Đáp án môn toán đề thi thử đại học sư phạm Hà nội lần 4 năm 2013

Bất đẳng thức được chứng minh.[r]

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4 – ĐẠI HỌC SPHN Câu 1

1 Tự giải

2 Điểm cực đại là A(0; 2), cực tiểu B(2; -2)

Phương trình của : 2 1 2

4

    

  Gọi H là khoảng cách từ B đến  Ta luôn có: h AB Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB  

Ta có: AB 2; 4 

và vecto chỉ phương của  là 2 1

1;

4

u m  



AB   AB u   m   m  m 

 

Câu 2

ĐK: sin 2x  0

Phương trình đã cho tương đương với:

2

1

1 3cos os2

1 sin sin 2

1 3cos os2 2 cos

2 cos cos 0 cos 2 cos 1 0

x x



Do sin 2x 0 cosx nên 0 2 cos 1 0 cos 1 2  



Kết hợp với đk, ta có nghiệm phương trình: 2  

3



Câu 3

ĐK: x0,x2y0

Ta có: x x2y  2 2x2y2 x x 2y 2

1

 



 



  2

1

 



 

  



2 xy  1 y vào phương trình: 4  

19 20

y   xy , ta được:

2

2

1

9

y

y

 





y    y  xy  Vô lý, trường hợp này vô nghiệm

1

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: x y ;  0;1 , 2; 1   

Câu 4 Ta có:

2 2

0

1

2

0

2 0

ln 1

x

x x

xdx

x x



















Câu 5

Mặt khác ' 3

2

a

AH  , suy ra H H' Vậy H là trung điểm của BC

Tam giác SAH vuông tại H có  0

SAa SAH 

Trong ABC đều, kẻ đường cao AH’, ta có '

AH AH (đường vuông góc không lớn hơn đường xiên)

Gọi P là điểm đối xứng của S qua H, thì ASP là tam giác đều có đường cao là AH, kẻ đường trung trực của SA cắt AH tại G là trọng tâm của tam giác ASP Ta có: GS GAGBGC Suy ra G là tâm mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính 3

3

a

R  Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là 3

27

a



Câu 6

Ta có:

2

2

4

VT

VT

  



  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = c, b = d Bất đẳng thức được chứng minh

Câu 7

Do Bd C1, d2 nên    ' '     

B t t C t  t  AB t t AC t   t 

Từ đẳng thức 2AB3AC, ta có 2 trường hợp sau:

2 6 ' 11

2 2 3 2 ' 5

t t



  



 

13

19 25 6

;

' 9

t

AB t



 

  





TH2:    

2 6 ' 19

2 2 3 2 ' 5

t t





 

29

23 17 6

;

' 9

t

AB t





  





Chọn u  23;17

làm vecto chỉ phương của l Ta có phương trình của l là: 17x23y520

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: l1: 25x19y320 và l2: 17x23y520

Câu 8

Gọi n 1; 4;1 ,  n 2; 2; 3 

thứ tự là vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng (α) và (β) Khi đó, vecto chỉ phương của d cùng phương với vecto  4 1 1 1 1 4   

2 3 3 2 2 2

n n      

 

Ta nhận thấy điểm M(-2; 0; -3) nằm trên d, nên phương trình của

2 2 :

3 2

d y t

  









   

 Gọi I 2 2 ; ; 3 2t t   t là tâm mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng    P1 , P 2

Ta có:   1    2 

d I P d I P              

3

13 5 5

2

t

t





      

 

 Vậy có 2 mặt cầu thỏa mãn bài toán:

50

3

75

2

Câu 9

Ta có: z  1 x24y2  1 x24y2 1(1)

Từ Pxyy x P, thay vào (1) ta được: 2 2

5x 8Px4P  1 0(2)

Phương trình (2) có nghiệm ' 2  2  5 5

Với 5 2 5 5

Suy ra: min 5

2

5 10

2

P  khi 2 5 5

5 10