Tìm m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị và ba điểm đó tạo thành tam giác đều.. Gọi H và P lần lợt là trung điểm các cạnh AD và SA.. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.. Xác định tâm và t
Trang 1Trờng THPT Thái Phiên
-*** - Thời gian: 90 phút( không kể thời gian phát đề)Môn : Toán – Khối 12
Câu 1(4 điểm)
Cho hàm số y x= 4+2mx2 +3m (1), m là tham số
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1) khi m=-1.
b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và ba điểm đó tạo thành tam giác đều.
Câu 2 (1 điểm)
Cho loga b= 2 Tính giá trị của 2
3
loga b b
a
Câu 3 (1 điểm)
Giải phơng trình sau 6.9x −13.6x +6.4x =0
Câu 4 (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H và P lần lợt là trung điểm các cạnh AD và SA.
a Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b Chứng minh SA⊥PC.
c Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Câu 5 ( 1 điểm)
1 Chứng minh hàm số y= f x( ) ln= x x− nghịch biến với mọi x>1
2 Giải phơng trình ln(x2+ + =x 2) ln(x2+ + −4) x 2
(Giám thị coi thi không phải giải thích gì thêm)
Trang 2Câu ý Lời giải Điểm
1 1 Với m=-1 => y=x 4 -2x 2 -3
TXĐ: D=Ă
SBT
+ Giới hạn: lim
x
y
→−∞ = +∞ lim
x
y
→+∞ = +∞
+ BBT
y' 4= x3−4x; y’=0 <=> x= 0, x= ±1
x - ∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ -3 +∞
-4 -4 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞), nghịch biến trên các khoảng
(-∞; -1) và (0; 1).
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y(0)=-1, đạt cực tiểu tại x= 1 và y( 1)=-2 ± ±
Đồ thị
+ Điểm uốn: có y" 12= x2−4 1
" 0
3
y = ⇔ = ±x
y” đổi dấu khi qua cỏc nghiệm vậy đồ thị hàm số cú hai điểm uốn là
1
; 3 9 3
; 3 9 3
đồ thị hàm số cắt trục Ox tại cỏc điểm cú hoành độ x= ± 3
Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng
2
-2
-4
f x ( ) = x 4 -2 ⋅ x 2 -3
0,5 0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2 Ta có y' 4= x3+4mx; y' 0= ⇔ =x 0,x2 = −m
(1) có 3 điểm cực trị phân biệt <=> y’=0 có 3 nghiệm phân biệt <=> m<0
0,25 0,25
Gọi A, B, C lần lợt là ba điểm cực trị của đồ thị (1) từ trái qua phải
A − −m m m− B m C −m m m− , có ∆ABC cân tại B
ABC
∆ đều <=> AB=AC <=> m4− = −m 4m⇔ = −m 33
0,25 0,25 2
Ta có
2
3 3
2
1 log 3log
2 log
a b
b
b
a
−
+ 1
2
0,5
0,5
Trang 3⇔ ữ − ữ + =
Đặt 3
2
x
t
= ữ , t> 0 ta có 2 3 2
t − t+ = ⇔ =t t = suy ra x=-1; x=1
0,25
0,5
0,25 4
b
a
c
Ta có (SAD) ⊥(ABCD CD), ⊥ AD⇒CD⊥(SAD)⇒CD⊥SA
SAD
∆ đều ⇒ DP⊥SA
0,5
0,5
Chứng minh SH ⊥(ABCD), 3
2
a
SH =
.
1 3
2
ABCD
S =a ,
3
3 6
S ABCD
a
0,25 0,25
0,5
Gọi G là tâm tam giác SAD, suy ra GA=GD=GS H là trung điểm AD
Kẻ đờng thẳng d vuông góc với (ABCD) tại O Ta có d và SH đồng
phẳng
Trong mp(d;SH) kẻ đờng thẳng qua G vuông góc SH cắt d tại I Ta có
IA=IS=ID; IA=IB=IC=ID Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD, bán kính là R=IA
Ta có GIOH là hình chữ nhật suy ra IO=GH= 3
6
a
Xét tam giác vuông AOI ta có 2 2 21
6
a
R IA= = AO +OI =
0,5
0,5
TXĐ D=(0;+∞), y' 1 1 1 x
−
= − = y' 0< ∀ ∈ +∞x (1; ) Suy ra hàm số nghịch biến với mọi x>1 (đpcm)
0,25
2 TXĐ: D=R
ln(x + + −x 2) (x + + =x 2) ln(x + −4) (x +4)
đặt u=x2+ +x 2,v x= 2+4, ( ) lnf t = t t− Có u, v>1 Phơng trình tơng
đơng f(u)=f(v)
Theo 1), do u, v>1 nên
Nếu u>v thì f(u)<f(v) => pt vô nghiệm
Nếu u<v thì f(u)>f(v) => pt vô nghiệm
Vậy pt có nghiệm <=> u=v
<=> x2+ + =x 2 x2+ ⇔ =4 x 2
0,25 0,25
0,25
Trang 4C©u
