1, Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (IJK).. 2, Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (IJK).[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KÌ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán – Lớp 11 – Chương trình Chuẩn
Thời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1(3 điểm):
Giải các phương trình lượng giác sau:
a 3cosxsinx 2;
4sin x3sin cosx xcos x0;
sinx1 2cos 2x3sin x2 0
Câu 2 (2 điểm):
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
9 2
1
3x x
Câu 3 (2 điểm):
Từ một bộ bài tú lơ khơ có 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc ba con Tính xác
suất sao cho:
a Cả ba con đều là con K;
b Được hai con K và một con không phải là K
Câu 4 (3 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD và BC
a Chứng minh rằng MN song song với BD;
b Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNP)
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
HỌ VÀ TÊN THÍ SINH:……… CHỮ KÍ GIÁM THỊ:………… ………
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KÌ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán – Lớp 11 – Chương trình Chuẩn
Thời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang)
Câu 1 ( 3
điểm )
a) (1,0 điểm)
3
x
0,5
5
x k x k k
Vậy nghiệm của phương trình là 5 2 ,
6
x k k
0,5
b) (1, 0 điểm)
+) Nếu cosx = 0
2
x k
thay vào phương trình ta có
4 = 0 (vô lí) Vậy
2
x k
không là nghiệm của phương trình
0,25
+) Nếu cosx 0
2
x k
, chia cả hai vế của phương trình cho 2
cos x ta được phương trình
2
tan
4
x
x
0,5
4
1 arctan
4
0,25
Trang 3c) (1, 0 điểm)
x
0,25
2
x x k
2
1 cos 2
2 cos 2 1
cos 2
4
x
x
x
0,25
arccos
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
2 2
,
arccos
0,25
Câu 2 ( 2điểm
)
Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1) của khai triển là
9 9 9 3
1
k
x
1,0
Số hạng không chứa x ứng với 9 – 3 k = 0 k = 3 0,5 Vậy số hạng cần tìm là 3 6 3
9.3 1 61236
Câu 3 ( 2
điểm )
a) (1,0 điểm)
+) Số phần tử của không gian mẫu bằng số cách rút 3 con bài
từ 52 con bài bằng 3
52
C (phần tử)
0,25
+) Số cách rút 3 con K từ 4 con K là 3
4
+) Vậy xác suất rút được cả ba con đều là con K là 0,5
Trang 43 4 3 52
1 5525
C
C
b) (1,0 điểm)
+) Để rút được ba con thoả mãn yêu cầu bài toán ta làm như sau:
- Rút 2 con K từ 4 con K có 2
4
C (cách)
0,25
- Rút 1 con bất kì từ 48 con không có bộ K có 1
48
C (cách) 0,25 +)Vậy số cách rút được ba con thoả mãn yêu cầu là
2 4
C C481 (cách)
0,25
+) Vậy xác suất cần tìm là
2 1
4 48 3 52
5525
C C
Câu 4 ( 3
điểm )
a) (1,0 điểm)
0,25
Vì M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD nên MN là đường trung bình trong tam giác SBD Vậy MN song song với
BD
0,75
b) (2, 0 điểm)
S
D A
M
N
P
E
F H
Trang 5+) Ta có MN MNP BD, ABCD MN, / /BD 0,25 +) Vậy MNP ABCDPE, EDC PE, / /BD/ /MN 0,5 +) Trong (ABCD), gọi F PEAD
+) Vậy ta có
0,5
+) Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) là ngũ giác PENHM
0,25
Trang 6TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán - Lớp 11 chuyên Toán
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (2 điểm) : Cho phương trình
2
2
cos 2 tan
cos
x
a) Giải phương trình (1)
b) Tìm các nghiệm của phương trình (1) thuộc đoạn 1;70 Tính tổng các nghiệm
đó
Câu 2 (2 điểm): Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
2
m x x
Câu 3 (2 điểm): Cho dãy số u n xác định bởi
1
1
3
2 1
, 1
n n
n
u
u
u
Tìm u2003
Câu 4 (1,5 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD và M là điểm bên trong tứ giác sao cho ABMD là
hình bình hành Chứng minh rằng nếu CBM CDM thì ACD BCM
Câu 5 (2,5 điểm): Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm
của các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’
Chứng minh rằng IKG / / BB C C' ' và A KG' / / AIB'
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Chữ kí giám thị:
Trang 7TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Lớp 11 chuyên Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang)
I Hướng dẫn chung
- Nếu thí sinh làm bài đúng theo cách khác với đáp án dưới đây vẫn cho điểm tối đa
- Điểm từng bài thi được chấm lẻ tới 0,5 điểm
II Đáp án và thang điểm
1
2
Phương trình đã cho tương đương với
cos 2x tan x 1 cosx 1 tan x
2
cos 2x cosx 0 2cos x cosx 1 0
2
2 , 1
2 cos
3 2
x
x
1,0
1 70 0;1; 2; ;32
Vậy phương trình có 33 nghiệm trên đoạn 1; 70
0,5
Ta có 0 ; 1 2 ; 2 2.2 ; ; 32 32.2
Do đó tổng các nghiệm là 2
33 1 2 32 11 352 363
0,5
2
Phương trình tương đương với
2
2 8
x m x
Xét hàm số
0,5
Trang 8
Lập bảng biến thiên của hàm số
Trong đó có tính toán đúng các giới hạn lim 1, lim 1
4 2
0,75
Từ bảng biến thiên ta có
1 m 1
6 1
2
m
: Phương trình có 2 nghiệm
6
2
m : Phương trình có 1 nghiệm (kép)
0,75
3
2
1 cos
2 1 4
1 cos
4
0,5
Bằng quy nạp ta chứng minh tan 1 tan
n
Với n = 2 ta có 2 1
1
tan tan tan
3 8
1 tan 1 tan tan
u u
u
0,5
Giả sử bài toán đúng đến n = k, tức là tan 1 tan
k
Ta chứng minh bài toán đúng với n = k+1
Ta có
1
k k
k
k u
0,5
Vậy tan 1 tan
n
0,5
Trang 9do đó 2003
3 1
4
Xét phép tịnh tiến theo véc tơ BA Gọi D, E lần lượt là ảnh của M, C qua phép tịnh tiến
này Ta có DAEMBCMDCECD nên tứ giác DAEC nội tiếp
1,0
5
Dễ thấy KI/ /CC' (1)
Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của CC’ suy ra
AN AM AN AM (2)
Từ (1) và (2) suy ra (IKG) // (BCC’B’)
1,0
Ta có AI // A’K (3); CP nằm trong mặt phẳng (A’KG) và B’M nằm trong (AIB’) mà CP //
B’M (4) nên từ (3) và (4) suy ra (A’KG) // (AIB’)
1,0
Hình vẽ
0,5
Trang 11TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán- Lớp 11 – Chương trình nâng cao
Thời gian làm bài : 90 phút
Câu 1 (3 điểm): Giải các phương trình sau:
1, 5x) sinx 2 cos 3x
2 cos(
2, 4 sin 2x 3 cos 2x 3 ( 4 sinx 1 )
3,
x x
x x
x
sin cos
1 sin )
1 )(cot cos 1 (
Câu 2 (2 điểm): Tìm số hạng chứa x20 trong khai triển A = 29
) 3
1 9 (
x
x
Câu 3 (2 điểm): Một hộp chứa 12 thẻ, trong đó có 2 thẻ ghi số 1 ; 4 thẻ ghi số 5 và 6 thẻ
ghi số 10 Chọn ngẫu nhiên 6 thẻ Tính xác suất để các số ghi trên 6 thẻ được chọn có tổng không nhỏ hơn 50
Câu 4 (3 điểm): Cho hình tứ diện ABCD Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC
Trên BD lấy một điểm K sao cho BK = 2 KD
1, Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (IJK)
2, Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (IJK)
Chứng minh FA = 2FD
3, Gọi M, N là hai điểm bất kỳ lần lượt trên đoạn AB, CD Tìm giao điểm của MN với mặt phẳng (IJK)
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh : Chữ ký giám
thị :
Trang 12TRƯỜNG THPT CHUYÊN TN KỲ THI CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán- Lớp 11 – Chương trình nâng cao
Thời gian làm bài : 90 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản Hướng dẫn chấm thi gồm 01 trang)
1, Hướng dẫn chung: Học sinh làm đúng đến bước nào cho điểm từng phần đến bước đó
2, Đáp án và thang điểm:
Câu 1/1 (1đ): Phương trình đã cho tương đương với
k x
k x
x
x
4
3 6 1
2 sin
0 3 cos
Kết luận : PT có 2 họ nghiệm trên
Câu 1/2 (1đ): Phương trình đã cho tương đương với
PTVN
Z k k x x
x
x x
x x
) 2 (
, )
1 ( ) 2 ( 0 6 sin 3 cos 4
) 1 ( 0 sin 0
) 6 sin 3 cos 4
(
Kết luận : Phương trình có nghiệm x =k ,kZ
Câu 1/3 (1đ): Điều kiện
0 sin cos
0 sin
x x
x
Phương trình đã cho tương đương với
2
, 2 2 1
cos
1 sin 0
) 1 )(cos 1 (sin
k x
Z k k x
x
x x
x
Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x k2 ,kZ
Câu 2 (2đ): k = 6 ; Số hạng chứa x20 bằng 6 43 20
293 x
C
Câu 3 (2đ): Số trường hợp có thể : 6
12
C =924 ; P =
924
127
1
6 12
2 4 4 6 1 6 5
C
C C C C
Câu 4/1 (1đ): Thiết diện là tứ giác IJKF ( Hình vẽ)
Câu 4/2 (1đ): Gọi H là trung điểm của BD, Ta có
CD
JH KD
HK DE
2
1 =>
D là trung điểm của CE
Trong ACE có AD, EI là đường trung tuyến => F là trọng tâm của tam giác ACE Kết luận: FA = 2 FD
Câu 4/3 (1đ): Trong (ACD) có ANIFA'; Trong (BCD) có BNJKB';
Trong (ABN) có A'B' MNO Điểm O chính là giao điểm phải tìm
