Bài toán khôi phục trong lý thuyết hàm giải tích

Trong quá trình giải bài toán khôi phục, các kết quả thu được đã có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như Phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết hệ thống và gần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS TS Đặng Đức Trọng

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu, các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Trần Ngọc Liên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu, các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

PHẦN MỞ ĐẦU

Việc khảo sát bài toán khôi phục hàm giải tích bắt nguồn từ thực tế, trong các lĩnh vực điều khiển học, vật lý, nhận dạng Trong quá trình giải bài toán khôi phục, các kết quả thu được đã có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như Phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết hệ thống và gần đây là nhận dạng trong tình huống xấu nhất

Bài toán khôi phục mà chúng tôi quan tâm được phát biểu như sau:

Cho U là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức, nghĩa là

z C : | z | 1

K là một tập con của U Cho  là một hàm số xác định trên K

Hãy khôi phục hàm f giải tích trong U khi biết trước giá trị của f trên K

là 

Trong luận án chúng tôi giới hạn ở trường hợpK  z n là một dãy vô hạn đếm

được các điểm trong U Khi hàm số f thuộc không gian Hardy H p ( U ), không gian các hàm giải tích trên U ( p1 ), hoặc đại số đĩa A ( U ) (nghĩa là hàm f liên tục trên

đĩa đơn vị đóng U zC : | z |  1 và giải tích trên U ) thì bài toán khôi phục chính

là bài toán moment Luận án của chúng tôi nghiêng về mặt ứng dụng nên các bài toán khôi phục hàm giải tích được rút ra từ các ứng dụng trong vật lý (chương 3: bài toán nhiệt ngược và chương 5: bài toán Cauchy không gian cho phương trình Parabolic), trong giải tích thực (chương 4: bài toán biến đổi Laplace ngược)

Đây là bài toán ngược và không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán

có thể vô nghiệm; bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất; nghiệm của bài toán tồn tại nhưng không ổn định Bài toán nội suy hàm giải tích có một thư mục rất

lớn (xem [20, 63]) Tuy vậy, thật đáng ngạc nhiên là các bài báo lại không khảo sát tính

không chỉnh của bài toán và tính ổn định của thuật toán khi có sai số của dữ liệu

Thực vậy, xét bài toán: xác định một hàm giải tích f trong không gian

z (

n

1 ( ) (n  Khi đó f ( 0 ) f ( z 1 )1 1

n

1 ( f lim ) 0 (

Trong “ Lecture on Complex Approximation” , D.Gaier đã chứng minh rằng

tính duy nhất của bài toán (2) chỉ có khi và chỉ khi   

1

k

k | ) z

| 1

Blaschke)

Nếu điều kiện này không thoả, bài toán có nghiệm tổng quát là f Bg với f

là một nghiệm đặc biệt của (2), B là tích Blaschke với các không điểm ( z k )và g là

một hàm tùy ý trong H 2 ( U ) Vậy bài toán có nghiệm không duy nhất

Xét bài toán (2) Cho ( z n ) n1 tuỳ ý trên đường tròn

| : C

|

|

|

m m

Xét hàm

) z 2 ( z

C U : f

z (

Lagrange không hội tụ trong H 2 Một trong những cách giải quyết vấn đề này là loại

bỏ hay chặt cụt các số hạng bậc cao của Đa thức Lagrange Đó là một phương pháp

chỉnh hóa Bài báo “Reconstruction of Analytic Functions on the Unit Disc from a Sequence of Moments : Regularization and Error Estimates”, của nhóm nghiên cứu của G.s T.s Đặng Đình Áng đã trình bày kết quả với một số đánh giá sai số Trong luận án này chúng tôi tiếp tục sử dụng ý tưởng đó để chỉnh hoá các bài toán nội suy hàm giải tích

Cách chỉnh hóa bằng hàm phân thức không đòi hỏi các điều kiện chặt chẽ như dùng đa thức Lagrange, chẳng hạn bao đóng của các dãy điểm nội suy không cần nằm hẳn trong đĩa đơn vị Trong “Recovery of H p-functions”, Totik dùng hàm phân thức

để xấp xỉ hàm cần tìm, nhưng không đưa ra công thức cụ thể Và tác giả cũng không trình bày cách đánh giá sai số trong phép xấp xỉ

Vấn đề chúng tôi quan tâm là tính sai số của phép xấp xỉ và tính thứ nguyên chỉnh hóa trong phương pháp chặt cụt các đa thức Lagrange Một số kết quả bằng số cũng được thực hiện để minh họa cho phương pháp

Nội dung của luận án gồm có phần mở đầu, chương kiến thức chuẩn bị (chương 1), phần chính của luận án được trình bày trong bốn chương (chương 2-5) tương ứng với bốn bài toán mà chúng tôi sẽ lần lượt giới thiệu dưới đây, phần kết luận, danh mục các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo

Phần mở đầu giới thiệu tổng quan về các bài toán được trình bày trong luận án, các kết quả trước đó và tóm tắt nội dung chính của các chương trong luận án

Chương 1 giới thiệu và nhắc lại một số kiến thức, các ký hiệu, các không gian hàm được sử dụng trong luận án

Chương 2 (Bài toán thứ nhất) giới thiệu bài toán Khôi phục hàm giải tích bằng các đa thức Lagrange bị chặt cụt Kết quả của chương này lấy từ bài báo [60] của chúng tôi Nội dung của chương gồm hai phần chính: thiết lập các điều kiện cần và đủ cho sự hội

tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt và đưa ra kết quả của sự chỉnh hóa

Cho U là một đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức Chúng tôi sẽ khôi phục một

hàm f trong không gian Hardy H 2 ( U ) từ các giá trị   m

z ( m N; 1 n m )   là một hệ thống điểm trong U Như đã phân tích, đây là một

bài toán không chỉnh Hàm f được xấp xỉ bởi các đa thức Lagrange bị chặt cụt Cụ

thể, ta xét bài toán khôi phục hàm f trong không gian H2(U) sao cho

 m  m

f ( z ) ( mN ; 1nm ) , (2.1) với  (m)

n

 là một tập các số phức bị chặn Bài toán (2.1) đã được đề cập trong nhiều

công trình mà bạn đọc có thể tham khảo trong các tài liệu [20, 22, 39, 63] Hàm f chưa

biết đã được xấp xỉ bởi các đa thức (đặc biệt là các đa thức Lagrange (xem [20, 63] ) và

bởi các hàm hữu tỉ (xem [39, 57, 63] ) Như đã phân tích, tính ổn định của các thuật

toán xấp xỉ này đã không được đề cập trong các công trình ấy

Một cách vắn tắt, chúng tôi sẽ trình bày một cách chỉnh hóa bài toán (2.1) dựa

trên việc xấp xỉ (trong H2(U)) hàm f bởi các đa thức

Đa thức L m( v ) được gọi là một đa thức Lagrange bị chặt cụt Ta chú ý rằng

nếu   1 thì L m( v ) chính là đa thức Lagrange

Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì cách tiếp cận trong chương này là mới

Trong [8, 28], đa thức bị chặt cụt L m 1 / 2 ( v ) được dùng để xấp xỉ hàm f Ở đây, chúng

tôi sẽ nghiên cứu sự hội tụ của L m( v )với  nằm trong một khoảng mở Cụ thể chúng

tôi sẽ chứng tỏ rằng có một 0 trong  0 , 1 sao choL m( v ) f trong H 2 ( U ) với

0

0   , và kết quả sẽ không đúng nếu 0    1

Chương 3 (Bài toán thứ hai) trình bày vấn đề chỉnh hóa một bài toán nhiệt ngược rời

rạc bằng các hệ số của đa thức Lagrange bị chặt cụt Chương này là mở rộng của bài báo [41]

Cho uu x t, biểu diễn sự phân phối nhiệt độ thỏa phương trình sau đây

14, 16, 37, 52, 53, 31, 40, 35, 21, 66]) Dùng hàm Green ta chuyển phương trình nhiệt tới phương trình sau

0 , u t 2

1 t,

0 , 2 u

tích ngược tối ưu trong trường hợp cụ thể Trong các tài liệu sau này thì các tác giả đã nghiên cứu trường hợp dữ liệu trong L 2 không chính xác và đưa ra một số ước lượng

sai số cụ thể Gần đây nhất, trong [36] các tác giả đã sử dụng không gian Paley –

Wiener và xấp xỉ sinc để thiết lập một công thức giải tích ngược cho phép biến đổi

Gauss mà nó rất hiệu quả khi được thực hiện trên máy tính Với [17,67] thì phép biến đổi ngược Weierstrass cho các hàm tổng quát đã được nghiên cứu

Trong thực hành, ta chỉ lấy nhiệt độ được đo tại một tập điểm rời rạc Nghĩa là

 x j , 1 j

Do đó bài toán tìm nhiệt độ tại thời điểm ban đầu từ những giá trị nhiệt độ cuối, rời rạc

là cần thiết Bài toán trong trường hợp này là không chỉnh Vì vậy ta cần chỉnh hoá bài toán Theo hiểu biết của chúng tôi thì các tài liệu về hướng này là rất hiếm Trong [41], chúng tôi dùng đa thức Legendre được dịch chuyển (shifted Legendre) để chỉnh hoá một dạng rời rạc của bài toán nhiệt ngược trên mặt phẳng Tuy nhiên giả thiết rằng nhiệt độ u x , y có bậc  2 2 x , y

y x

,lim ,

   ) là quá nghiêm ngặt Ở chương này, điều kiện trên được loại bỏ hoàn toàn

Trong phần cuối chương, một số kết quả tính số cũng được trình bày

Chương 4 (Bài toán thứ ba) chúng tôi xét bài toán khôi phục hàm f :0 , R

thỏa phương trình

0

x p

p

với p j 0 ,, j 1 , 2 , 3 ,

Bài toán này đã được trình bày trong bài báo [34]

Trong chương này chúng tôi sẽ chuyển bài toán tới một bài toán nội suy hàm giải tích trong không gian Hardy của đĩa đơn vị và đưa ra một kết quả về tính duy nhất

Sau đó dùng đa thức Laguerre và hệ số của đa thức Lagrange để xấp xỉ hàm f Chúng

tôi sẽ đưa ra hai kết quả chỉnh hóa trong các trường hợp dữ liệu chính xác và dữ liệu bị nhiễu

Mặc dù phép biến đổi Laplace ngược đã được nghiên cứu trong nhiều tài liệu [4,

7, 8, 12, 52, 53, 65], nhưng các tài liệu tập trung vào bài toán với dữ liệu rời rạc là hiếm thấy Vì L f p là giải tích nên nếu L f p được biết trên một tập con đếm được của  Re p và tập con đó có một điểm tụ thì L f p được xác định trên toàn

bộ tập Re p Một cách tổng quát thì một tập hợp dữ liệu rời rạc đếm được là đủ cho việc xây dựng một hàm xấp xỉ của f Đó là một bài toán moment Trong [38], các

tác giả nêu một số định lý về tính ổn định của phép biến đổi Laplace ngược Với việc xây dựng một nghiệm xấp xỉ của bài toán, ta lưu ý rằng dãy các hàm số  p j x

e là độc lập tuyến tính và hơn nữa không gian vector sinh ra từ dãy hàm đó là trù mật trong

0 ,

L 2 Phương pháp chặt cụt khai triển trong [8] (mục 2.1) đã sử dụng tổ hợp tuyến tính của các hàm này và chúng tôi đề nghị độc giả tham khảo tài liệu này để biết thêm chi tiết Với [18, 29], nhóm chúng tôi chuyển bài toán ban đầu thành một bài toán moment đi tìm hàm f trong L 2 0 , 1 và sau đó dùng đa thức Muntz để xây dựng một xấp xỉ cho f Tuy nhiên trong thực tế, việc tính toán các đa thức Muntz không dễ Do

đó chúng tôi đã sử dụng một cách khai triển khác theo các đa thức Laguerre để chỉnh hoá bài toán Điều này làm dễ dàng cho việc tính toán vì các đa thức Laguerre là các hàm thông dụng mà các phần mềm tính toán đều có

Chương 5 (Bài toán thứ tư) trình bày sự chỉnh hóa một bài toán Cauchy theo biến

không gian cho phương trình Parabolic

Một bài toán Cauchy theo biến không gian cho phương trình parabolic là tìm

một hàm u thỏa

f Au

từ dữ liệu Cauchy của nó được cho trên một phần biên ngoài  , với là một miền của R n, A là một toán tử elliptic và u là một hàm được định nghĩa trên

 0 , T

Q   Bài toán còn được gọi là bài toán Cauchy non-analytic cho các phương

trình parabolic Một phiên bản khác của bài toán có tên là bài toán parabolic với dữ liệu bên trong, hàm u được khôi phục từ nhiệt độ được cho trên một tập con các điểm

trong của  Bài toán được mô hình hoá từ việc tìm sự phân bố nhiệt độ của vật thể

 có một phần (hay toàn bộ) biên ngoài  là không thể đo đạc được Nếu nguồn nhiệt f triệt tiêu thì ta nói bài toán là thuần nhất

Như ta đã biết bài toán là không chỉnh Trong [26], Holmgren đã nghiên cứu bài toán thuần nhất f  trong trường hợp 0   0 , 1 Tác giả đã đưa ra điều kiện cần và

đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán Với [31, ch.5], các tác giả đã dùng phương pháp quasi-reversibility để chỉnh hoá một bài toán thuần nhất Tuy nhiên họ không đưa ra sự ước lượng sai số và việc chọn tường minh thứ nguyên chỉnh hóa Trong [24], các tác giả xem xét bài toán thuần nhất trong trường hợp   ,0  với u x , 0  Họ dùng 0

phép biến đổi Fourier để đưa ra một công thức tường minh về nghiệm của bài toán, từ

đó ta có thể dùng phương pháp mollification (xem [23]) để chỉnh hóa bài toán Gần đây

(xem [65]), các tác giả đã dùng phương pháp chỉnh hoá Fourier để chỉnh hóa bài toán trong một phần tư mặt phẳng

Trong thực hành, dữ liệu được đo chỉ trên một tập điểm rời rạc của thời gian

 t j Do đó bài toán khôi phục nhiệt độ u x t, từ dữ liệu rời rạc là có ý nghĩa Trong chương này chúng tôi sẽ xem xét bài toán không thuần nhất về việc tìm nhiệt độ u x t,

được định nghĩa trên   0 , T  0 ,   0 , 2 từ phân bố nhiệt u 0 t j đã cho tại

0

x và một tập đếm được các thời điểm t j khác nhau Dữ liệu ban đầu u x , 0 trong bài toán của chúng tôi là chưa biết, nên bài toán được xem như là sự kết hợp của bài toán Cauchy theo biến không gian và bài toán nhiệt ngược Vì nhiệt độ sẽ được xác

định nếu tìm được u x , 0 nên chúng tôi tập trung vào bài toán khôi phục dữ liệu ban đầu    x u x , 0

Bài toán là không chỉnh Chúng tôi dùng phương pháp hàm Green để chuyển hệ thống trên thành bài toán moment dạng phương trình tích phân Sau đó dùng đa thức Laguerre, chúng tôi đưa bài toán moment về bài toán tìm một hàm giải tích được định nghĩa trên đĩa đơn vị của mặt phẳng phức Sau đó phương pháp dùng hệ số của đa thức Lagrange bị chặt cụt sẽ được áp dụng

Các kết quả trên của luận án đã được công bố trong [34, 41, 60, 61, 62]

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Bài toán không chỉnh Sự chỉnh hóa

Chúng ta xét phương trình

với A là một toán tử liên tục(không nhất thiết là tuyến tính) từ một không gian Banach

X vào một không gian Banach Y và x được tìm từ y đã cho X

1.1.1 Bài toán chỉnh và không chỉnh

Chúng ta nói phương trình (1.0) biểu diễn một bài toán chỉnh theo nghĩa

Hadamard nếu toán tử A có một toán tử ngược liên tục từ Y vào X, với X và Y là các

không gian Banach Nói cách khác chúng ta đòi hỏi rằng

 với bất kỳ y có nhiều nhất một Y x thỏa (1.0) (tính duy nhất X

1.1.2 Sự chỉnh hóa

Ý tưởng cơ bản trong việc giải (1.0) là dùng sự chỉnh hóa, nghĩa là thay phương trình này bởi một phương trình “gần” với nó bao gồm cả một tham số nhỏ  để ta có

thể giải phương trình đã thay đổi một cách ổn định và nghiệm của nó là gần với nghiệm của phương trình (1.0) ban đầu khi  là nhỏ

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X và Y là các tập đã cho trong bài toán (1.0) Một họ các toán tử tuyến tính, liên tục R từ Y vào X được gọi là một chỉnh hóa đối với phương trình (1.0) nếu R thỏa điều kiện

Số dương  được gọi là tham số chỉnh hóa

Nếu trong định nghĩa 1.1.2, R là một dãy đếm được các toán tử thì ta có thể lấy

các số tự nhiên n làm tham số chỉnh hóa và điều kiện trên trở thành

Định lý 1.2.2 (Maximum modulus theorem)

Giả sử  là một miền, f H  và D a , r  Khi đó

   



i

re a f max a

Dấu bằng xảy ra trong (*) nếu và chỉ nếu f là h ằng số trong  f không có cực trị địa phương tại điểm bất kỳ trong , trừ khi f là một hằng số

1 i i

t t

t t t

; t , , t l t

, i j 1

t

Các đa thức l ii 1 , 2 , , n được gọi là các đa thức Lagrange cơ bản Chúng có thể

được viết dưới dạng khác

Ta giới thiệu đa thức

j n

1 , t, ; t t t t

i

j 1 j

j

t t

t t

Điều đó cho phép ta viết    

 i i

' i

t t t

t t

là đa thức duy nhất trong P n (K) thoả (1.2.1.1) Dạng (1.2.2.6) của đa thức nội suy được

gọi là dạng Lagrange

Bây giờ nếu : f K  K là một hàm bất kỳ và  t i K , i = 1, 2, …, n là các điểm

nút phân biệt, ký hiệu:

        



t , t l t f t

; f L

t

; f

1

t , , t

vì p được xác định duy nhất bởi các giá trị p t i , 1i n của nó

Do đó, toán tử tuyến tính L n : K P n (K) là luỹ đẳng, nghĩa là L 2 n L n Vì vậy nó là một phép chiếu, ta gọi là phép chiếu nội suy Lagrange

1.2.3 Công thức nội suy Hermite [20, trang 62]

Đa thức nội suy

Cho n+1 cặp số phức z k , wk, k 0 , 1 , 2 , , n với z k là phân biệt, khi đó tồn tại chính xác một đa thức p có bậc nhiều nhất là n sao cho:

z z z z z

z





và    

 z 

'

k k

k

z z z z

, k j 1

w

z l w z

L

n n 1

1 0

thoả mãn yêu cầu nội suy

Trường hợp w k  f z k , với f là một hàm giải tích trong miền G với các điểm

nội suy z k  , là rất quan trọng cho mục đích của chúng ta Ta cũng có thể biểu diễn G

đa thức nội suy bởi một tích phân phức Giả sử biên G  của miền G bao gồm một số

các đường cong Jordan khả trường và xét hướng dương đối với G, và giả sử f là hàm

giải tích trên G, liên tục trên G Bài toán nội suy là:

 z k f z k

p  , với z k G , k 0 , 1 , 2 , , n Bài toán được giải bởi công thức:

z t

i 2

1 z L

t f t

z i

2

1 z L z f

t f i

2

1 z h



Hệ thức (1.2.3.3) là biểu diễn Hermite của đa thức nội suy, và (1.2.3.4) là biểu diễn tích phân của sai số nội suy

Sự nội suy trong trường hợp các điểm nội suy được phân bố đều

Chúng ta giả sử rằng K là một tập con compact của một miền G  C

Giả sử rằng với mỗi n (n = 0,1,2,…), có n+1 điểm nội suy cho trước z k n  K

z

z z z

n n

n 1

n 0

1 1

1 0

0 0

n k

và sự hội tụ này không phụ thuộc vào việc chọn các nút z k n  K

Bây giờ ta trở lại với mối liên hệ giữa sự phân phối đều của các nút và sự hội tụ của quá trình nội suy tương ứng (xem [20], tr 65-67)

z gọi là phân phối đều trên K nếu nó thỏa (2.1.3)

1.3 Phép biến đổi Laplace và Laplace ngược

Cho f(t) là hàm thực hay hàm phức với biến t thực, không âm Đặt s i w là một biến phức Khi đó phép biến đổi Laplace của f(t), ký hiệu F(s), được định nghĩa

như sau:

    

0

st dt e t f s

Ta định nghĩa tích phân trong (1.3.1) như sau:

    st lim   st

0 0

tại trên nửa mặt phẳng Re s > p mà còn là một hàm giải tích trên nửa mặt phẳng Các

hàm thoả mãn (1.3.3) với cách chọn k, p và T nào đó được gọi là có bậc e pt

Định lý 1.3 (công thức Laplace ngược)

Cho F(s) là một hàm giải tích trên nửa mặt phẳng Re s  a của mặt phẳng phức

s Giả sử tồn tại các hằng số dương m, R 0 và k sao cho   k

s

m s

Đẳng thức trên cũng được gọi là công thức tích phân Bromwich

(xem Complex Variables with Applications, A David Wunsch, tr 423)

1.4 Đa thức Laguerre (G Sansone, Orthogonal Functions, tr 259)

Hàm Gamma:    là hàm Gamma được định nghĩa với  0 bởi:

          

               

0

x 1 0

x

0

e x

1 n 1

n n

n n

1 n

Đặc biệt, đối với những giá trị nguyên không âm của n, ta có:  n1n !

Định lý 1.4 (Công thức Stirling) Với mỗi nN, tồn tại     0 , 1 sao cho

e e

n n 2

(xem Advanced Calculus p.458 của Wilson)

Để thuận lợi cho việc sử dụng, công thức trên còn được phát biểu dưới dạng sau

1 e

n n 2

! n

1    và sự khai triển của nó thành chuỗi luỹ thừa theo z với z  Ta có 1

k z

1 xz

z 1

z

! k

x 1

! k z 1

k k 0

k k

k z

1

xz 1

z 1

! k

x 1 z

1

z

! k

x 1 e

m n 1 m n m m m

n

! m n

1 1

m n

n

! m

! m n

1 m n

1 n n

1

! n

x x L

! m n

! m

1 n 1

x L

1 m

m n

1

2 n 1

n n

0

Với  0, các đa thức L n 0  x sẽ được định nghĩa lại là L n (x) Các đa thức này rõ ràng

m n 2 m

n

! m n

! m

! n 1

x

   x (n 1,2,3, )

! k

1 1

n

0 k

k n k

e x x

n x

n1L n  x 2 n 1xL n   x  nL n1 x 0 (1.4.6)

1.5 Đa thức Hermite (G Sansone, Orthogonal Functions, tr 303)

1.5.1 Nếu ta khai triển ez 22 xz thành một chuỗi lũy thừa theo z thì ta có

n

0 z n

x z n x

x z x xz 2 z

! n

z dz

e d e

e e e

2 2

2 2

n n

x n x

xz 2 z

! n

z dx

e d e

e

2 2

x n x n

2 2

n n xz

2

! n

x H e

z ,

Vậy các đa thức H n (x) là các hàm chẵn hay lẻ tùy theo chỉ số n là chẵn hay lẻ

Các đa thức (1.5.1.1) được gọi là các đa thức Hermite Các đa thức này có vai trò trong

việc nghiên cứu khai triển của một hàm theo các đa thức trực giao trong khoảng

 ,  

1.5.2 a) Lấy đạo hàm (1.5.1.2) theo biến x ta suy ra được:

 x 2n 1  H x '

n 1H 2 H 2 xH H 0 2

0 nH

2 xH 2 H 2 H

'' n

' n

' n n

' 1 n

' n n

' 1 n

1.5.3. Các hệ thức về tính trực giao có được theo cách thông thường

a) Nhân (1.5.2.3) với ex 2, ta được

 x 2 ne H  x 0 H

e dx

d

n x '

x H e

n n 2

x 2

là trực chuẩn trong L2  ,   

Một hàm f(z) giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức, nghĩa là nó được biểu diễn

bởi một chuỗi lũy thừa có dạng:

 z c z ; lim c 0

n n

0 n

được gọi là một hàm nguyên

Đây là lớp hàm đơn giản nhất của các hàm giải tích mà có chứa tất cả các da thức Hàm nguyên được phân lớp dựa vào bậc của chúng, nghĩa là theo sự tăng (growth of Entire function) của chúng khi z  Một hàm nguyên có thể tăng theo các cách khác nhau theo nhiều hướng khác nhau Với sự đặc trưng tổng quát của sự tăng, ta giới thiệu hàm M  r ma x f z

r z

f   Theo nguyên lý cực đại hàm này đơn điệu tăng

Một đa thức có càng nhiều nghiệm thì tăng càng nhanh Tính chất này cũng được mở rộng cho hàm nguyên nhưng phức tạp hơn nhiều Mối liên hệ giữa sự tăng của một hàm giải tích và sự phân bố nghiệm của nó là nội dung chính của định lý về hàm nguyên

Ta sẽ chỉ ra có một số định lý tương tự định lý đồng nhất Các kết quả này phát biểu rằng nếu hàm nguyên f “tăng đủ chậm” và nghiệm của nó “được sắp xếp một cách rất

trù mật”, thì f z  Đây là những định lý về tính duy nhất tương tự với các định lý 0

về tính duy nhất đơn giản nhất cho đa thức

 as  k r k

Bậc của hàm nguyên là chặn dưới lớn nhất của các giá trị k mà bất đẳng thức

tiệm cận được thực hiện

Ký hiệu bậc của một hàm nguyên f là   f

r M log log

hay

 

r log

r M log log sup

n log n sup lim

1.7 Không gian H p( không gian Hardy)

1.7.1 Các không gian H p và N

Ta định nghĩa f r trên T như sau

) 1 r 0 ( ) re ( f ) e (

nếu f là hàm liên tục bất kỳ xác định trên U , và cho là độ đo Lebesgue trên T, được chuẩn hóa ( T )1 Theo đó L p-chuẩn được hiểu làL p ( ) Đặc biệt

) p 0 ( d

p r 1 r

f



b) Với 1  p, H P là một không gian tuyến tính định chuẩn

c) Có thể xem H P là không gian con đóng của L p và do đó nó là không gian Banach

Định lý 15.23 (xem [19], tr.311] cho thấy các không điểm của hàm f bất kỳ thuộc

lớp N thỏa điều kiện Blaschke  1n  Điều này cũng đúng trong H P Ta có định lý sau (tương tự với định lý đồng nhất)

Định lý 1.7.1 Nếu f H p (hoặc f  ), nếu N 1 ,2 ,3 , là các không điểm của f trong U , và nếu

f *  p

p r

* 1

n

n z a )

z ( f

thì f H 2 nếu và chỉ nếu  

0

n

2 n





0 n

2 n

2 r 1 r 0

n

n 2 n 1 r

2

Nhận xét: (a) Một cách tự nhiên, không gianH 2 ( U )được xem như một không

gian con đóng của L 2 ( T )(gồm tất cả các hàm có dạng 

n n 0

n n

( f 2

1 g ,

CHƯƠNG 2 KHÔI PHỤC HÀM GIẢI TÍCH BẰNG CÁC ĐA THỨC LAGRANGE BỊ CHẶT CỤT

z (

(xem [47: chương 17] hay [Chương 1, (1.7.3)])

Cho  z n ( m ) ( mN ; 1nm ) là một hệ thống điểm trong đĩa U Với mỗi m,

ta giả sử rằng z 1 ( m ) , z 2 ( m ) , , z m ( m ) là những điểm phân biệt Trong chương này, chúng tôi xem xét bài toán khôi phục hàm f trong không gian H2(U) sao cho

) m ( n ) m (

z (

f  ( mN ; 1nm ) (2.1.1) với  (m)

n

 là một tập các số phức bị chặn

Bài toán (2.1.1) là không chỉnh Trong những kết quả gần đây của chúng tôi [8,

28, 59, 58] thì tính không chỉnh của bài toán đã được xem xét Trong [39] thì một hàm

f trong đại số đĩa A U đã được xấp xỉ bởi một dãy các hàm số được xây dựng từ dữ liệu bị nhiễu và được gọi là một thuật toán định dạng đều

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một cách chỉnh hóa bài toán (2.1.1) dựa trên việc xấp xỉ (trong H2(U)) hàm f bởi các đa thức

)) , ,

, (

v

; 1 0

( z l )

) m ( 1 k

) m ( k

1 z m

n

z không thỏa điều kiện (2.1.3)

Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì cách tiếp cận trong chương này là mới Trong [8, 28], đa thức bị chặt cụt Lm 1 / 2( v )được dùng để xấp xỉ hàm f Ở đây, chúng

tôi sẽ nghiên cứu sự hội tụ của L m( v )với  nằm trong một khoảng mở Cụ thể chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng có một 0 trong  0 , 1 sao cho L m( v ) f trong H 2 ( U ) với

0

0  , và kết quả sẽ không đúng nếu 0  1

Cuối cùng, nếu với mỗi m các nút z 1 ( m ) , z 2 ( m ) , , z m ( m )không khác nhau đôi

một và nếu tại những điểm này chúng ta không chỉ biết các giá trị của f mà còn biết

các giá trị của đạo hàm cấp cao hơn của f , thì chúng ta có thể dùng các đa thức Lagrange – Hermite bị chặt cụt để xấp xỉ hàm f

Điêù kiện cần của sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt và phản thí dụ

m

) z z )(

z ( '

) z ( v

) z )(

v ( L





(2.2.1) với m như trong (2.1.4), v  ( v1, , vm )và đặt

z

m j

j 1

s ) m ( j ) m ( j )

\ m , 1 j

2

) 1 m ( l 0

) m ( l 1 m , k

1 ) m ( k ) m ( j m

k 1 m

z z 1 max

z-1

z-z

\ m , 1

m

z

) z

z z z

z 1

z z )

z

(

f

m j

) m ( j

k

\ m , 1 j ) m ( j

) m ( j

k

\ m , 1 j

z z

j

) m ( j m

j k

\ m , 1 j

j ( j m ) ( k m )

(m) j m

m m

z z - 1

z - z )

z )(

f T (

) m ( k ) m ( j

) 1 m (

0 l

l ) m ( l 1 m , k l 1 m

m m m

) z z 1 (

z )

1 ( )

z )(

f T ( L

1 m

0 l

2 m l 1 m , k

2 m k

m j

2 m m

sup max

1

2 2

m 1 1

Phản thí dụ: chúng tôi sẽ chứng tỏ định lý Kalmar – Walsh là không đúng nếu C ( U )

được thay thế bởiH 2 ( U )

Thật vậy: đặt  1, với mỗi m, Lm T m f là một đa thức Lagrange

Đặt

) m n 1 , N m ( 1 n

\ m , 1 j

1 m

0 l

2 m l 1 m , m

1 ) m ( m ) m (

z 1

) m ( 1 , m

1

) 1 m )(

1 j (

1

m

1

2

  m  Vậy dùng Định lý 2.1 ta có thể tìm một hàm số f H 2 ( U ) sao cho L m T m f không hội

tụ về f trong H 2 ( U ) khi m

2.3 Điều kiện đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt

Để phát biểu những điều kiện đủ cho sự hội tụ của các đa thức Lagrange bị chặt cụt, chúng ta sẽ xem xét hệ thống điểm  ( m )

A n

m n

m

m

A khi z

1

A khi 1

1

2

1 0

khi )

1 ( ) 1 (

, 1 2

1 khi 1

2

)

1 1

, 1 ) (

với mọi hệ thống điểm  ( m )

z trong F sao cho

(2.3.4) không đúng với mọi 0  1

z trong F sao cho

(2.3.4) không đúng với mọi  0 , 1

Với mỗi  0 , 1 , đặt

m

1 1

z 1 ( m )   và

m 2

1 1

z ( m m )  

Chú ý rằng với

 s

sn

2 mn

1 2

1 y

2 j

2 m

) m ( m sj

sj

) s

( m

2

1 1

1 z

y 1

y

Chúng ta chọn p m sao cho:

2 m 1

m

2

j P j ( m m )

j p

m 2

1 1

1 2

1 z

y 1

y

m m

1 y

z

m

p ) m (

 

2

1 )

1 m (

0 l

2 ) m ( l 1 m , m 1

m

\ m , 1 j

) m ( m ) m (

1 ) m ( m ) m ( j )

m ( 1 m ,

m ( m ) m ( 1

) m ( 1

z z 1

z z

z 1 z

) m ( 1

m 2

1 1

1 2

1 z z 1

z sao cho tồn tại một hàm f H 2 ( U )

thỏa mãn: Lm ( T m f ) f trong H 2 ( U ) với 0  1 Ta lý luận tương tự như

trường hợp đã nói trên Với bất kỳ 

1 1

m

1 1

1 m (

0 l

2 ) m ( l 1 m , m 1

m

\ m , 1 j

) m ( m ) m (

m

\ m , 1 j

) m ( m ) m (

j 1

) m ( j ) m ( 1 j

1 m

1

z

z z

z 1

m m

3 m

m 1 m

2 3

C 1

m

1 1 m

1 1 m m

1 1