào đó
Thí dụ 4” Để tháo hết nước của một cái bể đựng đầy nước, người ta mở cả 3 vòi ở sát
đáy bể (kích thước 3 vòi chắc khác nhau) thì mất 2 giờ 40 phút Nếu chỉ mở vòi thứ nhất thì mất 8 giờ, chỉ mở vòi thứ hai thì mất 12 giờ Hỏi khi chỉ mở vòi thứ ba thì để tháo hết
bể nước sẽ mất bao nhiêu giờ?
Chú ý: Bài toán tháo nước ra cũng có khi được thay bởi bài toán bơm nước vào và lời
giải cũng tương tự Tuy nhiên bài toán bơm nước vào có thể thực tế hơn khi các máy bơm khác loại có công suất bơm khác nhau
Thí dụ 5 Người ta dùng 2 máy bơm để bơm nước vào một cái hồ cạn Nếu chỉ dùng máy
bơm thứ nhất thì mất 8 giờ còn nếu chỉ dùng máy bơm thứ hai thì phải mất 10 giờ Hỏi khi cùng mở cả 2 máy bơm thì sao bao nhiêu lâu hồ sẽ đầy nước?
Lưu ý: Khi thời gian nhiều hơn ta thường dùng “phải mất”, “phải hết” để nhấn mạnh.
Tương tự khi thời gian ít hơn để nhấn mạnh ta có thể dùng “chỉ mất”, “chỉ hết”
Các bạn tự giải thí dụ trên để ra kết quả là: 4 giờ 26 phút 40 giây nhé!
Các bạn cũng tự phát biểu thí dụ 5’ cho bài toán chuyển động đều
Với bài toán “tháo nước” và “bơm nước” có thể cho cả tình huống “bơm vào” và “chảy ra”
Thí dụ 6 Một cái bể chứa đầy sẽ được 100l nước Người ta tính cho một vòi nước chảy
vào bể thì chỉ sau 25 phút nước sẽ đầy bể Không ngờ phải mất 40 phút thì bể mới đầy Khi đó người ta mới phát hiện ra đáy bể có một lỗ thủng nên rò rỉ nước Hỏi khi bể đã đầy nước mà không phát hiện để bịt lỗ thủng này, bao lâu bể sẽ cạn hết nước?
Giải:
Mỗi phút vòi chảy được lượng nước vào bể là:
100 : 25 = 4 (l).
Trong 40 phút, vòi đã cho vào bể lượng nước là:
Trang 740 × 4 = 160 (l).
Như vậy lượng nước bị rò rỉ là:
160 – 100 = 60 (l).
Vậy 1 phút lỗ thủng đã làm rò rỉ lượng nước là:
60 : 40 = 1,5 (l).
Để nước trong bể chảy ra hết qua lỗ thủng chưa bịt lại thì thời gian sẽ là:
100 : 1,5 = 66 2(phút) = 66 phút 40 giây
3
Thí dụ 6’ Một chiếc ca nô dự định đi từ bến A đến bến B với khoảng cách 10km khi
nước sông không chảy sẽ hết 25 phút Nhưng thực tế, do ngược dòng nên ca nô phải đi mất 40 phút Hỏi một cụm bèo trôi từ B về A mất bao nhiêu lâu?
Chú ý: Đôi khi người ta dùng bèo trôi để nói đến chuyển động của dòng nước bởi bèo
không tự tạo ra vận tốc Trong thực tế thì bèo trôi cũng khá phức tạp và vận tốc dòng nước cũng không phải ở mọi khúc sông là như nhau
4 Bài toán về công việc còn giống dạng toán nào nữa?
Qua phần trên, các bạn đã thấy sự tương tự của bài toán công việc với bài toán chuyển động đều Vậy bây giờ các bạn thử nghĩ xem: Có dạng toán gắn thực tế nào cũng tương
tự với 2 dạng toán thực tế trên?
Câu trả lời là : Có! Đó chính là bài toán về mua bán các sản phẩm
Nói đến mua bán một sản phẩm ta sẽ nói đến số lượng sản phẩm (M), số tiền mua sản phẩm (Đ) và giá sản phẩm (G) Với viêch mua bán một sản phẩm ta cũng có 3 đại lượng quan hệ với nhau: M, Đ, G mà công thức liên hệ là: G = Đ : M
Bạn bắt đầu nhớ đến công thức: v = s : t phải không?
Hãy xem một thí dụ:
Trang 8Thí dụ 7 Một bạn có 100 000 đồng để mau hai loại vở mà giá của loại vở này đắt hơn
loại vở kia là 2 000 đồng Bạn ấy mua được 20 quyển vở loại này và 10 quyển vở loại kia Hỏi giá mỗi loại vở là bao nhiêu?
Phân tích: Bạn đã cảm giác ra sự liên hệ với 2 dạng toán mà ta đã phân tích ở trên chưa?
Đã có giả thiết so sánh giá của 2 loại vở cũng như so sánh vận tốc của 2 chuyển động và
so sánh năng suất làm việc của 2 đối tượng nào đó Ở đây một giả định được đặt ra, cũng
là phương pháp giải toán quen thuộc ở tiểu học: “Giá như…”
Đúng! Giá như bạn ấy mua 30 quyển cùng một loại thì sao? Tất nhiên nếu 30 quyển cùng loại đắt hơn thì bạn ấy thiếu tiền, còn mua 30 quyển cùng loại vở rẻ hơn thì bạn ấy sẽ thừa tiền
Bỗng nhiên lại nhớ đến phương pháp giải của bài toán dân gian quen thuộc: “Vừa gà, vừa chó, bó lại cho tròn, 36 con, 100 chân chẵn” Thế thì giữa bài toán dân gian này với bài toán mua vở ở thí dụ này cũng có mối liên hệ Bây giờ thì ta có thể giải được rồi
Giải
Nếu bạn mua 30 quyển vở cùng loại đắt tiền (“loại vở này”) thì bạn phải trả thêm:
2 000 × 10 = 20 000 (đồng)
Vậy giá của 30 quyển vở loại đắt tiền sẽ là:
( 100 000 + 20 000) : 30 = 4 000 (đồng)
Giá của loại vở kia là:
4 000 – 2 000 = 2 000 (đồng)
Ta phát biểu bài toán tương tự dạng chuyển động đều:
Thí dụ 7’ Một xe ô tô đi 20 phút với tốc độ này và 10 phút với tốc độ giảm đi 10km/giờ
thì đi được quãng đường dài 30km Hỏi ô tô đã chạy với những vận tốc nào?
Trang 9Lời kết của tác giả
Nét đẹp của toán học là đã khái quát hoá để cùng một mô hình toán học có thể giải quyết các bài toán khác nhau trong thực tế Dạy toán và học toán mà biết tìm ra mối liên hệ giữa các bài toán có tính thực tế chính là đã tư duy để nhìn ra sự khái quát của toán học Vấn đề trao đổi tạm dừng lại nhưng chắc chắn các bạn sẽ khám phá thêm được những dạng toán thực tế khác trong chương trình toán tiểu học có mối liên quan với nhau Câu gợi ý là: Có dạng toán thực tế nào cũng xuất hiện quan hệ giữa 3 đại lượng không?
Chúc các bạn thành công trong dạy và học toán!
Bạn tự giải các bài toán sau:
Bài 1 Một người mua 3 cái bàn và 5 cái ghế phải trả 1 414 000 đồng Giá 1 cái bàn đắt
hơn giá 1 cái ghế là 226 000 đồng Hỏi giá của 1 cái bàn và giá của 1 cái ghế là bao nhiêu?
(Đề thi học sinh giỏi lớp 5 TP Hồ Chí Minh).
ĐS: 92 000 đồng; 318 000 đồng.
Bài 2 Mỗi ngày làm việc (8 giờ), người thợ thứ nhất làm được 8 sản phẩm, người thợ thứ
hai làm được 12 sản phẩm Người ta yêu cầu cả hai người cùng làm trong
10 ngày để có đủ sản phẩm giao cho khách hàng Nhưng người thợ thứ nhất chỉ làm trong 7,5 ngày thì bị ốm nên chỉ còn người thứ hai làm tiếp Hỏi phải giao hàng chậm lại bao nhiêu giờ?
ĐS: 16 giờ 40 phút.
Bài 3 Người ta tính: Nếu người thợ cắt cỏ trong 3 ngày thì các chú bò sẽ ăn được trong 5
ngày Kho vừa hết cỏ thì người thợ định đi du lịch trong 4 ngày thì phải cắt trong bao nhiêu ngày để các chú bò vẫn đủ cỏ ăn bình thường?
ĐS: 6 ngày.
Trang 10Bài 4 Nếu dùng 2 vòi bơm cùng bơm nước vào bể thì mất 30 phút nước sẽ đầy bể Mỗi
phút vòi này bơm nhiều hơn vòi kia 3l nước Nếu chỉ dùng vòi yếu bơm vào bể thì phải
mất 80 phút Bạn có biết bể chứa đầy thì được bao nhiêu lít nước không?
ĐS: 360l
Bài 5 Cô giáo mua vở và bút để làm phần thưởng cho học sinh Nếu chỉ mua bút thì
được 40 cái, chỉ mua vở thì được 60 quyển Cuối cùng cô mua 30 cái bút và 30 quyển vở
để tặng cho 30 học sinh thì thiếu 30 000 đồng Bạn có biết giá của bút, của vở không?
ĐS: 3 000 đồng; 2 000 đồng.
Bài 6 Vận tốc ô tô bằng 2,5 lần vận tốc xe đạp Ô tô và xe đạp gặp nhau sau 1 giờ
ô tô chạy Hỏi xe đạp đi trước ô tô bao nhiêu phút? Biết rằng ô tô và xe đạp xuất phát từ cùng một địa điểm
ĐS: 90 phút.
Tham khảo toàn bộ tài liệu từ lớp 1 đến lớp 5:https://vndoc.com/hoc-tap