Các đại lượng hình học trong dạy học toán tiểu học luận án tiến sĩ khoa học giáo dục chuyên ngành lí luận và phương pháp dạy học bộ môn toán

Đánh giá dạy học qua trải nghiệm phù hợp với các yếu tố hình học ở tiểu học, đặc điểm nhận thức của HS tiểu học, tác giả Đoàn Thu Hằng [33] minh họa các bước dạy học qui tắc tính diện tí

Trần Đức Thuận

CÁC ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC

TRONG DẠY HỌC TOÁN TIỂU HỌC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2020

Trần Đức Thuận

CÁC ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC

TRONG DẠY HỌC TOÁN TIỂU HỌC

Chuyên ngành : Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số : 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 PGS.TS NGUYỄN CHÍ THÀNH

2 TS NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai khác công bố trong bất kì công trình nào

Nghiên cứu sinh

Trần Đức Thuận

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT vii

DANH MỤC CÁC BẢNG viii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ ix

MỞ ĐẦU 1

Lí do chọn đề tài 1

1.1 Các đại lượng hình học là nội dung quan trọng trong chương trình Toán cấp tiểu học và được quan tâm trong nhiều nghiên cứu 1

1.2 Hoạt động trải nghiệm và mô hình hóa toán học xuất hiện trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 và nhiều nghiên cứu gần đây 7

Mục đích nghiên cứu 14

Nhiệm vụ nghiên cứu 14

Phương pháp nghiên cứu 15

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 16

Giả thuyết nghiên cứu 16

Cấu trúc của luận án 16

Những luận điểm bảo vệ 17

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu 17

Chương 1 Cơ sở lí luận 19

1.1.Lí thuyết học tập trải nghiệm 19

1.1.1.Học tập trải nghiệm là phù hợp và cần thiết ở tiểu học 19

1.1.2.Các đặc điểm cơ bản của học tập trải nghiệm 20

1.1.3.Chu trình học tập trải nghiệm 23

1.2.Mô hình hóa toán học 25

1.2.1.Một số khái niệm cơ bản 25

1.2.2.Mô hình hóa toán học 27

1.2.3.Lợi ích của mô hình hóa toán học trong dạy học Toán 28

1.3.Lí thuyết Didactic Toán 30

1.3.1.Một số khái niệm thường dùng 30

1.3.2.Lí thuyết Nhân học trong Didactic 33

1.4.Kết luận chương 1 41

Chương 2 Đặc trưng tri thức luận của các đại lượng hình học và lưới tổ chức toán học tham chiếu 44

2.1.Khái niệm đại lượng và phép đo đại lượng 44

2.1.1.Khái niệm đại lượng 44

2.1.2.So sánh hai đối tượng xét trên cùng một đại lượng 45

2.1.3.Một số phép toán với các đại lượng 46

2.1.4.Phép đo đại lượng 47

2.1.5.Khái niệm đại lượng trong lịch sử tiến triển của toán học 48

2.2.Độ dài, diện tích, thể tích là các đại lượng hình học 49

2.2.1.Định nghĩa khái niệm độ dài một đường 49

2.2.2.Định nghĩa khái niệm diện tích một hình 55

2.2.3.Định nghĩa khái niệm thể tích một hình 57

2.3.Những bài toán gắn liền với các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích 59

2.3.1.Bài toán tìm độ dài, diện tích, thể tích 59

2.3.2.Bài toán so sánh độ dài, diện tích, thể tích 63

2.3.3.Bài toán dựng hình 68

2.3.4.Vấn đề tính toán, đổi đơn vị đo đại lượng 69

2.4.Kết luận chương 2 70

2.4.1.Độ dài, diện tích, thể tích là các đại lượng hình học nảy sinh từ thực tiễn 70

2.4.2.Một số chướng ngại gắn với các đại lượng hình học 72

2.4.3.Lưới tổ chức toán học tham chiếu 73

Chương 3 Nghiên cứu quan hệ thể chế với các đại lượng hình học 79

3.1.Chương trình môn Toán cấp tiểu học hiện hành ở Việt Nam 79

3.1.1.Mục tiêu của giáo dục toán học cấp tiểu học hiện hành 79

3.1.2.Các đại lượng hình học và những nội dung liên quan trong chương trình 81

3.2.Các đại lượng hình học trong SGK Toán tiểu học hiện hành Việt Nam 83

3.2.1.Sự hình thành khối tri thức cho các tổ chức toán học liên quan đến các đại lượng hình học 84

3.2.2.Các tổ chức toán học liên quan đến các đại lượng hình học 96

3.2.3.Kết luận về bộ SGK cấp tiểu học Việt Nam hiện hành 108

3.3.Các đại lượng hình học và quá trình thay SGK Toán tiểu học ở Việt Nam 110

3.3.1.Thay đổi về phân phối chương trình liên quan các đại lượng hình học 111

3.3.2.Thay đổi về cách xây dựng kiến thức liên quan các đại lượng hình học 112

3.3.3.So sánh các tổ chức toán học liên quan các đại lượng hình học 114

3.3.4.Kết luận về sự thay đổi so với trước đây 116

3.4.Các đại lượng hình học: so sánh thể chế dạy học Toán tiểu học Việt Nam với Pháp và Singapore 117

3.4.1.So sánh phân phối chương trình liên quan các đại lượng hình học 117

3.4.2.So sánh cách xây dựng kiến thức về các đại lượng hình học 118

3.4.3.So sánh các tổ chức toán học liên quan các đại lượng hình học 127

3.4.4.Kết luận về so sánh thể chế dạy học Việt Nam với Pháp và Singapore 134

3.5.Kết luận chương 3 135

Chương 4 Biện pháp sư phạm và thực nghiệm 137

4.1.Một số biện pháp sư phạm 137

4.1.1.Cơ sở đề xuất biện pháp sư phạm 137

4.1.2.Một số biện pháp sư phạm 138

4.1.3.Kết luận 144

4.2.Thực nghiệm 1: bài toán tính thể tích 144

4.2.1.Mục tiêu thực nghiệm 144

4.2.2.Đối tượng, phương pháp thực nghiệm 144

4.2.3.Nội dung kịch bản thực nghiệm 145

4.2.4.Phân tích tiên nghiệm bài toán thực nghiệm 146

4.2.5.Kết quả thực nghiệm, phân tích hậu nghiệm 148

4.2.6.Kết luận 150

4.3.Thực nghiệm 2: HS lớp 5 và bài toán tìm phương án tối ưu 151

4.3.1.Mục tiêu thực nghiệm 151

4.3.2.Đối tượng, phương pháp thực nghiệm 151

4.3.3.Nội dung thực nghiệm 151

4.3.4.Phân tích tiên nghiệm 152

4.3.5.Kết quả thực nghiệm, phân tích hậu nghiệm 155

4.3.6.Kết luận 158

4.4.Thực nghiệm 3: GV tiểu học và bài toán tìm phương án tối ưu 158

4.4.1.Mục tiêu thực nghiệm 158

4.4.2.Đối tượng, phương pháp thực nghiệm 158

4.4.3.Nội dung kịch bản thực nghiệm 158

4.4.4.Kết quả thực nghiệm, phân tích hậu nghiệm 160

4.4.5.Kết luận 164

4.5.Thực nghiệm 4: bài toán về chu vi và diện tích của hình 164

4.5.1.Mục tiêu thực nghiệm 164

4.5.2.Đối tượng, phương pháp thực nghiệm 164

4.5.3.Nội dung kịch bản thực nghiệm 165

4.5.4.Phân tích tiên nghiệm 167

4.5.5.Kết quả thực nghiệm, phân tích hậu nghiệm 169

4.5.6.Kết luận 174

4.6.Kết luận chương 4 174

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 176

Kết luận 176

1.1 Mối liên hệ giữa các lí thuyết tham chiếu 176

1.2 Một số đặc trưng tri thức luận của các đại lượng hình học 176

1.3 Mối quan hệ thể chế dạy học tiểu học với các đại lượng hình học 177

Kiến nghị 178

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 179

TÀI LIỆU THAM KHẢO 181

PHỤ LỤC 193

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

76VNx Sách giáo khoa Toán lớp x, giai đoạn từ 1976 111 81VNx Sách giáo khoa Toán lớp x, giai đoạn từ 1981 111 91VNx Sách giáo khoa Toán lớp x, giai đoạn từ 1991 111 GHVNx Sách Giáo viên Toán lớp x, giai đoạn hiện hành 83

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Khối lượng riêng  của một số chất liệu [29, tr 231] [55, tr 317] 62

Bảng 2.2 Lưới tổ chức toán học tham chiếu về các đại lượng hình học 78

Bảng 3.1 Các đại lượng hình học trong chương trình tiểu học hiện hành 82

Bảng 3.2 Thống kê các kiểu nhiệm vụ theo lưới tổ chức toán học tham chiếu 107

Bảng 3.3 Lưới tổ chức toán học tham chiếu và SGK các nước 127

Bảng 4.1 Các câu trả lời dự kiến 154

Bảng 4.2 Các chiến lược được chọn bởi 58 HS tiểu học 155

Bảng 4.3 Bảng dự đoán phương án trả lời câu 1 thực nghiệm 4 168

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ

Hình 0.1 Sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu 15

Hình 1.1 Chu trình học tập trải nghiệm 24

Hình 1.2 Quá trình mô hình hóa toán học [17, tr 7] 28

Hình 2.1 Định nghĩa độ dài đoạn thẳng với khái niệm giới hạn 52

Hình 2.2 Định nghĩa diện tích hình tròn từ giới hạn [1, tr 129] 56

Hình 2.3 Định nghĩa diện tích hình với khái niệm giới hạn 56

Hình 2.4 Cách tính diện tích hình tròn của Kepler 61

Hình 2.5 Cách chọn các phần tử vô ước của Cavalieri và Torricelli 61

Hình 2.6 Hai hình bình hành ABCD, EBCF cùng diện tích 65

Hình 2.7 P1, P2 và P3 đẳng hợp 66

Hình 2.8 Cắt - ghép tạo các hình vừa cùng diện tích, vừa cùng chu vi 70

Hình 2.9 Sơ đồ giao hoán từ định nghĩa khái niệm đại lượng 71

Hình 2.10 Hình chữ nhật và hình bình hành cùng diện tích 75

Hình 3.1 Giới thiệu độ dài, diện tích, thể tích trong bộ sách hiện hành 84

Hình 3.2 Mô hình mặt cắt ngang chiếc hộp 86

Hình 3.3 Các bảng đơn vị đo độ dài, diện tích, thể tích trong bộ sách hiện hành 88

Hình 3.4 Giới thiệu đơn vị đo độ dài dm trong HHVN2 [36, tr 7] 89

Hình 3.5 Giới thiệu đơn vị đo diện tích, thể tích trong HHVN5 90

Hình 3.6 Xây dựng qui tắc tính diện tích hình bình hành trong sách HHVN4 93

Hình 3.7 Mô hình thực tế và hình vẽ trong bài “Thể tích hình hộp chữ nhật” 94

Hình 3.8 Cách vẽ hình chữ nhật trong sách HHVN4 95

Hình 3.9 So sánh độ dài [35, tr 97] và so sánh diện tích [37, tr 150] 97

Hình 3.10 So sánh diện tích bằng cách tách - ghép [37, tr 150] 97

Hình 3.11 So sánh diện tích các hình trong HHVN5 [39, tr 94] 98

Hình 3.12 So sánh chu vi, diện tích [37, tr 154], thể tích [39, tr 115] 99

Hình 3.13 So sánh số đo độ dài trong HHVN3 [37, tr 46] 100

Hình 3.14 Đo độ dài đoạn thẳng với thước [35, tr 119] 101

Hình 3.15 Tìm diện tích bằng cách đếm [37, tr 151] 101

Hình 3.16 Tính chu vi, diện tích không cần hình minh họa [37, tr 152] 102

Hình 3.17 Tính diện tích có dùng tính chất cộng tính [39, tr 105] 102

Hình 3.18 Tính thể tích có dùng tính chất cộng tính [39, tr 121] 102

Hình 3.19 Tính “thể tích bể” trong HHVN5 [39, tr 128] 103

Hình 3.20 Tính “thể tích trong lòng bể” trong GHVN5 [44, tr 206] 103

Hình 3.21 Đọc-viết số đo diện tích [37, tr 151] 107

Hình 3.22 Hoạt động bị lược bớt trong HHVN3 112

Hình 3.23 Giới thiệu thể tích trong sách 81VN5, 91VN5 và HHVN5 113

Hình 3.24 Hình minh họa khi giới thiệu dm3 trong hai bộ sách gần đây 113

Hình 3.25 Diện tích hình tròn, thể tích hình hộp chữ nhật trong 91VN5 114

Hình 3.26 Cách sử dụng bảng để đổi đơn vị đo trong 76VN4, 76VN5 115

Hình 3.27 Đo chiều dài với nhiều đơn vị đo khác nhau 120

Hình 3.28 Giới thiệu chu vi và hai hình có cùng chu vi, khác diện tích 120

Hình 3.29 Giới thiệu diện tích trong sách của Pháp và Singapore 121

Hình 3.30 Giới thiệu thể tích trong sách Pháp và Singapore 122

Hình 3.31 Phân biệt thể tích và dung tích trong sách Singapore 123

Hình 3.32 Thông tin trên nhãn hộp thức ăn trong sách Pháp 123

Hình 3.33 Thước dây và đo độ dài đường cong trong SGK Singapore 124

Hình 3.34 Thiết lập qui tắc tính chu vi hình tròn trong SGK Việt Nam và Pháp 125

Hình 3.35 Xây dựng qui tắc tính diện tích hình tròn trong SGK Singapore 126

Hình 3.36 Đơn vị diện tích u trong sách của Pháp 128

Hình 3.37 Xác định các hình cùng diện tích trong SGK Pháp [136, tr 19] 128

Hình 3.38 Hình tam giác là đơn vị đo diện tích trong SGK Pháp [136, tr 22] 128

Hình 3.39 Hình A và F vừa cùng chu vi, vừa cùng diện tích [136, tr 160] 129

Hình 3.40 Hai hình cùng diện tích, cùng chu vi [116, tr 164] 129

Hình 3.41 Đo độ dài với thước gãy, hỏng trong SGK Pháp 130

Hình 3.42 Các loại bình đo trong sách Cap Maths CM1 131

Hình 3.43 Thể tích của nước và dung tích của bể nước [120, tr 180] 131

Hình 3.44 Gấp giấy, dùng giấy can để vẽ hình bằng nhau 132

Hình 3.45 Vẽ hình cùng diện tích bằng kĩ thuật tách - ghép 132

Hình 3.46 Tách - ghép, thêm - bớt để tạo hình mới cùng chu vi 133

Hình 4.1 Các khối gỗ cần tính thể tích được dùng trong thực nghiệm 145

Hình 4.2 HS chỉ đo kích thước mặt ngoài dù khối xanh rỗng ruột 148

Hình 4.3 Hai khối “vừa khít” khiến HS bối rối 149

Hình 4.4 Lắp ghép các khối thành những hình dạng khác nhau 150

Hình 4.5 Chiến lược S TSDT được HS ưu tiên hơn S HH 156

Hình 4.6 Nhiều HS chấp nhận kết quả mâu thuẫn vì “hợp lí” 157

Hình 4.7 Các chiến lược được chọn bởi GV tiểu học trước và sau trải nghiệm 160

Hình 4.8 Hầu hết GV mong đợi chiến lược S TSDT 161

Hình 4.9 Sau trải nghiệm, 1 GV tìm được cách cắt 10 lá thăm 161

Hình 4.10 Sau trải nghiệm, hầu hết GV mong đợi S TSC hơn S HH 162

Hình 4.11 GV tiểu học quan tâm hơn đến phương diện hình của diện tích 163

Hình 4.12 Tích cực tìm kiếm phương án tối ưu 163

Hình 4.13 Cắt - ghép tạo hình vừa cùng diện tích, vừa cùng chu vi 169

Hình 4.14 Phương án được 9 GV tiểu học chọn cho câu 1 169

Hình 4.15 Sai lầm xuất hiện khi trả lời câu hỏi 1m 170

Hình 4.16 Vẽ được hình cùng chu vi nhưng khác diện tích 170

Hình 4.17 Vẽ được hình cùng diện tích nhưng khác chu vi 171

Hình 4.18 Hai hình cùng chu vi, cùng diện tích là hai hình bằng nhau 171

Hình 4.19 Tạo những hình cùng chu vi từ đoạn dây không co dãn 172

Hình 4.20 Trải nghiệm cắt - ghép tạo hình cùng diện tích và chu vi 173

Hình 4.21 Những sản phẩm khác sau hoạt động trải nghiệm 174

ra từ trung học cơ sở hay từ tiểu học? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu kĩ hơn về diện tích, thể tích nói riêng, các đại lượng hình học nói chung trong dạy học Toán tiểu học

Trong Chương trình giáo dục phổ thông 2006 1, nội dung môn Toán cấp tiểu học được chia thành 4 mạch kiến thức: số học; đại lượng và đo đại lượng; yếu

tố hình học, giải bài toán có lời văn [11, tr 44-50] Chúng tôi nhận thấy các thuật

ngữ độ dài, chu vi, diện tích, thể tích xuất hiện trong cả hai mạch kiến thức: đại lượng và đo đại lượng, yếu tố hình học và gọi chung đó là các đại lượng hình học

như cách gọi của các tác giả Nguyễn Phụ Hy, Bùi Thị Hường [57, tr 13] So với Chương trình năm 2006, Chương trình giáo dục phổ thông 2018 2 cấu trúc lại nội dung môn Toán thành 3 mạch kiến thức xuyên suốt từ lớp 1 đến hết lớp 12, cụ thể:

số, đại số và một số yếu tố giải tích; hình học và đo lường; thống kê và xác suất

1 Chương trình giáo dục phổ thông 2006 được ban hành theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 05 tháng 5 năm 2006 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo

Trong Chương trình năm 2018, độ dài, diện tích, thể tích được đưa vào phần đo lường Mặc dù có sự khác biệt về cấu trúc các mạch kiến thức, cả chương trình hiện hành [11, tr 114] và chương trình mới [15, tr 16] đều khẳng định dạy học những đại lượng cơ bản này và đo lường chúng là một trong những nội dung trọng tâm, quan trọng nhất của giáo dục toán học

Không chỉ có vị thế quan trọng trong chương trình Toán cấp tiểu học, các đại lượng hình học còn có ý nghĩa quan trọng trong lịch sử hình thành, phát triển Toán học, thể hiện qua những kết quả nghiên cứu tri thức luận về các đại lượng hình học Tác giả Baltar [128, tr 13-32] khẳng định khái niệm diện tích gắn liền với ba bài toán đặc trưng là xác định số đo, so sánh diện tích, cầu phương ngay từ thời cổ đại Có ảnh hưởng quan trọng đến sự hình thành và phát triển của hình học, số học, phép tính vi tích phân, lí thuyết độ đo nhưng khái niệm diện tích chỉ được định nghĩa một cách chính xác bởi lí thuyết độ đo từ thế kỉ XIX

Đối với bài toán so sánh diện tích và cầu phương, tác giả Baltar [128, tr 16]

và Pressiat [139] giới thiệu hai cách tiếp cận: cách tiếp cận hình học với lí thuyết đẳng hợp; cách tiếp cận gắn với số Tuy nhiên, theo định lí Dehn, chỉ lí thuyết đẳng hợp là chưa đủ để tiếp cận thể tích các khối đa diện [139, tr 293] Với khái niệm độ dài, các tác giả Bessot, Eberhard [129] giới thiệu cách tiếp cận từ cấu trúc của tập hợp các đối tượng được đánh dấu và hàm độ đo, tương ứng với mô hình định vị và

đo lường

Với sự ra đời của lí thuyết độ đo, các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích được định nghĩa khi xây dựng được hàm độ đo phù hợp từ tập hợp các đối tượng hình học vào tập hợp các số thực không âm, thỏa mãn các tính chất cộng tính, bất biến qua phép dời hình Tùy theo lựa chọn đơn vị đo là đoạn thẳng, hình vuông, hình lập phương mà hàm độ đo tương ứng cho phép định nghĩa khái niệm độ dài, diện tích, thể tích Các tác giả Perrin-Glorian [138, tr 10], Baltar [128, tr 23] xây dựng quan

hệ tương đương các hình cùng số đo diện tích Diện tích của hình A được định nghĩa là lớp tương đương chứa A, không phụ thuộc vào việc chọn hình đơn vị

Tương tự, các khái niệm độ dài, thể tích được định nghĩa gắn với lớp tương đương, không phụ thuộc vào hình đơn vị Khi đó, các khái niệm độ dài, diện tích cần được phân biệt ở ba phương diện: phương diện hình với các hình dạng; phương diện số với các độ đo; phương diện đại lượng với các lớp tương đương [128, tr 80-81]

Về phương diện chuyển hóa sư phạm, vị trí của các đại lượng hình học và đặc trưng trong mỗi thể chế dạy học, chúng tôi tìm được nhiều công trình nghiên cứu giá trị Qua bài báo của tác giả Perrin-Glorian [138, tr 12-31], chúng ta có thể thấy

rõ vấn đề dạy học đo lường và đại lượng cấp tiểu học và trung học cơ sở ở Pháp trước năm 1990 Đặc trưng của giai đoạn 1887 đến 1945 là tính thực tế, dạy học đo

lường gắn với số thập phân Giai đoạn 1945 đến 1969 phân biệt số cụ thể và số trừu tượng, phân biệt số và đại lượng, nhưng có sự lẫn lộn các phép tính trên đối tượng

và đại lượng Ở giai đoạn 1969 đến 1978, đo lường có sự khác biệt giữa thực tiễn và toán học, đồng nhất số đo đại lượng với giá trị số không kèm đơn vị đo Đây cũng là

giai đoạn xuất hiện từ diện tích và đơn vị đo không chuẩn Giai đoạn từ 1978, thuật ngữ đo lường được sử dụng với ý nghĩa vật lí, phân biệt đại lượng đo lường và đại lượng định vị Ba kiểu hoạt động là: so sánh và phân loại trước khi sử dụng dụng cụ

đo lường; thiết kế các số đo khác nhau và xác định một chuẩn, từ tùy ý đến thông thường; tính chất cộng tính của các đại lượng Từ năm 1980, chương trình tiểu học của Pháp xem xét diện tích như bất biến của một lớp các bề mặt, phân biệt diện tích

bề mặt với số đo Tác giả phân biệt: các đơn vị đo lường, các dụng cụ đo lường (lấp đầy bề mặt, sử dụng công thức), đo lường theo nghĩa ánh xạ toán học hiện đại Nghiên cứu về dạy học khái niệm diện tích ở Pháp và Ý, tác giả Céli [131] nhận thấy công thức tính diện tích hình phẳng có vai trò cầu nối giữa hình học và số học Tác giả Chambris [132] nghiên cứu mối quan hệ giữa đại lượng, số và phép toán trong chương trình Toán tiểu học ở Pháp Tác giả Anwandter-Cuellar [127] nghiên cứu vị trí và vai trò của các đại lượng đối với số học, hàm số và hình học trong chương trình cấp trung học cơ sở ở Pháp Ở Việt Nam, tác giả Dương Hữu

phân số ở tiểu học Tác giả Vũ Văn Tám [79] chỉ ra một số điểm tương đồng, khác biệt về mục tiêu, cấu trúc, nội dung dạy học Hình học cấp tiểu học giữa Việt Nam

và Singapore

Một số chướng ngại, sai lầm thường gặp cũng được đề cập trong những công trình đã công bố Tác giả Baltar [128, tr 17-18] nhắc đến nghịch lí nảy sinh liên quan khái niệm vô hạn, liên tục trong cách tính diện tích của Cavalieri ở thế kỉ XVII Tác giả Brousseau [130] nhắc đến đặc trưng phức tạp của khái niệm đo lường Đối tượng được đo lường có thể là những sự vật cụ thể (như cái bàn), hoặc

đã được toán học hóa (như hình chữ nhật), khái niệm hóa (như khoảng thời gian) Mặt khác, tương ứng với cùng một đối tượng có nhiều đại lượng như diện tích, khối lượng, dung tích Sự phức tạp của đo lường còn liên quan đến giá trị đặc trưng bởi lớp tương đương mà không phụ thuộc vào đơn vị đo, liên quan đến khả năng tồn tại nhiều phép đo, hàm độ đo, độ chính xác của phép đo, giá trị đo, số đo cụ thể tùy vào đơn vị đo được chọn Đặc trưng phức tạp này cũng được đề cập trong luận án của các tác giả Chambris [132, tr 126] và Anwandter-Cuellar [127, tr 44] Theo đó, việc định nghĩa đại lượng trong dạy học là một nhiệm vụ khó khăn, khái niệm đại lượng và các chức năng của nó trong toán học vẫn còn bị lẫn lộn Thậm chí, vào cuối thế kỉ XIX, các đại lượng biến mất khỏi toán học, tham gia lĩnh vực vật lí học Tác giả Perrin-Glorian [138, tr 31] đã chỉ ra một số khó khăn và sai lầm thường gặp

ở HS trong dạy học đại lượng diện tích:

– Hình đơn vị thường có hình dạng cụ thể Số đo diện tích của mặt S phụ thuộc vào khả năng lấp đầy mặt S bởi hình đơn vị đó HS có thể gặp khó khăn khi biểu thị diện tích một hình tam giác bằng cm2 vì không thể tạo được hình tam giác

– Mở rộng công thức cho những tình huống mà kích thước các cạnh không còn giá trị như trường hợp hình bình hành, hình tam giác

Tác giả Perrin-Glorian [138, tr 32-35] còn đề xuất ba giả thuyết:

(H 1 ) Sự phát triển trong dạy học khái niệm diện tích như một đại lượng giúp HS thiết lập mối quan hệ cần thiết giữa phạm vi hình và phạm vi số

(H 2 ) Việc đồng nhất quá sớm đại lượng và số sẽ thúc đẩy sự nhầm lẫn giữa các đại lượng khác nhau (ở đây là diện tích và độ dài)

(H 3 ) Trong phạm vi hình học, sự tương tác giữa quan điểm tĩnh và động là cần thiết trong việc khái niệm hóa đại lượng diện tích và phân biệt với độ dài

Góp phần củng cố ba giả thuyết trên, tác giả Baltar [128, tr 83-93] dựa vào những tình huống tham chiếu (so sánh, tính và đổi đơn vị, dựng hình) để thiết kế một số tình huống dạy học khái niệm chu vi và diện tích với sự hỗ trợ của phần mềm hình học động Cabri Geometry Quan tâm một trường hợp đặc biệt của tình huống so sánh, tác giả Céli [131] giới thiệu kiểu nhiệm vụ “chứng minh tỉ số diện tích của một hình đa giác với một phần của nó bằng một số cho trước” Liên quan tình huống tính và đổi đơn vị, tác giả Pressiat [139, tr 293-296] giới thiệu một số yếu tố lí thuyết trong vật lí và đại số tuyến tính Liên quan tính và so sánh thể tích, các tác giả Guissard, Lambrecht, Van Geet, Vansimpsen [137] giới thiệu ý tưởng sử dụng môi trường nước

Khi nghiên cứu các thể chế, tác giả Anwandter-Cuellar [127, tr 23-27] sử dụng lưới tổ chức toán học tham chiếu gắn với bảy kiểu nhiệm vụ: (T1) so sánh các đại lượng; (T2) tính toán đại lượng; (T3) nghiên cứu ảnh hưởng của phép biến hình hay biến dạng hình học của đối tượng lên đại lượng, tối ưu hóa đại lượng theo ràng buộc; (T4) dựng một đối tượng theo kích thước đã cho; (T5) dựng một đối tượng có

kích thước bé hơn hay lớn hơn đối tượng khác; (T6) đổi đơn vị đo; (T7) đo lường Sáu kiểu nhiệm vụ đầu tương ứng với các tình huống tham chiếu mà tác giả Baltar [128, tr 83-93] đã giới thiệu, nhưng được tổ chức lại cho các đại lượng hình

học nói chung Tùy tình huống cụ thể, từ kích thước trong kiểu nhiệm vụ T4, T5

Trong khi đó, cách xây dựng và vận dụng các qui tắc, công thức là xu hướng nghiên cứu chính của nhiều tác giả Việt Nam Các tác giả Trần Ngọc Bích [6], Thái Huy Vinh [101] quan tâm cách hình thành và phát triển ngôn ngữ toán học cho HS tiểu học, cách giới thiệu độ dài đường gấp khúc, qui tắc tính chu vi và diện tích hình chữ nhật Tác giả Lê Thị Hồng Chi [20, tr 121-125] đề xuất cách hướng dẫn HS sử dụng công nghệ thông tin để tìm tòi, phát hiện công thức tính diện tích hình thoi, chu vi, diện tích hình tròn, thể tích hình hộp chữ nhật Các tác giả Đỗ Thị Phương Thảo, Vũ Diệu Hương, Vũ Thị Lê [83], Nguyễn Thị Thu Hà [28], Đoàn Thu Hằng [33] nghiên cứu cách hình thành công thức tính diện tích hình phẳng bằng hoạt động trải nghiệm Kĩ thuật cắt - ghép tạo các hình cùng diện tích được tác giả Nguyễn Thị Kim Thoa [87] sử dụng khi thiết lập công thức tính diện tích hình tròn

và được tác giả Nguyễn Thị Xuân [102] khai thác để giải bài toán cầu phương hình chữ thập cho trước Các tác giả Nguyễn Thị Xuân, Nguyễn Thị Kim Liên [103], Nguyễn Mạnh Chung [22], Hoàng Bá Thịnh [86], Nguyễn Tiến Trung, Nguyễn Mạnh Tuấn [94], Nguyễn Thị Thúy Vân [100] đề xuất vận dụng các tính chất, công thức để tính diện tích, so sánh diện tích Bài toán cắt cờ được tác giả Nguyễn Tiến Trung [93, tr 38] giới thiệu cho thấy ý nghĩa của hình vẽ và bước đối chiếu với thực tiễn bên cạnh việc vận dụng công thức tính diện tích Theo các tác giả, những dạng toán ấy có thể giúp tạo hứng thú học tập, bồi dưỡng, phát triển năng lực giải toán cho HS tiểu học

Nhìn chung, hầu hết các công trình liên quan nghiên cứu khái niệm diện tích Khái niệm độ dài, thể tích và mối liên hệ với hình dạng ít được quan tâm hơn Các nhà nghiên cứu Didactic Toán đã có nhiều kết quả giá trị về tri thức luận, sự chuyển hóa sư phạm, về những chướng ngại, khó khăn, sai lầm thường gặp, về những tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến các đại lượng hình học mà luận án này có thể kế thừa Các tác giả Việt Nam có xu hướng nghiên cứu cách thiết kế hệ thống câu hỏi, ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy công thức tính chu vi, diện tích, hoặc khai thác nhiều cách giải nhằm phát triển năng lực giải toán của HS Một số

bài báo gần đây [28], [33], [83] đề cập đến hoạt động trải nghiệm Vậy thì, hoạt động trải nghiệm là gì và có ý nghĩa như thế nào trong dạy học Toán ở tiểu học?

1.2 Hoạt động trải nghiệm và mô hình hóa toán học xuất hiện trong chương trình giáo dục phổ thông 2018 và nhiều nghiên cứu gần đây

So với chương trình giáo dục phổ thông 2006 (cấp tiểu học [11, tr 43], cấp trung học cơ sở [12, tr 66-67], cấp trung học phổ thông [13, tr 91-92]), chương

trình giáo dục phổ thông 2018 của Việt Nam [14, tr 17] chú ý hơn đến các hoạt động trải nghiệm, xác định tường minh hơn các phẩm chất, năng lực cần hình thành, phát triển cho HS, trong đó có mô hình hóa toán học Các thuật ngữ hoạt động trải nghiệm, mô hình hóa toán học không xuất hiện tường minh trong nội

dung giáo dục toán học của chương trình giáo dục phổ thông 2006 Chúng tôi tự hỏi

hoạt động trải nghiệm, mô hình hóa toán học là gì và có thể được sử dụng như thế

nào trong giáo dục toán học, từ cấp học nào?

1.2.1 Tổng quan một số nghiên cứu về hoạt động trải nghiệm

Tại Việt Nam, những nghiên cứu về hoạt động trải nghiệm có thể chia thành

hai nhóm Nhóm thứ nhất dựa vào từ điển để giải thích thuật ngữ hoạt động trải nghiệm và đề xuất qui trình dạy học, hình thức vận dụng, minh họa việc quản lí, tổ

chức dạy học, chủ yếu công bố kết quả trước năm 2018 Nhóm thứ hai làm rõ các lí

thuyết về học tập trải nghiệm ở nước ngoài và vận dụng vào tổ chức các hoạt động

dạy học tại Việt Nam, hầu hết công bố kết quả nghiên cứu từ năm 2017 đến nay Dựa vào từ điển tiếng Việt, các tác giả Nguyễn Quang Nhữ [72], Phạm Thanh

Phương [74] để giải thích các thuật ngữ tổ chức, trải nghiệm, học tập trải nghiệm, hoạt động trải nghiệm, khẳng định đây là “cách thức học tập gắn liền với thực tiễn”

Tác giả Nguyễn Quang Nhữ [72] bàn luận về điều kiện, môi trường, hình thức tổ chức dạy học, đổi mới dạy học theo hướng kiến tạo, lấy người học làm trung tâm, đổi mới công tác kiểm tra, đánh giá Các tác giả Đỗ Thị Phương Thảo, Vũ Diệu Hương, Vũ Thị Lê [83] quan tâm đến ba dạng hoạt động ở tiểu học: tạo tình huống,

Liên quan môn Toán ở tiểu học, tác giả Lê Thị Cẩm Nhung [71] đề xuất một

số hình thức tổ chức hoạt động trải nghiệm: câu lạc bộ toán học, trò chơi học tập, diễn đàn toán học, sân khấu tương tác về lịch sử toán học, tham quan dã ngoại, hội thi Tác giả Phạm Thanh Phương [74] đề xuất qui trình dạy học trải nghiệm gồm sáu bước: tạo tâm thế, xác định mục tiêu, tái hiện kiến thức cũ có liên quan, trải nghiệm, báo cáo kết quả, kiểm chứng và vận dụng; minh họa cách thành lập số có

ba chữ số với đồ dùng trực quan Đánh giá dạy học qua trải nghiệm phù hợp với các yếu tố hình học ở tiểu học, đặc điểm nhận thức của HS tiểu học, tác giả Đoàn Thu Hằng [33] minh họa các bước dạy học qui tắc tính diện tích hình bình hành qua hoạt động cắt - ghép tạo hình chữ nhật Tác giả Đỗ Hoàng Mai [59] đề xuất tổ chức cho

HS lớp 5 tham quan trải nghiệm thực tế, qua đó củng cố các kiến thức liên quan đến thống kê, tính toán, bài toán chuyển động đều, độ dài, chu vi

Ở các cấp học cao hơn hoặc gắn với các môn học khác, nhiều bài báo liên quan hoạt động trải nghiệm đã công bố Cụ thể, tác giả Phan Thị Phương Thảo [85] trình bày cách “tổ chức các hoạt động trải nghiệm, khám phá và phát hiện để HS tự lực tiếp cận kiến thức” về “định lí cosin” Nhằm “tổ chức cho HS trung học cơ sở hoạt động trải nghiệm sáng tạo trong dạy học Toán”, các tác giả Đỗ Thị Phương Thảo, Nguyễn Hữu Tuyến [84] thiết kế một số hoạt động dạy học “tổng ba góc của một tam giác”, giải phương trình nghiệm nguyên Tác giả Trần Thị Thùy Dung [25]

đề xuất một số biện pháp “quản lí hoạt động giáo dục môi trường cho HS tiểu học Thành phố Lào Cai thông qua hoạt động trải nghiệm” Tác giả Nguyễn Thị Hải Thanh [81] nghiên cứu một số hình thức tổ chức dạy học nhằm “phát triển khả năng tiền đọc, viết cho trẻ 5 - 6 tuổi qua hoạt động trải nghiệm với sách” Tác giả Nguyễn Thị Dung [24] nghiên cứu một số “hoạt động trải nghiệm sáng tạo của HS lớp 4 khi đọc hiểu văn bản” Từ qui trình dạy học Mĩ thuật của Đan Mạch, tác giả Vũ Thị Loan [58] chia sẻ những điều GV cần quan tâm khi “tổ chức trải nghiệm trong dạy môn Mĩ thuật ở trường tiểu học”

Nhóm thứ hai chủ yếu nghiên cứu những lí thuyết về học tập trải nghiệm của Lewin và Kolb Tác giả Dương Giáng Thiên Hương [56] cho rằng Lewin là người đầu tiên đưa ra mô hình dạy học trải nghiệm vào cuối thế kỉ XIX Sau đó, sự phát triển của học thuyết giáo dục trải nghiệm tại nhiều nước phát triển gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà tâm lí - giáo dục học như Dewey, Kolb, Willingham… Bài báo

đã giải thích các thuật ngữ hoạt động, trải nghiệm, sáng tạo, hoạt động trải nghiệm sáng tạo, trình bày các nguyên tắc, qui trình và một số hình thức tổ chức hoạt động

trải nghiệm sáng tạo ở tiểu học, không trình bày cụ thể vào môn học nào Từ nhiều quan điểm gắn với “hoạt động giáo dục”, “hình thức tổ chức dạy học”, “nội dung giáo dục”, “bản chất của một hoạt động”, “môn học”, tác giả quan niệm hoạt động trải nghiệm sáng tạo là hình thức tổ chức dạy học, hình thức hoạt động giáo dục Dựa theo mô hình của Lewin, tác giả Nguyễn Thị Thu Hà [28] thiết kế các hoạt động trải nghiệm nhằm dạy học các bài “Hình tam giác”, “Diện tích hình tam giác” (Toán 5), vận dụng công thức tính diện tích xung quanh, thể tích của hình hộp chữ nhật, hình lập phương vào giải bài toán có nội dung hình học

Tác giả Nguyễn Thị Hằng [34] cho rằng tư tưởng về học tập qua thực hành, trải nghiệm đã manh nha xuất hiện từ thời cổ đại và giới thiệu lí thuyết học tập trải nghiệm của Kolb, từ cơ sở tâm lí học đến các đặc điểm cơ bản, chu trình học tập trải nghiệm, phong cách học tập Định hướng vận dụng vào tổ chức các hoạt động trải nghiệm sáng tạo tại Việt Nam chỉ được tác giả trình bày một cách chung chung, không gắn với môn học cụ thể nào Kết hợp mô hình hoạt động trải nghiệm của Kolb và mô hình cấu trúc năng lực, tác giả Nguyễn Văn Hạnh [30] đề xuất một số

mô hình thiết kế bài học theo hướng phát triển năng lực của người học: mô hình cảm - hiểu - làm, mô hình hiểu - làm - cảm, mô hình làm - cảm - hiểu Mỗi mô hình

có những ưu điểm riêng và GV cần lựa chọn mô hình phù hợp với sở thích, chuyên môn, kinh nghiệm của người học Lí thuyết học tập trải nghiệm của Kolb cũng là cơ

sở lí luận cho luận án của tác giả Võ Trung Minh [62], Chu Thị Hồng Nhung [70]

“các hoạt động ngoài giờ lên lớp, các hoạt động tập thể, hoạt động giáo dục nghề”,

“hoạt động hướng nghiệp”, tác giả Lê Khánh Tùng [96, tr 379-391] giới thiệu các dạng hoạt động trải nghiệm: trải nghiệm vật chất, trải nghiệm tinh thần, trải nghiệm tình cảm, trải nghiệm tâm thần, trải nghiệm xã hội, trải nghiệm chủ quan, trải nghiệm mô phỏng Bảy dạng hoạt động trải nghiệm này cũng được đề cập trong bài báo của tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Trang [92, tr 29]

Xu hướng nghiên cứu gần đây là vận dụng lí thuyết học tập trải nghiệm của Kolb vào tổ chức dạy học các nội dung cụ thể Chẳng hạn, tác giả Nguyễn Hữu Tuyến thiết kế các hoạt động dạy học bài “Số đo góc” [98], “Căn bậc ba”, “Tính chất đường phân giác của tam giác" [99] ở cấp trung học cơ sở Tác giả Võ Trung Minh thiết kế một số hoạt động “tìm hiểu thực vật quanh em” [61], “giáo dục môi trường dựa vào trải nghiệm trong dạy học môn Khoa học ở tiểu học” [62] Tác giả Trần Thị Gái [27] “xây dựng chu trình hoạt động trải nghiệm trong dạy học Sinh học ở trường phổ thông” Tác giả Chu Thị Hồng Nhung [70] thiết kế các hoạt động

“giáo dục lòng nhân ái cho trẻ 5 - 6 tuổi qua trải nghiệm ở trường mầm non”

Lí thuyết học tập trải nghiệm của Kolb cũng là chủ đề nghiên cứu của nhiều tác giả nước ngoài Kolb [123] nghiên cứu việc vận dụng lí thuyết học tập trải nghiệm vào giáo dục đại học để nâng cao hiệu quả giảng dạy của giảng viên và tăng

sự tham gia, học tập của sinh viên Tại Thổ Nhĩ Kì, Okura, Bahara [125], Peker, Mirasyedioğlu [126] có những nghiên cứu về phong cách học tập của GV tiểu học tương lai Nghiên cứu về khả năng tương thích giữa toán học và học tập trải nghiệm qua hình thức tranh luận toán học, Davidovitch, Yavich, Keller [106] chỉ ra nhiều lợi ích của dạy học trải nghiệm Thứ nhất, người học được củng cố kiến thức toán học Thứ hai, người học hiểu tài liệu và các hoạt động học tập Lợi ích thứ ba là sự tham gia của người học vào quá trình học tập Thứ tư, hoạt động trải nghiệm tạo điều kiện cho người học thành công trong những kì thi đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc

về tài liệu và sẵn sàng giải quyết các vấn đề không chuẩn mực

Nhìn chung, hoạt động trải nghiệm là một chủ đề đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước với nhiều công trình gần đây dựa trên lí thuyết học tập trải nghiệm của Kolb Điểm chung của các nghiên cứu là học tập trải nghiệm gắn với các hoạt động thực hành, trải nghiệm, gắn với thế giới thực tiễn Những nghiên cứu kể trên cũng cho thấy GV có thể vận dụng lí thuyết học tập trải nghiệm vào dạy học Toán ở cấp tiểu học Tuy nhiên, những nội dung nào liên quan đại lượng hình học phù hợp với học tập trải nghiệm?

1.2.2 Tổng quan một số nghiên cứu về mô hình hóa toán học

Năm 1993, tác giả Blum [105] giới thiệu về khái niệm và lợi ích của mô hình hóa toán học trong dạy Toán, vai trò của mô hình hóa toán học trong chương trình

và thực tiễn dạy học hàng ngày Theo tác giả, dạy học mô hình hóa có ba chướng ngại đến từ quan điểm hướng dẫn và đánh giá, từ quan điểm của người học, từ quan điểm của GV Nguồn tài liệu về dạy học mô hình hóa toán học khá phong phú tại nhiều nước như Úc, Hà Lan, Vương quốc Anh, Mĩ, Đức

Là một trong những công trình tiêu biểu về khái niệm mô hình hóa toán học gần đây tại Việt Nam, luận án tiến sĩ của tác giả Nguyễn Thị Tân An [2, tr 23-41] trình bày các lợi ích, các thuật ngữ, khái niệm, nhiều sơ đồ liên quan đến mô hình

hóa toán học Theo tác giả, mô hình hóa có xu hướng tập trung vào chiều “từ thực tế đến toán”, khác với áp dụng toán

Khái niệm mô hình hóa toán học còn được nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác Các tác giả Lê Thị Hoài Châu [17], Nguyễn Thị Nga [69] sử dụng sơ đồ quá trình

mô hình hóa toán học của Coulange Tác giả Hock [109] sử dụng sơ đồ của Mason

và Davies Sơ đồ của Swetz và Hartzler với bốn bước toán học hóa, giải bài toán, thông hiểu, đối chiếu được trích dẫn trong các bài báo của Nguyễn Danh Nam [63],

Trần Trung [95], Nguyễn Triệu Sơn, Mai Anh Đức, Hoàng Thị Thanh, Nguyễn Thị Hải Thơm [76] Dù đa dạng về hình thức, các sơ đồ quá trình mô hình hóa toán học đều thể hiện sự kết nối hai chiều giữa thế giới thực tiễn và thế giới toán học, thể

phải phù hợp với thực tiễn Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu và GV cần phân biệt hai

khái niệm khác biệt là dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa như lưu ý

của tác giả Lê Thị Hoài Châu [17]

Lợi ích, vai trò của dạy học mô hình hóa được giới thiệu trong những bài báo của các tác giả Trần Trung [95], Nguyễn Thị Nga [69], Lê Hồng Quang [75] Nhìn chung, thực trạng dạy học mô hình hóa hiện nay vẫn còn nhiều khó khăn do trở ngại

từ GV, HS, từ quan điểm dạy và đánh giá, tốn nhiều thời gian [69] Bài báo của tác giả Lê Thị Hoài Châu [17] như một minh chứng cho việc thiếu những tình huống kết nối khiến HS gặp khó khăn khi vận dụng giải quyết vấn đề của thực tiễn Những kết quả nghiên cứu của tác giả Nguyễn Danh Nam cho thấy “năng lực mô hình hóa toán học của HS phổ thông” [63] và “năng lực mô hình hóa của GV phổ thông” [65] đều còn hạn chế, cần tăng cường các bài tập, tình huống mô hình hóa vấn đề thực tiễn Năng lực mô hình hóa còn yếu, thậm chí hầu hết GV và HS không quan tâm đến việc liên hệ giữa toán học và thực tiễn là thực trạng được phản ánh trong bài báo của các tác giả Nguyễn Triệu Sơn, Mai Anh Đức, Hoàng Thị Thanh, Nguyễn Thị Hải Thơm [76]

Trước thực trạng đầy những khó khăn, nhiều kết quả công bố gần đây tập trung nghiên cứu phương pháp vận dụng mô hình hóa vào dạy học Toán, nâng cao năng lực dạy học mô hình hóa cho GV và HS Tác giả Nguyễn Thị Tân An xây dựng các thang đánh giá năng lực của HS [2, tr 101-108], giới thiệu 19 tình huống toán học hóa chứa đựng yếu tố định lượng [2, tr 204-211], trong đó 10 tình huống

đã được thực nghiệm Tương ứng với các tình huống mô hình hóa, tình huống toán học hóa, tình huống thực tế [2, tr 67-89], tác giả Nguyễn Danh Nam [64] minh họa những ví dụ về các mức độ khác nhau của bài tập mô hình hóa mà GV có thể sử dụng Các tác giả Phan Anh [3], Bùi Minh Đức, Vũ Hữu Tuyên [26] đề xuất xây dựng các mô hình toán học qua những tình huống điển hình, thực tiễn, tăng cường

sử dụng hình vẽ, đồ thị, biểu đồ bên cạnh các hàm số, biểu thức, công thức toán học Tác giả Trần Trung [95] minh họa cách dự đoán, tìm ý tưởng, giải quyết bài

toán về vị trí chiếc cầu và quỹ đạo nước mưa với phần mềm GeoGebra Tác giả Nguyễn Thị Nga minh họa cách dạy học bằng mô hình hóa các hiện tượng biến thiên [5], hàm số tuần hoàn [67], [68] với phần mềm Cabri Geometry Tác giả Trần Kiêm Minh [60] minh họa cách mô hình hóa hàm các quan hệ phụ thuộc trong những hệ vật lí, giải quyết bài toán xác định vị trí đặt thang tối ưu với phần mềm Casyopée Những bài báo nêu trên cho thấy các nhà nghiên cứu quan tâm khá nhiều đến mô hình hóa toán học trong dạy học trung học phổ thông

Đối với những cấp học khác, chúng tôi chỉ tìm được một vài bài báo liên quan

mô hình hóa toán học Cụ thể, tác giả Hock [109] “giới thiệu mô hình hóa toán học cho các GV trung học cơ sở” qua nghiên cứu chiều dài nút thắt dây Các tác giả Trần Việt Cường, Nguyễn Thị Trúc Minh [23] tổ chức cho giáo sinh tiểu học sử dụng mô hình tập hợp, sơ đồ Venn để giải quyết bài toán có tính thực tế Tác giả Trần Trung [95, tr 107] đề cập khả năng sử dụng mô hình hóa gắn với các bài toán

có lời văn dù nhận xét hoạt động mô hình hóa chưa thể hiện rõ ràng ở tiểu học Thay cho cách lập luận phổ biến ở cấp tiểu học, các tác giả Phạm Thị Diệu Thùy, Dương Thị Hà [89] sử dụng phương trình, hệ phương trình để mô hình hóa, giải các bài toán có lời văn ở cấp trung học cơ sở

Những phân tích ở trên cho thấy mô hình hóa toán học là chủ đề nhận được nhiều sự quan tâm trong giai đoạn hiện nay Sau những công trình làm rõ lí thuyết

mô hình hóa toán học, nhiều nghiên cứu gần đây có xu hướng khảo sát thực trạng dạy học mô hình hóa, vận dụng qui trình và các bước mô hình hóa vào thiết kế các tình huống, hoạt động dạy học, phát triển năng lực của người học Hầu hết các nghiên cứu về mô hình hóa toán học liên quan đến cấp trung học phổ thông mà HS

đã có nhiều kiến thức toán học cơ bản

Đều đề cập đến thế giới thực tiễn, mô hình hóa toán học và hoạt động trải nghiệm có thể vận dụng, gắn kết với nhau ra sao trong dạy học tiểu học, cụ thể là trường hợp dạy học các đại lượng hình học như độ dài, chu vi, diện tích, thể tích?

đào tạo nước nhà, giải đáp các câu hỏi xuất phát nêu trên, chúng tôi tiến hành

nghiên cứu “Các đại lượng hình học trong dạy học Toán tiểu học”

Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận án này là góp một phần nhỏ vào công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo của Việt Nam, đặc biệt là việc đổi mới dạy học các đại lượng hình học ở tiểu học Cụ thể, luận án nhắm đến trang bị cho

GV tiểu học một số hiểu biết cơ bản về lí thuyết học tập trải nghiệm, mô hình hóa toán học, Didactic Toán, cung cấp một số ví dụ minh họa về việc thiết kế những hoạt động học tập trải nghiệm dựa trên kết quả nghiên cứu tri thức luận, đối sánh các thể chế dạy học qua việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau đây:

Q 1 Các đại lượng hình học có những đặc trưng tri thức luận nào? Cụ thể, các đại lượng hình học cho phép giải quyết những bài toán, những vấn đề nào? Những điều kiện và trở ngại cho sự hình thành các đại lượng hình học?

Q 2 Quan hệ thể chế dạy học Toán tiểu học với các đại lượng hình học? So với lưới tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến các đại lượng hình học, những tổ chức toán học nào được đưa vào SGK Việt Nam?

Q 3 Ảnh hưởng của quan hệ thể chế dạy học cấp tiểu học ở Việt Nam lên quan

hệ cá nhân của người dạy, người học với các đại lượng hình học? Các hoạt động trải nghiệm có thể điều chỉnh các mối quan hệ cá nhân này như thế nào?

Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nêu trên, chúng tôi xác định các nhiệm vụ nghiên cứu:

1 Nghiên cứu lí thuyết học tập trải nghiệm, mô hình hóa toán học, điều tra tri thức luận, tổng hợp những nghiên cứu đã công bố có liên quan đến các khái niệm đại lượng, độ dài, chu vi, diện tích, thể tích để làm cơ sở lí luận cho luận án

2 Nghiên cứu chương trình, SGK, sách giáo viên Việt Nam để làm rõ vấn đề dạy học các đại lượng hình học trong SGK, có sự so sánh với SGK nước ngoài

3 Kiểm chứng các giả thuyết, biện pháp thông qua các thực nghiệm sư phạm

Phương pháp nghiên cứu

Hình 0.1 Sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu

Những phương pháp nghiên cứu được sử dụng chủ yếu là:

– Phương pháp nghiên cứu lí luận:

+ Nghiên cứu cơ sở lí luận là lí thuyết học tập trải nghiệm, mô hình hóa toán

học, Didactic Toán để nắm vững những đặc điểm cơ bản của các lí thuyết này nhằm vận dụng vào nghiên cứu

+ Hồi cứu các công trình liên quan đã công bố để kế thừa những kết quả nghiên cứu đã có, xác định đặc trưng tri thức luận của các đại lượng hình học, xác định lưới tổ chức toán học tham chiếu, tìm kiếm những hướng nghiên cứu mới – Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

+ Nghiên cứu so sánh thể chế dạy học qua việc phân tích chương trình, SGV,

SGK tiểu học ở Việt Nam và ở nước ngoài nhằm làm rõ cách xây dựng kiến thức, các tổ chức toán học liên quan các đại lượng hình học Từ đó, các giả thuyết, biện

Nghiên cứu thực nghiệm

Nghiên cứu cơ sở lí luận

Nghiên cứu tri thức luận

Tiểu học Việt Nam

hiện hành

Tiểu học Việt Nam

trước 2002

Tiểu học Pháp Tiểu học Singapore

Giả thuyết, biện pháp sư phạm

+ Nghiên cứu thực nghiệm, dự giờ, tổ chức bồi dưỡng, điều tra bằng phiếu câu

hỏi đối với GV, HS; thống kê và xử lí số liệu để phân tích hậu nghiệm, kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu và tính khả thi của các biện pháp

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

– Đối tượng nghiên cứu: dạy học các đại lượng hình học ở tiểu học trong mối quan hệ với học tập trải nghiệm và mô hình hóa toán học

– Phạm vi nghiên cứu: luận án giới hạn phạm vi nghiên cứu như sau:

+ SGK Toán tiểu học: các bộ sách được sử dụng ở miền Nam Việt Nam từ

1976 đến nay, một bộ sách hiện hành ở Pháp, một bộ sách hiện hành ở Singapore

+ Địa bàn nghiên cứu: tiến hành chủ yếu tại TPHCM

Giả thuyết nghiên cứu

Kết quả phân tích tri thức luận, nghiên cứu so sánh thể chế dạy học về các đại lượng hình học đã đưa đến sự hình thành của hai giả thuyết:

GT1: Đối với HS tiểu học, thể tích vật chứa được đồng nhất với thể tích tính

bởi kích thước mặt ngoài hoặc dung tích của vật

GT2: Liên quan bài toán so sánh diện tích và vẽ hình cùng diện tích, HS và

GV tiểu học ưu tiên các chiến lược gắn với số hơn chiến lược hình học, ngay cả

trong trường hợp các chiến lược gắn với số không cho kết quả phù hợp thực tiễn

Cấu trúc của luận án

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, Tài liệu tham khảo, Phụ lục, nội dung chính của luận án được trình bày trong 4 chương:

– Chương 1 Cơ sở lí luận Chương 1 trình bày tổng quan về lí thuyết học tập

trải nghiệm của Kolb, mô hình hóa toán học, Didactic Toán và mối liên hệ giữa các khung lí thuyết tham chiếu này

– Chương 2 Đặc trưng tri thức luận của các đại lượng hình học và lưới tổ chức toán học tham chiếu Chương 2 trình bày tổng quan những kết quả phân tích

tri thức luận về các đại lượng hình học, xác định các bài toán đặc trưng, các cách tiếp cận và lưới tổ chức toán học tham chiếu, làm cơ sở lí luận cho việc nghiên cứu

so sánh các thể chế dạy học và nghiên cứu thực nghiệm

– Chương 3 Nghiên cứu quan hệ thể chế với các đại lượng hình học Nội

dung chương 3 gồm kết quả phân tích chương trình, SGK cấp tiểu học hiện hành ở Việt Nam, kết quả đối chiếu với các bộ sách cũ ở miền Nam Việt Nam từ năm

1976, kết quả so sánh với các bộ sách hiện hành ở Pháp và Singapore Từ những nghiên cứu đối sánh đó, chúng tôi phát biểu các giả thuyết cần kiểm chứng

– Chương 4 Biện pháp sư phạm và thực nghiệm Từ các kết quả nghiên cứu

tổng quan ở ba chương trước, chúng tôi đề xuất ba biện pháp sư phạm Chương 4 giới thiệu 4 thực nghiệm đã tiến hành để kiểm chứng các giả thuyết và tính khả thi của các biện pháp sư phạm

Những luận điểm bảo vệ

Những luận điểm quan trọng cần được đưa ra bảo vệ đối với luận án này là: – Mối liên hệ giữa các khung lí thuyết tham chiếu (học tập trải nghiệm, mô hình hóa toán học và Didactic Toán);

– Kết quả nghiên cứu so sánh các thể chế dạy học tiểu học liên quan các đại lượng hình học;

– Ý nghĩa của cách tiếp cận hình học và tổ chức hoạt động trải nghiệm, mô hình hóa toán học trong dạy học các đại lượng hình học

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Luận án này có những đóng góp mới về khoa học như sau:

– Phân tích mối liên hệ giữa lí thuyết học tập trải nghiệm, mô hình hóa toán học, Didactic Toán; đồng thời, kết quả nghiên cứu của luận án góp phần khẳng định giá trị của các lí thuyết này

– Tổng hợp những kết quả phân tích tri thức luận về các đại lượng hình học đã thực hiện ở nước ngoài, bổ sung một số giải thích, ví dụ để làm phong phú hơn nguồn tài liệu tham khảo bằng tiếng Việt về các đại lượng hình học cho các tác giả SGK mới, đội ngũ cán bộ quản lí, GV tiểu học;

– Nghiên cứu một cách có hệ thống về quan hệ thể chế dạy học cấp tiểu học hiện hành tại Việt Nam với các đại lượng hình học, có sự so sánh, đối chiếu với thể chế dạy học tiểu học tại Singapore, Pháp; giới thiệu những dạng bài tập hay, ý nghĩa được dạy ở nước ngoài nhưng vắng mặt ở Việt Nam;

– Góp phần khẳng định ý nghĩa của cách tiếp cận hình học và tổ chức hoạt động trải nghiệm, mô hình hóa toán học trong dạy học các đại lượng hình học

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Cơ sở lí luận cho luận án bao gồm lí thuyết học tập trải nghiệm, mô hình hóa toán học và Didactic Toán Để thuận tiện cho việc theo dõi, chúng tôi chỉ phân tích, tổng hợp một số nội dung liên quan của các lí thuyết Người đọc quan tâm lí thuyết học tập trải nghiệm có thể tìm đọc bản tiếng Anh của tác giả Kolb [124] hoặc những nghiên cứu tiếng Việt của các tác giả Nguyễn Thị Hằng [34], Võ Trung Minh [61] Nhiều quan niệm, sơ đồ mô hình hóa được giới thiệu trong nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thị Tân An [2], Lê Thị Hoài Châu [17] So với “Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán” của nhóm tác giả Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu,

Lê Văn Tiến [4], giáo trình “Thuyết Nhân học trong Didactic Toán” của nhóm tác giả Lê Thị Hoài Châu, Claude Comiti [19] trình bày chi tiết hơn về Thuyết Nhân học, một công cụ lí thuyết được sử dụng nhiều trong luận án này

1.1 Lí thuyết học tập trải nghiệm

Lí thuyết học tập trải nghiệm được Kolb phát triển dựa trên mô hình học từ kinh nghiệm của Dewey, mô hình học tập trải nghiệm của Lewin, mô hình học tập

và phát triển nhận thức của Piaget Ngoài ra, Kolb cũng ghi nhận những đóng góp

quan trọng của James, Follet, Vygotsky, Jung, Rogers, Freire đối với lí thuyết học tập trải nghiệm từ thế kỉ XIX [124, tr 4-29] Lí thuyết học tập trải nghiệm của Kolb hiện được ứng dụng phổ biến ở nhiều quốc gia có nền giáo dục tiên tiến

1.1.1 Học tập trải nghiệm là phù hợp và cần thiết ở tiểu học

Theo “Từ điển tiếng Việt” của tác giả Hoàng Phê và cộng sự, “kinh nghiệm”

là “điều hiểu biết có được do tiếp xúc với thực tế, do từng trải” [73, tr 529], “trải nghiệm” là “trải qua, kinh qua”, “từng biết, từng chịu đựng” [73, tr 1020] Như vậy, trải qua những quá trình tiếp xúc, quan sát, tương tác, cảm nhận, con người có thể đạt được những hiểu biết, kiến thức mới, mở rộng vốn kinh nghiệm cá nhân

Theo Dewey, quá trình phát triển trí tuệ của người học là kết quả của sự trải nghiệm Trải nghiệm cung cấp cho trẻ những biểu tượng trong đầu về các sự vật, hiện tượng Phát triển thể chất sớm hơn giác giác quan, trẻ nhỏ thường hành động trước khi có kinh nghiệm, nhận thức đầy đủ về hành động đó [34, tr 50] Trong 4 giai đoạn phát triển trí tuệ của trẻ em do Piaget giới thiệu, HS tiểu học trải qua 3 giai đoạn: nhận biết thế giới qua các thao tác quan sát, hình ảnh (2 đến 6 tuổi); phát triển năng lực hiểu các biểu tượng trừu tượng (từ 7 tuổi đến 11 tuổi); thao tác hình thức hay tư duy logic, có khả năng khái quát hóa các ý tưởng, phát triển hoàn chỉnh trí tuệ (từ 11 tuổi) [124, tr 35-36] Đối với Kolb [124, tr 49], “học tập là quá trình

mà kiến thức được tạo ra từ việc chuyển hóa kinh nghiệm” thì trải nghiệm là cần thiết và quan trọng trong việc học tập của HS tiểu học Do đó, GV tiểu học nên chú

ý hơn đến việc tổ chức cho HS tham gia học tập trải nghiệm, “chuyển hoá những kinh nghiệm đã trải qua thành tri thức mới, kĩ năng mới”, “phát huy tiềm năng sáng tạo và khả năng thích ứng” như chương trình giáo dục phổ thông 2018 định hướng:

HS tiếp cận thực tế, thể nghiệm các cảm xúc tích cực, khai thác những kinh nghiệm đã

có và huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng của các môn học khác nhau để thực hiện những nhiệm vụ được giao hoặc giải quyết những vấn đề của thực tiễn [14, tr 30]

Các hoạt động trải nghiệm xã hội như tham gia câu lạc bộ toán học, trò chơi

học tập, hội thi, diễn đàn toán học, sân khấu tương tác về lịch sử toán học, tham quan thực tế, dã ngoại theo đề xuất của các tác giả Lê Thị Cẩm Nhung [71], Đỗ Hoàng Mai [59] là rất thú vị Tuy nhiên, trong luận án này, chúng tôi ưu tiên thiết

kế các hoạt động trải nghiệm chủ quan [96, tr 379-391], khai thác sức mạnh của

trực giác cá nhân, năng lực cá nhân HS khi tương tác với môi trường để từ các kinh nghiệm rời rạc ban đầu, HS điều chỉnh nhận thức, kinh nghiệm nhằm đạt những kết quả phù hợp thực tiễn, phản ánh đúng các giá trị, thuộc tính chung của cộng đồng

1.1.2 Các đặc điểm cơ bản của học tập trải nghiệm

Theo Kolb [124, tr 37-49], học tập trải nghiệm có các đặc điểm cơ bản:

a) Học tập trải nghiệm cần chú trọng đến quá trình hơn kết quả

Kolb [124, tr 37-38] cho rằng giáo dục truyền thống xem trọng kết quả đầu ra, dẫn đến xu hướng xác định việc học dựa vào kết quả, số lượng kiến thức người học

đã tích lũy Trong khi đó, học tập trải nghiệm có cơ sở nhận thức luận, triết lí và các giả định khác biệt Đối với học tập trải nghiệm, các quan niệm không cố định, không là những phần tử bất biến của tư duy, mà được hình thành và sửa đổi qua kinh nghiệm Sự can thiệp của kinh nghiệm đưa đến sự khác biệt về tư duy

b) Học tập trải nghiệm là một quá trình liên tục dựa trên kinh nghiệm

Theo Dewey, mọi kinh nghiệm đều có sự kế thừa kinh nghiệm trước đó và được điều chỉnh cho phù hợp khi cá nhân chuyển từ tình huống này sang tình huống khác, từ môi trường này sang môi trường khác Những gì người ấy học được, kiến thức, kĩ năng trong tình huống trước trở thành công cụ nhận thức và giải quyết hiệu quả trong tình huống tiếp sau đó Quá trình tích lũy và chuyển hóa kinh nghiệm này diễn ra liên tục trong suốt quá trình sống và học tập [124, tr 38]

Thông thường, người học đã có những kinh nghiệm nhất định về nội dung, chủ đề cần học GV cần hướng dẫn, tổ chức các tình huống học tập để HS nảy sinh những ý tưởng mới, hoặc xóa bỏ, sửa đổi những ý tưởng cũ Quá trình giáo dục nên bắt đầu với việc người học bộc lộ niềm tin, hiểu biết cá nhân, sau đó kiểm tra, thử nghiệm chúng trong môi trường thực tế, tạo điều kiện cho hệ thống niềm tin của người học có được những ý tưởng mới tinh tế hơn

c) Học tập trải nghiệm đòi hỏi việc giải quyết mâu thuẫn giữa các phương thức đối lập biện chứng nhằm thích nghi với cuộc sống thực tiễn

Kolb [124, tr 40-42] đã chỉ ra mâu thuẫn biện chứng giữa kinh nghiệm cụ thể

và quan niệm trừu tượng, giữa quan sát và hành động trong mô hình của Lewin, mâu thuẫn biện chứng giữa điều tiết và đồng hóa trong mô hình của Piaget Việc học tập thực chất là một quá trình đầy mâu thuẫn Kiến thức, kĩ năng, thái độ mới sẽ đạt được thông qua sự đối đầu giữa những phương thức học tập trải nghiệm

Chẳng hạn, nhiều sinh viên Việt Nam bỏ qua độ dày thành bể khi tính thể tích

bể cá và họ cũng biết câu chuyện Archimedes phát hiện ra cách tìm thể tích vương miện sau khi ngâm mình trong bồn nước Vì thế, họ rất ngạc nhiên khi nhận ra việc tìm thể tích bể cá bằng cách thả vào bể đo (theo cách của Archimedes) cho kết quả khác với những đo đạc, tính toán họ đã thực hiện trước đó Lí giải cho sự mâu thuẫn sau những hoạt động trải nghiệm này, họ chú ý hơn đến độ dày thành bể và nhận ra với cùng một bể cá trong thực tiễn, họ có thể tìm được nhiều loại thể tích như thể tích mặt ngoài, thể tích lòng bể, thể tích thành bể mà tùy theo tình huống cụ thể, người ta sẽ tìm thể tích phù hợp

d) Học tập trải nghiệm là quá trình toàn diện về thích nghi với cuộc sống thực tiễn

Học tập trải nghiệm là quá trình thích nghi của con người đối với môi trường

xã hội và vật lí, liên quan đến chức năng tích hợp của toàn bộ cơ thể: suy nghĩ, cảm nhận, nhận thức, hành xử Trước đây, học tập thường được giới hạn trong phạm vi lớp học Tuy nhiên, học tập trải nghiệm có phạm vi rộng hơn hẳn Học tập có thể diễn ra ở nơi làm việc, phòng thí nghiệm, phòng quản lí, trong các mối quan hệ cá nhân, tại hành lang các cửa hàng Việc học kéo dài từ thời thơ ấu đến khi trưởng thành, kể cả thời trung niên và khi đã về già Như vậy, học tập trải nghiệm là quá trình diễn ra liên tục, suốt đời [124, tr 43-45]

e) Học tập trải nghiệm bao gồm các tương tác giữa con người và môi trường

Theo Kolb [124, tr 45-48], giáo dục truyền thống tuy có lấy người học làm trung tâm nhưng thường chỉ cần môi trường giới hạn gồm sách vở, GV, phòng học

và bỏ qua thế giới thực tiễn rộng lớn bên ngoài Trong lí thuyết học tập trải nghiệm, mối quan hệ tương tác giữa con người và môi trường được biểu tượng hóa theo hai

nghĩa của thuật ngữ kinh nghiệm Nghĩa thứ nhất mang tính chủ quan và cá nhân,

chỉ trạng thái nội tâm của con người như “kinh nghiệm vui và hạnh phúc” Nghĩa thứ hai mang tính khách quan Hai dạng kinh nghiệm này đan xen, kết hợp với nhau theo những cách phức tạp Chẳng hạn, cùng 20 năm làm việc nhưng người thợ thứ

nhất có 20 năm kinh nghiệm, còn người thợ thứ hai lặp lại 20 lần 1 năm làm việc Đặc điểm này đòi hỏi việc dạy học phải chú trọng hơn đến cảm xúc của người học

f) Học tập trải nghiệm là quá trình tạo ra kiến thức

Kolb [124, tr 48-49] cho rằng cần hiểu bản chất và các dạng kiến thức cũng như các quá trình mà kiến thức được tạo ra Quá trình tạo ra kiến thức có thể là những hình thức nghiên cứu khoa học tiên tiến nhất, nhưng cũng có thể từ những khám phá đơn giản của trẻ con như quả bóng cao su có thể nảy lên Kiến thức là kết quả của sự chuyển hóa giữa kiến thức xã hội mang tính khách quan và kiến thức cá nhân mang tính chủ quan Quá trình chuyển hóa này được gọi là học tập Kolb cũng khẳng định tầm quan trọng của việc nắm vững tri thức luận (nguồn gốc, bản chất, phương pháp và hạn chế của kiến thức) để có thể hiểu việc học, tổ chức các tình huống dựa trên những giả định mâu thuẫn giữa bản chất của kiến thức và chân lí, có nguồn gốc từ tri thức luận

Với 6 đặc trưng của học tập trải nghiệm mà Kolb đã xác định, chúng ta có thể thấy học tập là một quá trình, diễn ra liên tục, suốt đời mà ở đó người ta cần giải quyết các mâu thuẫn phát sinh do kiến thức, kĩ năng cũ không còn phù hợp, để có thể thích nghi với cuộc sống Để HS có thể học tốt hơn, GV cần quan tâm hơn đến cảm xúc của HS, nắm vững tri thức luận, tổ chức các tình huống phù hợp

1.1.3 Chu trình học tập trải nghiệm

Như đã trình bày ở trên, học tập trải nghiệm là quá trình diễn ra liên tục Những kiến thức, kinh nghiệm mới nảy sinh từ giải quyết mâu thuẫn phát sinh do kiến thức, kinh nghiệm cũ không còn phù hợp Sau đó, kiến thức, kinh nghiệm mới lại trở nên lạc hậu, đòi hỏi sự nảy sinh của những kiến thức mới hơn Chu trình này được Kolb [124, tr 68] khái quát bởi sơ đồ sau:

Hình 1.1 Chu trình học tập trải nghiệm

– Kinh nghiệm cụ thể: Người học tiến hành các hành động như đọc tài liệu,

nghe giảng, xem phim, thực hiện các thí nghiệm và quan sát, mở rộng vốn kinh nghiệm cá nhân qua cảm nhận của các giác quan Những mâu thuẫn, bất đồng giữa kiến thức, kinh nghiệm đã có với nhiệm vụ mới được giao có thể xuất hiện, tạo tình huống có vấn đề, kích thích nhu cầu học tập ở mỗi HS

– Quan sát phản chiếu: Người học đối chiếu, phân tích, đánh giá các sự vật,

hiện tượng, kết hợp với huy động vốn kinh nghiệm của bản thân để tìm hiểu về sự vật, hiện tượng Người học có thể tự mình suy nghĩ, thảo luận với người khác, xem chúng tồn tại hợp lí hay có mâu thuẫn với nhau Qua quá trình suy ngẫm, ghi chép các suy tưởng của bản thân, người học rút ra được các bài học và định hướng mới cho chặng đường học tập tiếp theo

– Quan niệm hóa trừu tượng: Từ những quan sát và suy tưởng ở hai giai đoạn

trên, người học thực hiện khái quát hóa các kinh nghiệm đã nhận được Nhờ đó, các kinh nghiệm được chuyển đổi thành hệ thống quan niệm, nhưng kiến thức thu được

ở bước này có thể đúng hoặc chưa đúng

Chuyển hóa qua mở rộng

Thử nghiệm

tích cực

Chuyển hóa qua ý định

Kiến thức đồng hóa

Kiến thức điều tiết Kiến thức bất đồng

Kiến thức hội tụ

Biết

Hiểu

– Thử nghiệm tích cực: Người học dựa vào thực tiễn để kiểm chứng, nhận

định lại các kiến thức đã rút ra Qua hoạt động thử nghiệm, HS điều chỉnh, sửa chữa các sai lầm, hiểu sâu hơn kiến thức mới cần học, thành thạo hơn kĩ năng mới và chuyển chúng thành những kinh nghiệm mới cho bản thân Những kinh nghiệm mới hình thành này là kết quả của hoạt động phản hồi, trở thành đầu vào cho vòng học tập tiếp theo, cho đến khi đạt được mục tiêu học tập

1.2 Mô hình hóa toán học

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản

Dẫn theo tác giả Nguyễn Thị Tân An [2, tr 24], Blum và Niss (1991) chia thế giới mà chúng ta đang sống thành hai phần là thế giới toán học và thế giới thực:

Thế giới toán học: là phần thế giới bao gồm các đối tượng, kí hiệu, quan hệ, cấu trúc

toán học

Thế giới thực: là thuật ngữ được sử dụng để mô tả phần thế giới bên ngoài thế giới

toán học, đó có thể là một môn học, một ngành khoa học khác, một lĩnh vực thực hành, một phạm vi liên quan đến cuộc sống cá nhân hoặc xã hội

Khi đó, các tình huống, bài toán thực tiễn được đặt ra trong thế giới thực với các dữ liệu thực và các tác giả chỉ xét các tình huống, bài toán thực tiễn có thể sử dụng toán học để phân tích, mô tả Theo tác giả Lê Văn Tiến [90, tr 153], hầu hết các bài toán thực tiễn trong phạm vi trường học là bài toán phỏng thực tiễn theo

cách phân biệt của tác giả Chevallard (1984) và tác giả Coulange (1997) về bài toán thực tiễn (thuộc phạm vi ngoài toán), bài toán phỏng thực tiễn (thuộc phạm vi phỏng thực tiễn), bài toán toán học (thuộc phạm vi toán học):

Bài toán thực tiễn là bài toán mà các dữ kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi, các

mối quan hệ, … chứa đựng trong bài toán đều là các yếu tố của thực tiễn “thực”

Bài toán phỏng thực tiễn là bài toán mà các dữ kiện, các biến, các yêu cầu, các câu

hỏi, các mối quan hệ, … không phải là các yếu tố của thực tiễn “thực” mà chỉ là sự mô phỏng (hay phản chiếu) của thực tiễn này […]

Bài toán toán học là bài toán trong đó các dữ kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi,

Từ các khái niệm bài toán như trên, tác giả Coulange (1997) đưa vào các thuật

ngữ mô hình thực tiễn, mô hình phỏng thực tiễn, mô hình toán học, trong đó:

Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc của

hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự vật, hiện tượng thuộc hệ thống này (dẫn theo [17, tr 7])

Chúng ta có thể hiểu mô hình thực tiễn [17, tr 7] hay mô hình vật lí [2, tr 25]

là một bản sao (thường khác về kích thước), một ví dụ, có những tính chất đặc trưng cho đối tượng gốc mà mô hình đó biểu diễn Chẳng hạn, các quả bóng tròn, khối rubic, hộp sữa (những vật chất cụ thể) có thể được sử dụng như những mô hình tương ứng với các khái niệm hình cầu, hình lập phương, hình trụ trong dạy học hình học Về mặt trực giác, ý nghĩa vật lí của mô hình thường được nghĩ đến Tuy nhiên, chúng tôi quan tâm hơn đến ý nghĩa thứ hai của mô hình, cụ thể là mô hình toán học trong dạy học Toán:

Mô hình toán học là một cấu trúc toán học (đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ phương

trình, biểu thức đại số, hàm số…) gồm các kí hiệu và các quan hệ toán học biểu diễn,

mô tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu (Swetz và Hartzler, 1991) (dẫn theo [2, tr 25])

Ở ý nghĩa thứ hai mang tính lí thuyết, mô hình là tập hợp các qui tắc được sử dụng để diễn đạt theo một ngôn ngữ nào đó các đặc trưng chủ yếu của một tình huống, một hệ thống mà người ta cần nghiên cứu Mô hình toán học chỉ là trường

hợp đặc biệt, cụ thể của mô hình lí thuyết khi các qui tắc toán học được sử dụng

Các tình huống thực tế thường khá phức tạp và có nhiều tham biến Trong dạy học, tình huống thực tế thường được đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm của người giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng phần

nào đó của tình huống thực tế ban đầu Khi đó, chúng ta có mô hình thực của một tình huống thực tế (Blum và Niss, 1991) (dẫn theo [2, tr 25]) hay mô hình phỏng thực tiễn

Với việc sử dụng thuật ngữ bài toán thực tiễn theo nghĩa rộng, bao hàm cả bài toán thực tiễn (thuộc phạm vi ngoài toán học) và bài toán phỏng thực tiễn (thuộc

phạm vi phỏng thực tiễn) [90, tr 152] thì chúng ta có thể xem thế giới thực bao gồm phạm vi ngoài toán học và phạm vi phỏng thực tiễn

1.2.2 Mô hình hóa toán học

Ngày nay, lĩnh vực giáo dục toán học có rất nhiều định nghĩa và mô tả về khái niệm mô hình hóa toán học Trong luận án này, chúng tôi sử dụng định nghĩa mô hình hóa toán học của Edwards và Hamson (2001):

Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán

học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận (dẫn theo [2, tr 26])

Như vậy, mô hình hóa toán học là một hoạt động phức tạp, có sự chuyển đổi hai chiều giữa thực tế và toán học Để giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học, chúng ta cần xây dựng lại tình huống thực tế, lựa chọn một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán học, giải thích, đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế Đôi khi, chúng ta có thể cần điều chỉnh các mô hình, thậm chí lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được kết quả hợp lí Quá trình mô hình hóa toán học có thể được mô tả bởi nhiều sơ đồ khác nhau và chúng tôi lựa chọn sử dụng sơ đồ của tác giả Coulange (1997) (dẫn theo [17, tr 7]) với 4 bước:

– Bước 1 Xác định các thông tin, yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất cần giữ

lại và những qui luật cần tuân theo Nhờ đó, mô hình phỏng thực tiễn của vấn đề được xây dựng

– Bước 2 Sử dụng ngôn ngữ toán học để diễn đạt lại mô hình phỏng thực tiễn,

xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét Tùy theo yếu tố hoặc mối liên hệ được xem là quan trọng, một vấn đề có thể có nhiều mô hình toán học tương ứng

– Bước 3 Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán

hình thành ở bước 2

– Bước 4 Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước 3 Mức

độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế cần phải được xem