Câu 9: Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần. (không kể đường thẳng d): phần chứa điểm A ký hiệu là PA, phần chứa điểm B ký hiệu là PB (hình bên)[r]
Trang 1Giải SBT Toán 7 bài: Ôn tập chương 3 Câu 1: Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối của tia BC lấy điểm M
sao cho BM = BA Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA
a, Hãy so sánh các góc AMB và ANC
b, Hãy so sánh các độ dài AM và AN
Lời giải:
a, Trong
ΔABC, taABC, ta
có AB <
AC
Suy ra:
(ABC)
∠(ABC)
> (ACB) (đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (1)∠(ABC)
Ta có: AB = BM (gt) ΔABC, taABM cân tại B⇒ ΔABM cân tại B
Suy ra: (AMB) = A1(tính chất tam giác cân)∠(ABC) ∠(ABC)
Trong ΔABC, taABM, ta có (ABC) là góc ngoài tại đỉnh B∠(ABC)
Suy ra: (ABC) = (AMB) + A1∠(ABC) ∠(ABC) ∠(ABC)
Suy ra: (AMB) = 1/2 (ABC)∠(ABC) ∠(ABC) (2)
Lại có: AC = CN (gt) ΔABC, taACN cân tại C⇒ ΔABM cân tại B
Suy ra: (ANC) = A2(tính chất tam giác cân)∠(ABC) ∠(ABC)
Trong ΔABC, taACN, ta có (ACB) là góc ngoài tại đỉnh C∠(ABC)
Suy ra: (ACB) = (ANC) + A2∠(ABC) ∠(ABC) ∠(ABC)
Suy ra: (ANC) = 1/2 (ACB) (3)∠(ABC) ∠(ABC)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: (AMB) > (ANC) ∠(ABC)
b, Trong ΔABC, taAMN, ta có: (AMB) > (ANC)
Suy ra: AN > AM (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
Câu 2: Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH Chứng minh rằng: HB
< HC, (HAB) < (HAC)(xét hai trường hợp: B nhọn và B tù).∠(ABC) ∠(ABC)
Lời giải:
Ta có: AB < AC (gt)
Suy ra: HB < HC (đường xiên lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn)
* Trường
hợp
Bnhọn
(hình
83a)
Trong ΔABC, ta
ABC, ta
có: AB <
AC
Suy ra: B > C (đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)∠(ABC) ∠(ABC)
Trong ΔABC, ta AHB, ta có (AHB) = 90∠(ABC) o
Suy ra: B + (HAB) = 90∠(ABC) ∠(ABC) o (tính chất tam giác vuông) (1)
Trang 2Trong ΔABC, ta AHC, ta có (AHC) = 90∠(ABC) o
Suy ra: C + (HAC) = 90o (tính chất tam giác vuông)∠(ABC) ∠(ABC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: B + (HAB) = C + (HAC)∠(ABC) ∠(ABC) ∠(ABC) ∠(ABC)
Mà B > C nên (HAB) < (HAC)∠(ABC) ∠(ABC) ∠(ABC) ∠(ABC)
* Trường hợp Btù (hình 83b)
Vì điểm B nằm giữa H và C nên (HAC) = (HAB) + (BAC)∠(ABC) ∠(ABC) ∠(ABC)
Vậy (HAB) < (HAC).∠(ABC) ∠(ABC)
Câu 3: Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm
đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm
Lời giải:
Ta có: 1 = 3 - 2 = 4 - 3 = 5 - 4
Suy ra: trong 3 cạnh của tam giác không có cạnh nào có độ dài 1cm
* Nếu cạnh nhỏ nhất là 2cm
Ta có: 4 - 3 < 2 < 4 + 3; 5 - 4 < 2 < 5 + 4
Suy ra: hai cạnh kia là 3cm và 4cm hoặc 4cm và 5cm
* Nếu cạnh nhỏ nhất là 3cm
Ta có: 5 - 4 < 3 < 5 + 4; 3 = 5 - 2; 3 > 4 - 2
Như vậy hai cạnh kia là 5cm và 4cm
* Không có trường hợp cạnh nhỏ nhất là 4cm
Vậy có thể vẽ được ba tam giác với độ dài các cạnh là:
2cm; 3cm; 4cm
2cm; 4cm; 5cm
3cm; 4cm; 5cm
Câu 4: Cho bốn điểm A, B, C, D như hình bên Hãy tìm một điểm M sao cho
tổng MA + MB + MC + MD là nhỏ nhất
Lời giải:
* Nếu M
không trùng
với giao điểm
của AC và
BD
Trong
ΔABC, taAMC, ta có:
MA + MC >
AC (bất đẳng
thức tam giác)
Trong
ΔABC, taMBD, ta có:
MB + MD >
BD (bất đẳng
thức tam giác)
* Nếu M
trùng với giao
điểm AC và
BD
Trang 3Ta có: MA + MC = AC
MB + MD = BD
Suy ra: MA + MC ≥ AC
MB + MD ≥ BD (dấu bằng xảy ra khi M trùng với giao điểm của AC và BD) Suy ra: MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD
Vậy MA + MB + MC + MD = AC + BD bé nhất khi đó M là giao điểm của AC
và BD
Câu 5: Cho hình sau trong đó G la trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh
rằng:
a SAGC = 2SGMC
b SGMB = SGMC
c SAGB = SAGC = SBGC
Lời giải:
a, Vì G là trung
điểm của ΔABC, taABC nên
GA = 2GM (tính
chất đường trung
tuyến)
Ta có ΔABC, taAGC và
ΔABC, taGMC có chung
đường cao kẻ từ đỉnh C đến AM, đồng thời cạnh đáy GA = 2GM
Suy ra: SAGC = 2SGMC (1)
b, Ta có ΔABC, taGMB và ΔABC, taGMC có cạnh đáy MB = MC, chung đường cao kẻ từ đỉnh
G đến cạnh BC
Suy ra: SGMB = SGMC (2)
c, Ta có ΔABC, taAGB và ΔABC, taGMB có chung đường cao kẻ từ đỉnh B đến cạnh AM, đồng thời AG = 2GM (chứng minh trên)
Suy ra: SAGB = 2SGMB (3)
Mà SBGC = SGMB + SGMC = 2SGMB (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: SAGB = SAGC = SBGC
Câu 6: Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A thuộc cạnh Ox, điểm B thuộc cạnh
Oy
a, Hãy tìm điểm M nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh Ox và Oy nên M thuộc tia phân giác Oz của (xOy)∠(ABC)
b, Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a? Lời giải:
a, Vì điểm M nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh Ox và Oy nên M thuộc tia phân giác Oz của (xOy).∠(ABC)
Vì điểm M cách đều 2 điểm A và B nên M thuộc đường trung trực của AB Vậy M là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB và tia phân giác (xOy)
∠(ABC)
Trang 4b, Nếu OA =
OB thì ΔABC, taOAB
cân tại O
Khi đó tia phân
(xOy) cũng
∠(ABC)
là đường trung
trực của AB
Vậy bất kì
điểm M nào
nằm trên tia
phân giác của (xOy) đều thỏa mãn điều kiện trong câu a).∠(ABC)
Câu 7: Cho góc xOy khác góc bẹt Dùng một chiếc thước thẳng có chia
khoảng, hãy nêu cách vẽ tia phân giác của góc xOy
Lời giải:
- Dùng thước chia
khoảng, trên Ox lấy
điểm A, trên Oy lấy
điểm B sao cho OA
= OB
- Nối AB
- Dùng thước chia
khoảng để đo đoạn
AB, lấy trung điểm
M của AB
- Kẻ tia OM
Vì tam giác OAB
cân tại O và OM là đường trung tuyến nên OM cũng là đường phân giác của (AOB)
∠(ABC)
Vậy OM là tia phân giác của (xOy).∠(ABC)
Câu 8: Cho hình dưới trong đó giao điểm O của hai đường thẳng a và b nằm
ngoài phạm vi tờ giấy Chỉ vẽ hình trong phạm vi tờ giấu, hãy vẽ đường thẳng
d đi qua A sao cho đường thẳng d cũng đi qua O nếu kéo dài đường thẳng d ra ngoài phạm vi tờ giấy
Lời giải:
- Kẻ AH ⊥ a a
kéo dài HA cắt b
tại B
- Kẻ AH ⊥ a b
kéo dài KA cắt a
tại C
Trang 5- Kẻ AI BC, đường thẳng AI đi qua O⊥ a
Vì tam giác OBC có hai đường cao BH và CK cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác OBC
Khi đó OA là đường cao thứ ba nên OA BC.⊥ a
Vì AI BC nên đường thẳng OA và đường thẳng AI trùng nhau hay đường⊥ a thẳng AI đi qua O
Câu 9: Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần
(không kể đường thẳng d): phần chứa điểm A ký hiệu là PA, phần chứa điểm B
ký hiệu là PB (hình bên)
a, Gọi M là một điểm của PA Chứng minh rằng MA < MB
b, Gọi N là một điểm của PB Chứng minh rằng NB < NA
c, Gọi K là một điểm sao cho KA < KB Hỏi rằng K nằm ở đâu: trong PA, PB hay trên d?
Lời giải:
a, Nối MA, MB
Gọi C là giao
điểm của MB với
đường thẳng d,
nối CA
Ta có: MB = MC
+ CB
mà CA = CB (tính
chất đường trung
trực)
Suy ra: MB = MC + CA (1)
Trong ΔABC, taMAC ta có:
MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MA < MB
b, Nối NA,
NB Gọi D là
giao điểm
của NA với
đường thẳng
d, nối DB
Ta có: NA =
ND + DA
mà DA = DB
(tính chất
đường trung
trực)
Suy ra: NA = ND + DB (3)
Trong ΔABC, taNDB, ta có:
NB < ND + DB (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: NA > NB
Trang 6c, Theo câu a), ta có: MA < MB
Mà M là một điểm của PA nên K là một điểm của PA