Đề thi vào chuyên đại học sư phạm hà nội năm 2013 môn toán đề vòng 1 và vòng 2

http://baigiangtoanhoc.com Đề thi vào chuyên toán BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự do – Hạnh phúc.. ĐỀ CHÍNH THỨC[r]

http://baigiangtoanhoc.com Đề thi vào chuyên toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013

Môn thi: Toán

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP)

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (2.5 điểm)

1 Cho biểu thức:

3

2

2

a b

Q





Với a0,b0,ab Chứng minh giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a và b

2 Các số thực a, b, c thỏa mãn: a  b c 0 Chứng minh đẳng thức:

 2 2 22  4 4 4

2

Câu 2 (2 điểm) Cho Parabol   2

:

P yx và đường thẳng  : 12( 0)

2

m

1 Chứng minh rằng với mỗi m 0, đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

2 Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 là các giao điểm của (d) và (P) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

1 2

Câu 3 (1.5 điểm) Giả sử a, b, c là các số thực, a sao cho hai phương trình b 2

x bx  có nghiệm chung và 2 phương trình c x2 x a0,x2cx b 0 có nghiệm chung Tính

a b c 

Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC không cân, có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm (O) Các đường cao

1 1 1

AA ,BB CC, của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H, các đường thẳng A1C1 và AC cắt nhau tại điểm D

Gọi X là giao điểm thứ 2 của đường thẳng BD với đường tròn (O)

1 Chứng minh DX DB DC DA1 1

2 Gọi M là trung điểm cạnh AC, chứng minh DHBM

Câu 5 (1 điểm) Các số thực x, y, z thỏa mãn:







Chứng minh: x y z

- Hết - Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

http://baigiangtoanhoc.com Đề thi vào chuyên toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013

Môn thi: Toán

(Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và lớp chuyên Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (2.5 điểm)

1 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời 2 đẳng thức

a a b b c c    aabc

b  3 3 3 3 3 3 3 3 3

Chứng minh abc  0

2 Các số thực dương a, b thỏa mãn ab2013a2014b Chứng minh bất đẳng thức:

Câu 2 (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số hữu tỷ (x; y) thỏa mãn hệ phương trình

3 3







Câu 3 (1 điểm) Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu Sn là tổng của n số nguyên tố đầu tiên

S12,S2  2 3,S3  2 3 5,  Chứng minh rằng trong dãy số S1, S2, S3, … Không tồn tại hai số hạng

liên tiếp đều là các số chính phương

Câu 4 (2.5 điểm) Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm (O), BD là đường phân giác của

goác ABC Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E Đường tròn (O1) đường kính DE cắt

đường tròn (O) tại điểm thứ hai F

1 Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD đi qua trung điểm cạnh AC

2 Biết tam giác ABC vuông tại B, BAC 600 và bán kính của đường tròn (O) bằng R Hãy tính bán kính của đường tròn (O1) theo R

Câu 5 (1 điểm) Độ dài 3 cạnh của tam giác ABC là ba số nguyên tố Chứng minh rằng diện tích của tam giác ABC không thể là số nguyên

Câu 6 (1 điểm) Giả sử a a1, 2, ,a là các số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa 11

mãn a1a2 a11407 Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của các phép chia

n cho 22 số a a1, 2, ,a11, 4 , 4a1 a2, , 4a11 bằng 2012

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm