Chứng minh rằng CD là đường trung trực của AB... kẻ các đoạn AD, BC chúng cắt nhau ở K.[r]
Trang 1Giải SBT Toán 7 bài: Ôn tập chương 2
Câu 1: Cho đoạn thẳng AB Vẽ các cung tâm A và B có cùng bán kính sao cho
chúng cắt nhau tại C và D Chứng minh rằng CD là đường trung trực của AB Lời giải:
Gọi H là giao
điểm của AB và
CD
Nối AC, AD, BC,
BD
Xét ΔACD vàACD và
ΔACD vàBCD, ta có:
AC = BC (bán
kính hai cung
tròn bằng nhau)
AD = BD
CD cạnh chung
Suy ra: ΔACD vàACD= ΔACD vàBCD (c.c.c)
Suy ra: C2 = C2 ̂(hai góc tương ứng)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Xét hai tam giác AHC và BHC Ta có:
AC = BC (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)C2 = C2 (chứng minh trên)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
CH cạnh chung
Suy ra: ΔACD vàAHC= ΔACD vàBHC(c.g.c)
Suy ra: AH = BH (hai cạnh tương ứng) (1)
Ta có: H1 = H2 (hai góc tương ứng)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)H1 + H2 =180° (hai góc kề bù)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Suy ra: H1 = H2 =90° => CD AB (2)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ⊥ AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra CD là đường trung trực của AB
Trang 2Câu 2: Cho tam giác ADE cân tại A Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao
cho DB = EC =1/2 DE
a, Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó?
b, Kẻ BM AD, kẻ CN AE Chứng minh rằng BM = CN⊥ AB (2) ⊥ AB (2)
c, Gọi I là giao điểm của MB và NC Tam giác IBC là tam giác gì? Chứng minh điều đó?
d, Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc BAC
Lời giải:
ΔACD vàADE cân tại A
nên D = E∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Xét ΔACD vàABD và
ΔACD vàACE, ta có:
AD = AE (gt)
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)D = E (chứng∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
minh trên)
DB=EC (gt)
Suy ra: ΔACD vàABD=
ΔACD vàACE (c.g.c)
Suy ra: AB = AC
(hai cạnh tương
ứng)
Vậy: ΔACD vàABC cân tại A
Xét hai tam giác vuông BMD và CNE, ta có:
(BMD) =(CNE) =90o
BD = CE (gt)
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)D = E (chứng minh trên)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Suy ra: ΔACD vàBMD= ΔACD vàCNE (cạnh huyền, góc nhọn)
Ta có: ΔACD vàBMD=ΔACD vàCNE (chứng minh trên)
Suy ra: DBM = ECN (hai góc tương ứng)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)DBM = IBC (đối đỉnh)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)ECN = ICB (đối đỉnh)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Trang 3Suy ra: IBC = ICB hay ΔACD vàIBC cân tại I∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Xét ΔACD vàABI và ΔACD vàACI, ta có:
AB = AC (chứng minh trên)
IB = IC (vì ΔACD vàIBC cân tại I)
AI cạnh chung
Suy ra: ΔACD vàABI= ΔACD vàAC I (c.c.c) => BAI = CAI ̂(hai góc tương ứng)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của góc BAC∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Câu 3: Cho hình dưới trong đó AE BC Tính AB biết AE = 4m; AC = 5m;⊥ AB (2)
BC = 9m
Lời giải:
Áp dụng định lý
pitago vào tam
giác vuông AEC ta
có:
AC2=AE2+EC2
=>EC2=AC2
-AE2=52-42
=25-16=9
=>EC=3M
Ta có: BC = BE + EC
BE = BC – EC = 9 – 3 = 6(m)
Áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông AEB, ta có:
AB2=AE2+EB2=42+62=16+36=52
Suy ra: AB = √52(m) ≈7,2m
Câu 4: Tìm các tam giác bằng nhau trong hình bên
Lời giải
ΔACD vàACB=ΔACD vàECD
(c.g.c)
Trang 4ΔACD vàABD=ΔACD vàEDB(c.c.c)
ΔACD vàABE=ΔACD vàEDA (c.c.c)
Câu 5: Tìm các tam giác cân trên hình dưới
Câu 6: Bạn Mai vẽ tia phân giác của một góc như sau: đánh dấu trên hai cạnh
của bốn góc bốn đoạn thẳng bằng nhau: OA = AB = OC + CD (hình dưới) kẻ các đoạn AD, BC chúng cắt nhau ở K Hãy giải thích vì sao OK là tia phân giác của góc O
Hướng dẫn: chứng minh rằng:
a, ΔACD vàOAD=ΔACD vàOCB
Trang 5b, ΔACD vàKAB=ΔACD vàKCD
Lời giải:
Xét ΔACD vàOAD
và ΔACD vàOCB
Ta có:
OA = OC
(gt)
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)O chung
OB(gt)
Suy ra:
ΔACD vàOAD=
ΔACD vàOCB
(c.g.c)
Ta có:
ΔACD vàOAD=ΔACD vàOCB
Suy ra: D =B(hai góc tương ứng)
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)C1 = A1 (hai góc tương ứng)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Lại có: C1+ C2 =180°(hai góc kề bù)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)A1+ A2=180°(hai góc kề bù)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Suy ra: C2 = A2∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Xét ΔACD vàKCD và ΔACD vàKAB, ta có:
B =D (chứng minh trên )
CD=AB (gt)
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)C2 = A2 (chứng minh trên)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
suy ra: ΔACD vàKCD= ΔACD vàKAB,(g.c.g)
=>KC=KA (hai cạnh tương ứng)
Xét ΔACD vàOCK và ΔACD vàOAK, ta có:
OC = OA (gt)
OK chung
KA = KC (chứng minh trên)
Trang 6Suy ra: ΔACD vàKCD = ΔACD vàKAB(c.c.c)
=> O1= O2̂(hai góc tương ứng)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Vậy OK là tia phân giác góc O
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BH AC Gọi D là một điểm thuộc⊥ AB (2) cạnh đáy BC Kẻ DE AC, DE AB.⊥ AB (2) ⊥ AB (2)
Chứng minh rằng DE + DF = BH
Lời giải:
Kẻ DK BH⊥ AB (2)
Ta có: BH
AC(gt)
⊥ AB (2)
Suy ra: DK // AC
(hai đường thẳng
cùng vuông góc
với đường thẳng
thứ ba thì song
song)
=> ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)KDB =C
(hai góc đồng vị)
Vì ΔACD vàABC cân tại A nên B = C (tính chất tam giác cân)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng) ∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Suy ra: KDB =B∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Xét hai tam giác vuông BFD và DKB, ta có:
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)BFD = DKB∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
BD cạnh huyền chung
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)FBD = KDB (chứng minh trên)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Suy ra:ΔACD vàBFD=ΔACD vàDKB(cạnh huyền góc nhọn)
=> DF = BK (hai cạnh tương ứng)(1)
Nối DH XétΔACD vàDEHvàΔACD vàDKH, ta có:
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)DEH = DKH =90°∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
DH cạnh huyền chung
∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)EHD = KDH (hai góc so le trong)∠C2 =∠C2 ̂(hai góc tương ứng)
Suy ra:ΔACD vàDEH=ΔACD vàDKH( cạnh huyền , góc nhọn)
Trang 7Suy ra: DE = HK ( hai cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác : BH = BK + KH (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: DF = DE = BH
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB/AC=3/4 và BC = 15cm Tính độ
dài AB, AC
Lời giải:
