Đề thi và đáp án môn toán vào lớp 10 chuyên Ngoại Ngữ ĐHQG Hà Nội năm 2012

Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ tại điểm N khác M.. CMR P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN..[r]

TRUNG TÂM EDUFLY

Trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 NĂM HỌC 2011-2012

Thời gian làm bài 120 phút

ĐỀ BÀI Câu I

1) Giải phương trình: x 9 2012 x 6 2012 x9x6

2) Giải hệ phương trình:

x y xy



  



Câu II

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn đẳng thức:

x y 1xy x y 5 29xy 2) Giả sử x, y là các số thực nguyên dương thỏa mãn điều kiện:

 x 1 xy x y  5 29xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M là một điểm trên cung nhỏ

BC ( M khác B, C và AM không đi qua O) Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ tại điểm N khác M

1) Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O CMR 3 điểm N, P, D thẳng hàng

2) Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M CMR P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN

Câu IV Giả sử a, b, c là các số thực thỏa mãn c b 1,a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

   

ab a b c ab Q



-HẾT -

TRUNG TÂM EDUFLY

ĐÁP ÁN

Câu I

1) Điều kiện x  6 Phương trình đã cho tương đương với

 x  9 2012 x   6 1 0

Giải x      6 1 0 x 5

Vậy PT có 2 nghiệm x 4048135 và x  5

2) Cách 1: Hệ đã cho tương đương với  

2 2







u x y vx y x  y   x y  x y u  v

Thu được

 

2

5, 10 5

u v



Giải:  

 

x y



Giải:  

 

x y





 

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1;1) và (2;0)

Câu II

1) PT   x y 1xy x y 2 x     y 1 3 x y 1xy   x y 2 3

1 3

x y

    là nghiệm của 3





       

Vậy (-1;-1) và (1;1) là các cặp số nguyên cần tìm

TRUNG TÂM EDUFLY

2) Ta có  x 1 y   1 4 xy x y  3 Theo BĐT côsi

xy x y        x y

Theo BĐT Côsi

2

2

2

2 2

x y

x y y

y x y

x x



  

      





  

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x = y = 1

Câu III

1) Vì D đối xứng M qua O nên MD là đường kính của (O) Suy ra DH song song với MN N cũng thuộc đường tròn đường kính MP nên NPMN Từ đó DN trùng với NP hay N, P, D thẳng hàng Ta có điều phải chứng minh

2) Do MD là đường kính của (O) nên PAD  90 

Q thuộc đường tròn đường kính MP nên

PQD  Từ đó từ giác APQD nội tiếp Vậy ta có các góc nội tiếp bằng nhau

NAPNDM PQA và PQNPMN ADNAQP Vậy AP là phân giác góc NAP và QP là phân giác góc NQA Vậy P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANQ Ta có điều phải chứng minh

 1 1 1

abc ab ac a abc bc ba b abc ca cb c Q



        

   

;

BĐT trên tương đương với

0

3   3 4 1   1   2 3 1 

   1

0

a b c

a



Vì 3, 0 " 3   3 4 1  0(1)

b c

 

Vì 1" , 0 "  1   2 3 1  0(2)

a b

 

TRUNG TÂM EDUFLY

a



Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 5

12 khi a = 1, b = 2, c = 3