Đáp án đề thi chính thức vào lớp 10 môn toán thành phố Hà Nội năm học 2014

Câu 2(2,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:.. 2 Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ng[r]

CHƯƠNG TRÌNH 1:1 MÔN TOÁN ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 THPT– TPHÀ NỘI

Nămhọc 2014 - 2015

Ngàythi: 23tháng 06 năm 2014 Thờigianlàmbài: 120 phútkhôngkểthờigianphátđề

ĐÁP ÁN THAM KHẢO

(Đáp án gồm 05câu)

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức 1

1

A x x

 

 , khi x9



a Chứng minh rằng P x 1

x

 

b Tìm các giá trị của x để 2P2 x5

*Đáp án:

1

A x x

 

 , điều kiện xác định của A là x0,x1

Với x 9 x 3 Ta có 3 1 4 2

3 1 2





2







1

x x



Vậy với x0,x1P x 1

x

  (đpcm)

b) 2P2 x5 1

x



2x3 x  2 0 2x4 x x  2 0 2 x( x2) ( x2)0 (2 x 1)( x 2) 0

x   x  x (Thoả mãn)

 x  2 0 x  2 (Loại)

Vậy 1

4

x , thì 2P2 x5

Câu 2(2,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Đáp án:

Gọi số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là x (sản phẩm),x > 0

Khi đó:

Vì theo kế hoạch, phân xưởng cần phải sản xuất 1100 sản phẩm nên số ngày phân xưởng làm theo kế hoạch là 1100

x (ngày)

Do mỗi ngày phân xưởng sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên thực tế mỗi ngày phân xưởng làm được 5

x (sản phẩm)

Số ngày phân xưởng làm thực tế là 1100

5

x (ngày)

Vì phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 2 ngày nên ta có phương trình:

1100 1100

2 5



550 550

1 5



550 x 5 550x x x 5

2

5 2750 0

50 0

55 0

  





   



Vậy số áo mỗi ngày phân xưởng làm theo kế hoạch là 50 áo

Câu 3 (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình sau

5 1

1 1







2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho đường thẳng ( ) :d y  x 6và Parabol ( ) :P yx2

a) Tìm tọa độ các giao điểm của ( )d và ( )P

b) Gọi A B, là hai giao điểm của ( )d và ( )P Tính diện tích tam giác OAB

Đáp án:

1 Giải hệ phương trình:

4 1

5 1

( )

1 1

x y y

I

x y y

  





  



1

( )

I

   

1 1

1 1

x y

y

       



 



Nghiệm của phương trình là: ( ; )x y  ( 1; 2)

2)

a Phương trình hoành độ giao điểm:

6 0

x x

  



        

( ) (2;4); ( 3;9)

b Hạ

;

(4 9)5 3.9 2.4

15 ( d )





Câu 4 (3,5 điểm)

Cho đường tròn O R;  có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của đường tròn O R;  (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến của đường tròn O R;  tại B cắt các đường thẳng AM, AM lần lượt tại các điểm Q, P

1) Chứng minh tứ giác ABMN là hình chữ nhật

2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn

3) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại điểm F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME// NF

4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất

*Đáp án:

a) Xét tứ giác AMBN có:

 90o

AMB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

 90o

MBN  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

 90o

ANB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

Từ đó suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật)

b) Ta có:

2

sd AMN  sd AN (góc nội tiếp chắn cung AN của đường tròn (O;R)) (1)

sd APQ sd AMBsd NB  sd ANBsd NB  sd AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra AMNAPQ

Xét tứ giác MNPQ có:

APQ QMN AMNQMNAMQ

Mà APQ và QMN là hai góc ở vị trí đối đỉnh

Do đó tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp (Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Vậy M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn

c) Ta có OE là đường trung bình của tam giác ABQ

 OE//AQBOEBAQ Mặt khác   0

90

PAQFOE Suy ra PAQ BAQ  FOEBOE

Mà O là trung điểm của AB, nên OF là đường trung

bình của tam giác ABP

F là trung điểm của BP

Xét tam giác PBN và tam giác BQM, có

90

PNBBMQ và NPBMBQ (Do MB//AP)

Tam giác BPN đồng dạng với tam giác BQM

Mà E;F là trung điểm của hai cạnh tương ứng BQ, PB,

nên tam giác PNE đồng dạng với tam giác BMQ

d) SMNPQ=SAPQ-SAMN

2SMNPQ=2SAPQ-2SAMN=2R.PQ – AM.AN=2R(PB+BQ)-AM.AN (1)

Xét hệ thức lượng trong tam giác vuông APQ ta có

PB.BQ=AB2=(2R)2

PBBQ PB BQ R  R (2) Lại có AM2+AN2=MN2 (Pitago)

2

2 (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra 2SMNPQ2R.4R-2R2=6R2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung AB

Câu 5(0,5 điểm)Với a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện a b c  2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q 2abc 2bca 2cab

F E

P

Q

M

N

* Cách 1:

Áp dụng BĐT Cô si:

a b a c b c b a c a c b

Q

a b c

   

2 4

3 2

max

a b c

  



   



         

   



* Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cốp-xki

2 2

2

3

a b c

bc ca ab

3

a b c   ab bc ca  (Dễ chứng minh)

4

Q

 

Vậy Q max 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 3 2

a bc b ca c ab

a b c

    





   

