Gioi han nguyen phu khanh

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Câu 1.. Lời giải trắc nghiệm.. Lời giải trắc nghiệm.. Lời giải trắc nghiệm... Ta có -Vì theo giả thiết dãy số có giới hạn hữu hạn khác 0 nên bậ

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC

Câu 1 Cho dãy số ( )u n với 4 2 2 2

5

n

u an

+ +

=

+ Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2, giá trị của a là

2

4

5

n

a

n

+ + + +

Chọn D Lời giải trắc nghiệm Nhận thấy bậc tử = bậc mẫu nên 2 4 22 2 4 22 4 2

5

a a

+ +

+

Câu 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để ( )

4

L

A aÎ - ¥( ;0] [È +¥1; ) B aÎ (0;1 )

C aÎ - ¥( ;0) (È 1;+¥ ) D aÎ [ )0;1

4

5 3

0

L

a a

Chọn C Lời giải trắc nghiệm Nhận thấy bậc tử = bậc mẫu nên ( ) ( ) ( )

1

a

Câu 3 Biết rằng lim 2 1 2

n

- Khẳng định nào sau đây là đúng?

A aÎ - ¥ -( ; 1 ) B aÎ -[ 1;1 ) C aÎ [ )1;2 D aÎ [2;+¥)

1

1

a

n

n

-Chọn D Lời giải trắc nghiệm Nhận thấy bậc tử = bậc mẫu nên 2 1 1

n

Lời giải CASIO Ta xem a X

n Y

ì = ïï

íï =

ïî Tại sao lại xem như vậy ? Vì n ¾¾®+¥ nên ta xem n Y= và lúc sau ta cho Y =100, còn a là tham số cần tìm nên gán bằng X

Nhập vào màn hình MTCT 2 1 2

Y

Tiếp đến bấm q và r thì màn hình hiện ra hỏi Y , ta cho Y =100, bấm = thì màn hình hiện hỏi X ta mặc kệ và tiếp tục bấm = thì nó cho ra kết quả

Điều đó chứng tỏ X =3 tức là a=3

Câu 4 Biết rằng

3

2

b

-=

- + Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải tự luận Ta có

3

2

2

5 7

a

n n

+

Chọn D Lời giải trắc nghiệm Nhận thấy bậc tử = bậc mẫu nên 3 32 5 2 7 3 32 3

3

Câu 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (- 10;10) để lim 5éêën- 3(a2- 2)n3ùúû=- ¥ ?

Lời giải tự luận Ta có ( 2 ) 3 3 ( 2 ) 3 ( 2 )

lim 5n 3a 2n limn 3a 2 lim limn 3a 2

3

2

lim 5

n

n

ìï = +¥

ïî

.

10;10

2

a a

a

a

Î

Î

-é >

ê

-<- ¾¾ ¾ ¾®

ê

Vậy có 16 giá trị của tham số a thỏa mãn

Chọn C DÃY SỐ DẠNG CĂN THỨC

Câu 6 Có bao nhiêu giá trị của tham số a để lim( n2+a n2 - n2+ +(a 2)n+ =1) 0

Lời giải tự luận Khi n ¾¾®+¥ thì n2+a n2 - n2+ +(a 2)n+1 có dạng ¥ - ¥. Do đó ta sẽ nhân lượng liên hợp

( )

2

2

2

2

1

1 1

n a a

+ +

2

a

a

é =-ê

Û - - = Û ê =ë

Chọn D.

Câu 7 Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số a thỏa mãn lim( n2- 8n n a- + 2)=0. Tổng các phần tử của

tập S bằng

Lời giải tự luận Khi n ¾¾®+¥ thì n2- 8n n a- + 2 có dạng ¥ - ¥. Do đó ta sẽ nhân lượng liên hợp.

2

8

8

2

1 1 8

a a

a

-

÷

çè ø

2

a a

a

é = ê

Û - = Û ê =-ë

Chọn B.

Câu 8 Tìm giá trị thực của tham số a để lim( n2+an+ -5 n2+ =-1) 1

Lời giải tự luận Khi n ¾¾®+¥ thì n2+an+ -5 n2+1 có dạng ¥ - ¥. Do đó ta sẽ nhân lượng liên hợp.

Ta có ( 2 2 )

4 4

2

a

a

+ +

Yêu cầu bài toán 1 2

2

=-Chọn B Lời giải CASIO Ta xem a X

n Y

ì = ïï

íï = ïî Nhập vào màn hình MTCT Y2+XY+ -5 Y2+ +1 1

Tiếp đến bấm q và r thì màn hình hiện ra hỏi Y , ta cho Y =100, bấm = thì màn hình hiện hỏi X ta mặc kệ và tiếp tục bấm = thì nó cho ra kết quả

Điều đó chứng tỏ X =- 2 tức là a=- 2

Câu 9 Biết rằng lim( an2+ + -n 1 n2+ -bn 2)=2 với a bÎ ¡, Tính P=ab

A P =- 3 B P =- 2 C P =2 D P =3

Lời giải tự luận Nhận thấy dạng ¥ - ¥. Do đó ta liên hợp Ta có

-Vì theo giả thiết dãy số có giới hạn hữu hạn khác 0 nên bậc tử = bậc mẫu Do đó ta phải khử đi hệ

số của bậc hai trên tử Û - = Ûa 1 0 a=1. Với a=1, ta có

3 1

1 1

b

b

+

1 1

-¾¾® = ¾¾®

3

a

P ab b

ì =

íï =-ïî

Chọn A.

DÃY SỐ DẠNG HÀM MŨ

Câu 10 Tính giới hạn lim 92 2 9

5

n

9

5

2

2

2

10

9

n

ê ç ÷÷ ú

ê ç ÷çè ø ú

÷

ê +çç ÷÷+ ú

Vì

2

2

10 lim

9

2 2

9

n

n n

-ìï æ ö

ï ç ÷= +¥

ï çè ø÷

ïï

ï çè ø÷

ïïî

Chọn D.

Câu 11 Biết rằng ( )

( )

lim

1

n n

n n

b n

+

+

với a b cÎ ¢, , Tính giá trị của biểu thức

S=a + +b c

Lời giải tự luận Ta có ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1

1

1 2

5

+

+

æ ö÷ æ ö÷

- ç ÷÷+ç ÷÷

2

3 2

n

n

+ +

-Suy ra ( )

( )

1

5

n n

a n

n

c

+

+

ì

Chọn C.

Lời giải trắc nghiệm Ta có

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1

5

1 1

+

+

-íï

ïï +

ï -ïî

:

:

Câu 12 Kết quả của giới hạn lim2 12 3 10

- + là

Lời giải CASIO Nhập vào màn hình MTCT 2 12 3 10

Tiếp đến bấm r thì màn hình hiện ra hỏi X , ta cho X =100 và bấm = thì màn hình hiện

Điều đó chứng tỏ giới hạn này là +¥

Chọn D Lời giải tự luận Áp dụng tính chất ''Nếu q>1 thì limq n ''

n = +¥ .

Ta có

2

2

2

n n

+

æ ö÷

Vì

2

2

2

lim 2

n

n

n n

+

ï ê ç ÷+ + ú= +¥

ïî

Lời giải tự luận được thực hiện bởi thầy NGUYỄN VĂN QUÝ – Bắc Ninh.

Nhận xét Bài toán này hoàn toàn dùng được MTCT như đã làm ở trên, mục đích của tác giả là hướng đến bạn đọc cách trình bày tự luận.

Ta có thể chứng minh trực tiếp 22n n

n

®+¥

¾¾ ¾®+¥ như sau:

0

3

6

n n

k

C C

=

2 2

2

6

n

n n

®+¥

Câu 13 Kết quả của giới hạn lim3 4.2 1 3

3.2 4

n

n

+

Lời giải CASIO Nhập vào màn hình MTCT 3 4.2 1 3

X

X

+

-+ Tiếp đến bấm r thì màn hình hiện ra hỏi X , ta cho X =100 và bấm = thì màn hình hiện

Điều đó chứng tỏ giới hạn này là 0

Chọn B Lời giải tự luận Từ tính chất ''Nếu q>1 thì lim ''

n

q

n = +¥ , ta suy ra limn n 0

q =

3 8. 1 3. 1

4

n

n

+

æ ö÷ æö÷ æ ö÷

ç ÷- ç ÷- ç ÷

Vì

1

3.2 4 lim 6 1 1

4

n

n

n n

+

ï êç ÷ ç ÷ ç ÷ú

ï ç ÷- ç ÷- ç ÷=

ï êçè ø÷ çè ø÷ çè ø÷ú

ïî

Lời giải tự luận được thực hiện bởi thầy NGUYỄN VĂN QUÝ – Bắc Ninh.

Câu 14 Tìm tất cả giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0;2018) để 1 1

10

lim

+

+

+

Lời giải tự luận Ta có

( )

1

2

1

1 2

4 4

n

a

+

+

æö÷ ç + ç ÷çè ø÷

+

÷

ç ÷

çè ø

0;2018

1024

1 2

a

Î

Vậy có 2008 giá trị a

Chọn B.

1

2

+

+

Câu 15 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0;20) để lim 3 2 21 1

an n

-+ là một số nguyên.

Lời giải tự luận Ta có

1 1

3

2 2

n n

n

a

a

a

ïï

ïî

Yêu cầu bài toán (0;20) {1;6;13 }

3

a

a

ìï Î ïï ïï

ïï + ïïî

Î ¢

¢

Chọn C GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Câu 16 Biết rằng 3 2

3

3

x

x

- với a bÎ ¢, Tính P=a2+b2

3

2

-( ) ( )

( )

2

0

2 3

a

b

Chọn C.

Câu 17 Tính giới hạn ( 8 )8

0

x

x L

®

+

-=

+

11

Sáng tác thầy PHONG HONG – Lời giải thầy ĐẶNG VĂN TÂM

Lời giải tự luận Áp dụng hằng đẳng thức a n- b n= -(a b a) ( n- 1+a b a b n- 2 + n- 3 2+ +L b n- 1), ta có

x + - =éêx + - ùúûêéx + + x + + + + + ù

ë

( )

( )

1 1

x

ì

ïî

+

î

ï L

( )

( ) ( )

( )

1

Chọn C.

Câu 18 Tính giới hạn 8 77

0

x

x L

®

+

-=

+

11

2

2

L

+

Chọn C.

Câu 19 Cho a b, là các số thực thỏa mãn b>0,a b+ =5 và 3

0

x

x

®

+ - - = Khẳng định nào sau đây sai?

A 1< <a 3 B b>1 C a2+b2>10 D a b- >0

Sáng tác & lời giải thầy ĐẶNG VĂN TÂM

Lời giải tự luận Ta có 3 3

+ - - = çç + - + - - ÷÷

÷

lim

3 2

x

x

bx

®

®

ç

÷ +

ç

÷ +

Vậy ta có

2

3 2

ì + =

ï + = ïï + = ïï =

ïî

A sai

Chọn A.

Câu 20 Tính giới hạn lim 2 2

x a

L

+

®

-=

- với a là tham số thực dương.

A 1

2

L

a

2

L

a

a

a

=-Lời giải tự luận Ta có lim 2 2 lim 2 2 lim 2 2

L

( )( )

1 2

2

L a

x a x a

ïï

ïïî

Chọn A Lời giải CASIO Vì a là tham số thực dương nên ta chọn tùy ý a=100 chẳng hạn

Nhập vào màn hình MTCT

Tiếp đến bấm r thì màn hình hiện ra hỏi X , ta cho X =100 0,000001+ (vì x¾¾®a mà ta cho a=100 ) và tiếp tục bấm = thì nó cho ra kết quả

Ta lưu kết quả này vào biến A bằng cách bấm q J z

Bây giờ ta dùng kết quả này để thử từng đáp án Ví dụ với đáp án A là 1

2

L a

= nhé

Tiếp đến bấm = màn hình hiện

Kết quả này gần với số 0 Vậy đáp án đúng là A.

Câu 21 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để lim( 2 2 1 )

Lời giải tự luận Ta có ( 2 ) 2

+ + = êêë ççè + ÷÷ø+ úúû= êêë + + úúû

Vì

2

lim

1

x

x

x

x

®- ¥

®- ¥

ïï

ïïî

nên yêu cầu bài toán Û - 2+ < Ûa 0 a< 2

Chọn B.

Câu 22 Biết rằng hàm số ( ) (22 ) 3

1

a x

f x

-= + - (với a là tham số thực) có giới hạn là +¥ khi x ® +¥. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A aÎ - ¥( ;2 ) B a éÎ êë2;2 2 ) C a éÎ êë2 2;4 ) D aÎ [4;+¥ )

Sáng tác & lời giải thầy ĐẶNG VĂN TÂM

Lời giải tự luận Giả thiết bài toán ( )

2

1

x

a x

®+¥

+ -Nhận thấy mẫu có dạng ¥ - ¥ nên ta liên hợp.

Ta có ( )

2 2

1

a x

ç

= êë - - û + + ú= ê çç - - ÷÷ç + + ÷÷ú

Vì

2

2

lim

3

1

x

x

x

x

x x

®+¥

®+¥

®+¥

ìïï

ïï

ïï ç - - ÷÷=

ïï

ï ç + + = >÷

ïî

nên yêu cầu bài toán Û -2 a> Û0 a<2

Chọn A.

Câu 23 Biết rằng lim 4 2 22 1 2 0

3

x

L

®- ¥

- + +

- + là hữu hạn (với a b, là tham số thục) Khẳng định nào sau đây sai?

a b

a b

=

Sáng tác & lời giải thầy ĐẶNG VĂN TÂM

Lời giải tự luận Khi x ¾¾®- ¥ mà để ax2- 3x có nghĩa khi a³ 0. Do đó A đúng.

Ta có

2

3

+ +

2

3

x

x

®- ¥

Do đó C đúng.

Theo giả thiết ta lại có L> ¾¾0 ® -b a> Û >0 b a³ 0¾¾® >b 0. Do đó D đúng.

Vậy chỉ có đáp án B sai

Chọn B.

Câu 24 Biết rằng lim( 5 2 2 5) 5

®- ¥ + + = + với a bÎ ¤, Tính S=5a b+

Lời giải tự luận Nhận thấy có dạng ¥ - ¥ nên ta sẽ liên hợp.

Ta cú ( 2 )

2

2

2 2

x x

-ữ

ỗố ứ

5

x

= +

-1

5 0

a

b

ỡùù =-ù

ắắđớùù = ắắđ = +

=-ùợ

Chọn B.

Cõu 25 Cho a b, là cỏc số thực thỏa món a b+ =4 và lim1 3

x

đ

ỗố- - ứ hữu hạn Tớnh giới hạn

3 1

lim

1 1

x

L

x x

đ

ỗ

= ỗỗố - - - ữữứ.

Sỏng tỏc thầy ĐẶNG VĂN TÂM

Lời giải tự luận Nhận thấy cú dạng Ơ - Ơ

1

Vỡ giả thiết cho giới hạn lim1 3

x

đ

ỗố- - ứ cú giỏ trị hữu hạn nờn a ax ax+ + 2- b phải nhận x =1 làm nghiệm (mục đớch làm xuất hiện lượng 1 x- để khử)

2

2

2 2

x

L

-ỗ

=- ỗỗố - - - ứữữ=- - + + =- + + =

Chọn C HẾT