Tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian banach

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Thầy.. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy trong khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tậ

CHANTHAVONG Ladda

TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜNG HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “ Tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian Banach ” do tôi thực hiện với sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Bích Huy, không sao chép của bất cứ ai Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2018

Học viên thực hiện CHANTHAVONG Ladda

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Nguyễn Bích Huy, Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành bài luận này Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Thầy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy trong khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn trong suốt quá trình học cao học

Xin được gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Khoa học Công nghệ và phòng Sau đại học, phòng Tổ chức hành chính, phòng Kế hoạch - Tài chính Trường đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Và cũng cảm ơn các bạn Học viên K26 đã cùng chia sẻ với tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập, rèn luyện và viết luận văn

Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công tới quý thầy cô, anh chị và các bạn!

CHANTHAVONG Ladda

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 ĐẠO HÀM 2

1.1 Sự khả vi 2

1.2 Định lý số giá giới nội và ứng dụng 9

1.2.1 Định lý số giá nội 9

1.2.2 Một số ứng dụng 11

1.3 Đạo hàm bậc cao, công thức Taylor 18

1.3.1 Ánh xạ đa tuyến tính 18

1.3.2 Đạo hàm bậc hai 20

1.3.3 Đạo hàm bậc cao 23

1.3.4 Công thức Taylor 26

1.3.5 Đạo hàm cấp cao của một số ánh 29

1.4 Ánh xạ ngược – ánh xạ ẩn 40

Chương 2 CỰC TRỊ 46

2.1 Cực trị địa phương 46

2.2 Cực trị có điều kiện 50

2.2.1 Trường hợp riêng 50

2.2.2 Cực trị với ràng buộc phiếm hàm 53

2.2.3 Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát 54

2.3 Bài toán biến phân 57

2.3.1 Trường hợp một biến Phương trình Euler 57

2.3.2 Trường hợp hàm nhiều biến Phương trình Euler – Lagrange 64

KẾT LUẬN 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

MỞ ĐẦU

Khái niệm đạo hàm là khái niệm cơ sở nhất và quan trọng nhất của Toán học nói riêng và khoa học nói chung Nó có mặt trong những bài toán đơn gian nhất cho đến các bài toán phức tạp nhất

Đạo hàm được định nghĩa ban đầu cho hàm số một biến số, sau đó cho hàm số nhiều biến số Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như đề nghiên cứu những bài toán mới phát sinh trong quá trình phát triển của khoa học – công nghệ mà khái niệm đạo hàm và các vấn đề liên quan đã được mở rộng cho các ánh xạ tác động trong các không gian Banach và rộng hơn là các không gian tô

pô tuyến tính Đến nay đã hình thành một lí thuyết hoàn chỉnh về phép tính vi phân trong không gian Banach Lí thuyết này tìm được những ứng dụng sâu sắc và cơ bản trong lí thuyết phương tình vi phân, Giải tích phi tuyến, Lí thuyết điều khiển, Tối ưu hoá, Toán kinh tế,

Việc tìm hiểu về phép tính vi phân trong không gian Banach giúp học viên

bổ sung cho mình những kiến thức mới hiện đại; thấy được phương pháp hình thành và phát triển những khái niệm Toán học tổng quát hơn trên cơ sở những khái niệm cũ, riêng biệt

Mục tiêu đề tài là trình bày chi tiết và hệ thống các vấn đề cơ bản nhất của phép tính vi phân trong không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian như các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, công thức số gia giới nội, đạo hàm bậc cao và công thức Taylor các định lí hàm ngược, hàm ẩn, ứng dụng vào bài toán cực trị, bài toán biến phân,

Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học viên cao học Khi học bộ môn phép tính vi phân trong không gian hữu hạn chiều và không gian Banach

Chương 1 ĐẠO HÀM

1) Ta nói f khả vi theo Frechet hay Fkhả vi tại x nếu tồn tại ánh xạ

tuyến tính liên tục A E: F sao cho với mọi hE mà x h D thì:

ChoE F, là hai không gian Banach, D là tập mở trong E và f D: F

1) Ánh xạ tuyến tính liên tục A thoả mãn  1 hoặc  2 , nếu tồn tại, sẽ duy nhất, đặt ' 

f x  A và gọi là đạo hàm của f tại x

2) Nếu f khả vi theo Frechet tại xDthì f liên tục tại x

Do A A1, 2 tuyến tính và t  0 nên:

Vậy f liên tục tại x

Từ  1 và A là tuyến tính, ta có:

t t

Cho E F, là hai không gian Banach, D là tập mở trong E và f D: F

Nếu f khả vi tại mọi xD, ta nói f khả vi trên D hay f khả vi Khi đó ánh xạ '  

Nếu E R, mọi ánh xạ tuyến tính A R: F có dạng A t tw,

vớiwF w,  A 1 Ta đồng nhất ánh xạ tuyến tính A với A 1 w là vectơ trong

F Khi đó với I là khoảng mở trong R, f I: F f, khả vi tại tI nếu tồn tại

phần tử wF sao cho với hR t,  h I thì:

i) Nếu f là ánh xạ hằng thì f khả vi và '   

Định lý 1.1 (Công thức đạo hàm của ánh xạ hợp)

Cho E F G, , là không gian Banach, U là tập mở trong E V, là tập mở trong

F và f U: V g V, : G

Giả sử f khả vi Frechet tại x và g khả vi Frechet tại y f x  thì g f

khả vi tại x và    ' '    ' 

.

Chứng minh

Đặt k h  f x h f x  Với hE sao cho x h U và f x hV Do g

khả vi tại f x  nên

Nếu f khả vi Gateaux tại x và f khả vi theo Frechet tại y f x  thì

g f khả vi Gateaux tại x và    ' '    ' 

y  y  y   y Khi đó F,  F là không gian Banach

Cho E F i, i,  1,n là các không gian Banach, D là tập mở trong E và

Khi đó f khả vi tại x nếu và chỉ nếu các ánh xạ thành phần f f1, 2, , f n

khả vi tại x Hơn nữa:

f x

i n

a) Khi đó Fliên tục trên E

b) Nếu f

x



 (đạo hàm riêng theo biến thứ 3) liên tục trên    a b,  a b, R thì

F khả vi và với '   

a) Cho trước xE và   0

Do f liên tục đều trên    a b,  a b,   x  1, x   1 nên tồn tại   0,  1

Vậy F liên tục tại x

b) Cho trước xE và   0

 là ánh xạ tuyến tính liên tục

Vậy F khả vi tại '   

h k

f a là ma trận có hàng thứ là  1

1.2 Định lý số gia giới nội và ứng dụng

1.2.1 Định lý số gia giới nội

Cho E F, là các không gian định chuẩn, D là tập mở trong E, a b, E sao

cho a a, hD Giả sử f D: F thỏa mãn

i) Thu hẹp của f trên a a, h liên tục

ii) f là G khả vi tại mọi xa a, h

Khi đó

Đặt y f a h f a ,ta có thể coi y Áp dụng một hệ quả của định

lý Hahn – Banach ta tìm được phiếm hàm GFsao cho G  1,G y  y . Xét phiếm hàm g F: R g x,   ReG x ; ta có g là phiếm hàm thỏa mãn

g xy g x g y g x  g x    R và g  G

Xét phiếm hàm  : 0,1 R,  t g f a  th  Ta có

  liên tục trên  0,1 do giả thiết i)

  khả vi trên  0,1 và '  '  

1.2.2 Một số ứng dụng

a) Giới hạn của dãy ánh xạ khả vi

Ta nhắc lại rằng tập D trong không gian E gọi là tập liên thông nếu không tồn tại hai tập mở O O1, 2 trong E sao cho:

xB B B   i k , yB k  4

Chứng minh:

Ta định nghĩa quan hệ trên D như sau: Với x y, D, ta nói nếu và

chỉ nếu tồn tại một số quả cầu mở B B1, 2, ,B k thoả mãn  4 Khi đó là quan hệ tương đương trên D nghĩa là:

thì và thì Với xD, đặt là lớp tương đương của x Khi đó:

x D



 , với x y, D thì x  y hoặt x y

Ta chứng minh x là tập mở Thật vậy; với yx thì nên tồn tại

một số hữu hạn quả cầu mở B B1, 2, ,B k thoả mãn  4

Khi đó, với zB k thì nên hay zx Suy ra: B k x

Vậy x là tập mở Cố định xD, ta khẳng định xD và như vậy mệnh đề được chứng minh

Giả sử D x\   Đặt O1x và 2

Ta gặp mâu thuẫn với tính liên thông của D Như vậy: xD

f n x n là dãy cơ bản trong B a r ,

DoFlà không gian Banach nên  f n nhội tụ đều trên B a r , về ánh xạ ghi là

f Do  f n n liên tục trên B a r , nên f liên tục trên B a r ,

Ta chứng minh f khả vi và '   

f x g x với mọi xB a r , Với

1 1 2

x  B B

Lặp lại chứng minh trên bằng cách thay a bởi x1và B a r , bởi B2thì

 f n n hội tụ đều trên B2về ánh xạ vẫn là f (do giới hạn là duy nhất nên chúng bằng nhau trên B1B2, Sau một số hữu hạn bước, ta có dãy  f n n hội tụ đều về f trên B k), f khả vi và '   

f x g x Định lý được chứng minh

b) Đạo hàm riêng và sự khả vi

Định nghĩa

Cho E E1, 2, ,E n, f là không gian Banach

Đặt: E E1 E2  E n với chuẩn định bởi:

1 2

n n

Nếu ánh xạ riêng theo biến x i tại a i, f i khả vi tại a i, thì đạo hàm

n

i i E i

Định lý được chứng minh

c) Liên hệ giữa sự khả vi Gateaux và khả vi Frechet

Định lý 2.7

Cho E F, là không gian Banach, D là tập mở trong E và f D: F là ánh xạ liên tục Giả sử f khả vi Gateaux tại xD và u x  là đạo hàm Gateaux của f tại x

Như vậy u x L E F ,  sao cho với mọi yE,

y r, thì:g t  f x ty t,   1,1, khả vi và:

liên tục nên '

f liên tục, nghĩa là f khả vi liên tục

1.3 Đạo hàm bậc cao, công thức Taylor

Tổng quát hơn ánh xạ k tuyến tính A E:    E F gọi là đối xứng nếu : A x x 1 , 2 ,x k A x  1 ,x 2 ,x k  trong đó  là phép hoán vị của tập

Khi đó B là ánh xạ ntuyến tính

2) Cho A a ij , ,i j 1, 2, ,n là ma trận vuông cấp n, xét ánh xạ

Khi đó B là ánh xạ song tuyến tính

Ngược lại, giả sử B R: nR n R là ánh xạ song tuyến tính Gọi

e1 , ,e n là cơ sở chỉnh tắc của n

R Với xx x1 , 2 ,x n,  1 , 2 , ,  n

Đặt a ij B e e i, j thì B có dạng  1

Vậy, cho một ánh xạ song tuyến tính B R: n  R n R tương đương

việc cho ma trận vuông cấp n, A a ij và xác định B bởi công thức  1

3) Cho n n p

R R R là ánh xạ song tuyến tính Khi đó B có thể viết ở dạng B x y , B x y1 , , ,B p x y,  x y, R n trong đó B k:R nR n R là song tuyến tính, k 1, ,p

Do ví dụ 2) thì B k được cho bởi ma trận  k

ij

a Do đó được cho bởi

"ma trận ba chiều"  

1 , 1

k ij

Cho E E1, 2, ,E n, F là không gian Banach

1) Giả sử ánh xạ B E: 1  E2 E n F là ánh xạ n tuyến tính Khi đó hai

mệnh đề sau tương đương:

Cho E F, là không gian Banach, D là tập mở trong E và f D: F khả

vi trên D Khi đó ta có ánh xạ đạo hàm '   ' 

1) Giả sử ánh xạ '

f khả vi tại x hay tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục

B f x và gọi đạo hàm bậc hai của f tại x

2) Với BL E L E F ,  ,   và x y, E thì B x L E F ,  nghĩa là B x  là ánh xạ tuyến tính liên tục từ B và F Khi đó B x  y F Ta ghi

Như vậy ta xem Blà ánh xạ theo hai biến x y,  từ E E vào F thỏa mãn: với x cố định thì Btuyến tính liên tục theo yvà nếu cố định ythì B tuyến tính liên tục theo x

Do B x y ,  B  x  y nên B là ánh xạ song tuyến tính liên tục

Ta cũng nói đạo hàm cấp hai của f tại x là ánh xạ song tuyến tính liên tục

h h1 , 2  h h1 , 2 A h h 1 , 2 hay     1 2 

1 2

1 2

, ,

tính liên tục nên  2  ' '

A  A là ánh xạ hằng

Định lý 1.3.1

Cho E F, là không gian Banach, D là tập mở trong E và f D: F khả

vi bậc hai tại x0 Khi đó   2  

1 sup

E vào F Ký hiệu L kE F,  là không gian Banach các ánh xạ

ktuyến tính liên tục từ k

E vào F 1) Ta có ánh xạ đạo hàm bậc k, f k :DL E F k ,  biến mỗi thành  k  

Giả sử ánh xạ  k

f khả vi tại xD nếu tồn tại ánh xạ A E: L E F k ,  tuyến tính liên tục sao cho với hE, x h D thì:

 k    k      

E

f x h  f x A h  h  h , với  xác định trong lân cận của 0E có giá trị trong L kE F,  thỏa

Ánh xạ tuyến tính liên tục A sẽ duy nhất, ký hiệu là k 1 

A f  x và gọi là đạo hàm bậc k 1 của f tại x

2) Nếu AL E L E F , k ,  ,xE, thì A x L E F k ,  Với x x1 , 2 , ,x kE k, ta viết:

AL E F Vậy đạo hàm bậc k 1 của f tại x, k 1 

f  x là phần tử thuộc

thì A tuyến tính liên tục và k 1

g A f  do công thức đạo hàm của ánh xạ hợp,

Cho E F, là không gian Banach, D là tập mở trong E và f D: F có

đạo hàm bậc k,  k

f liên tục Khi đó với mọi xD,  k  

f x là ánh xạ ktuyến tính liên tục, đối xứng

Chứng minh:

Ta dùng qui nạp Ta biết kết luận đúng với k 2

Giả sử kết luận đúng với mọi p, 2  p k Với u u3, 4, ,u kE, xét

Do Mệnh đề 1.3.3 g khả vi bậc hai liên tục và  2  

g x là ánh xạ song tuyến tính liên tục, đối xứng

  2      2   

1 , 2 2 , 1

g x u u g x u u , với mọi u u1, 2E

Do đó f k  x u u u u1 , 2 , 3 , 4 , ,u k f k  x u u u u2 , , 1 3 , 4 , ,u k

Do giả thiết qui nạp, k 1 

f  x là ánh xạ k  1 tuyến tính liên tục, đối xứng:

Do mỗi hoán vị của tập 1, 2, 3, , k là hợp nối của phép hoán vị của  1, 2

và 2, 3, 4 , k nên kết luận đúng với k

1.3.4 Công thức Taylor

ki C

i k i i

k i E

E i

g khả vi và với u2E thì:

 2        2 

1 , 2 1 k 1 , 2

Vậy kết luận đúng sau k bước

Do g k  x k A! là ánh xạ hằng nên  k

g liên tục

Định lý 1.3.3

Cho E F, là không gian Banach, D là tập mở trong E và f D: F khả

vi liên tục bậc k Với xD, uE sao cho x tu D với mọi t 0,1 thì:

    '   1  2   2 1      

k k k

f x u g u  u   u nên ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.3.4 (Tính duy nhất)

Cho E F, là không gian Banach, D là tập mở trong E, chứa 0E và :

f DF khả vi bậc k Giả sử     k  

1.3.5 Đạo hàm cấp cao của một số ánh xạ

a Ánh xạ từ n

R vào R

Mệnh đề 1.3.6

Cho n

DR là tập mở và ánh xạ f D: R khả vi trên D Khi đó

1 f có đạo hàm cấp hai tại aD khi và chỉ khi các hàm đạo hàm riêng

2 Nếu f có đạo hàm cấp hai tại a thì  2  

f a là dạng song tuyến tính có ma

trận, mà hàng thứ i là D f a i1  , ,D f a in    (nhắc lại ij   2  

2 Giả sử f có đạo hàm cấp hai tại a và  2  

B f a là dạng song tuyến tính, đối xứng Ta có:

u là tọa độ thứ i j của vectơ

, 1,

n

j

2) Giả sử f có đạo hàm cấp k trên D Khi đó f có đạo hàm cấp k 1 tại

akhi và chỉ khi các đạo hàm riêng bậc k,

Giả sử điều phải chứng minh đúng đến k Xét  1 , ,  n

1

1 1 1

Do đó công thức đúng cho k 1

Ở trên ta đã chứng minh nếu có đạo hàm riêng bậc k của f khả vi tại a thì k 1 

f  a tồn tại Ngược lại giả sử k 1 

f  a tồn tại Khi đó

b Ánh xạ Hammerstein

Cho A là tập đóng, bị chặn trong p

R ; B là tập đóng, bị chặn, Jordan đo được trong k

R Cho f A B R:   n R liên tục,

 

F

y  y t tA Khi đó E F, là không gian Banach

Cho T E: F định bởi với xE t, A ta có

b) Giả sử thêm , 1,

  liên tục Khi đó T có

đạo hàm bậc hai tại mọi xE,  2  

Ta thống nhất một số ký hiệu như sau:

- B n0,Mlà quả cầu đóng tâm 0, bán kính M trong không gian n

a) Ta chứng minh xE thì T x F ( nghĩa là T x  liên tục theo t )

Do f liên tục trên tập compắc n0, 

E

A B B  x nên liên tục đều trên đó

Do đó, với   0 cho trước, có   0 sao cho

2 2 2 2

Vậy T x  liên tục theo tA hay T x  F C A R , 

Ta chứng minh T liên tục theo x:

Với xE cố định và   0, do f liên tục đều trên n0, 1