Chuyên đề: Một vài bài toán đa thức một biến lớp 8

Do đó k, m cùng tính chẵn lẻ.. Chia hết và chia còn dư.[r]

Chuyên đề: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT BIẾN

Bài toán 1: a Tìm đa thức P x( ) bậc 4 thỏa mãn các điều kiện sau: P ( 1)  0

P x  P x   x x  x    x

b Từ đó tính tổng: S   1 2 3  2 3 5    n n( 1) (2n 1)

Lời giải:

a Với x 0 thì P(0)  P( 1)  0

Với x  1 thì P( 1)  P( 2)  0

Suy ra: P x( ) nhận 0, -1, -2 là nghiệm

Đặt P x( )  x x(  1) (x  2) (ax + b), với a  0

Với x  1 thì P(1)  P(0)  6  6 Suy ra a  b  1

Với x  2 thì P(2)  P(1)  30  36

Suy ra: 2 3

2

a  b  Từ đó: 1

2

a  b 

2

b Ta có

2

1

( 1) ( 2) 2

n n n

2 Tính giá trị của đa thức:

Bài toán 2: Cho đa thức P x( ) thỏa mãn P(1) 1; P 1 12 P x( ), x 0;

x x

 

P x  x  P x  P x x x   Tính 5

7

P 

 

Lời giải: Ta có: P(2)  P(11)  P(1)  P(1)  2

Tương tự: P(3)  3; P(5)  5; P(7)  7

P    P  P    P    P   

Tương tự: 3 3; 5 5

P    P   

3 Đa thức với hệ số nguyên:

Bài toán 3: Cho đa thức P x( )  ax2  bx  c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kì thì P x( ) là một số chính phương Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên và b là

số chẵn

Lời giải: Vì P(0)  c là một số chính phương nên 2

c  m , với m là một số nguyên (hiển nhiên c là một số nguyên)

Vì P(1)  a b  c và P( 1)  a  b  c là những số nguyên nên

,

a  b a b   Suy ra 2 , 2a b  

2a  n; 2b  p P; (4)  k , với n p k  , ,

Suy ra: 2 2

k  m  a  b hay (k  m) (k  m)  2 (4n  p)

Nếu k, m khác tính chẵn lẻ thì (k  m k) (  m) là số lẻ : vô lí

Do đó k, m cùng tính chẵn lẻ

Suy ra: (k  m k) ( m) 4 Do đó (4n  p) 2 hay p 2 Suy ra: b  

Mà a  b  nên a   Đặt 2

(2)

P  t , với t   Ta có: 2 2

2 (2 )

t  m  a b Lập luận tương tự như trên ta suy ra b chẵn (đpcm)

4 Chia hết và chia còn dư

Bài toán số 4: Cho các đa thức 3

( )

P x  x  x và

Q x  x  x  x  x  x 

a Tìm dư trong phép chia Q x( ) cho P x( )

b Tìm x để Q x( )P x( )

Lời giải:

a Ta có P x( )  x x( 2 1);

Q x  x x   x x   x x   x x   x 

Vì các đa thức x80 1, x48 1, x24  và 1 x  đều chia hết cho 8 1 x  nên 2 1 Q x( ) chia P x( ) dư 5x 1

b Ta có ( ) ( ) 5 1 0 1

5

Q x P x  x    x  

Bài tập tự giải:

1 Chứng minh rằng với mỗi số a 0 thì đa thức f x( )  x4  ax2  2 viết được

thành tổng các bình phương của hai đa thức bậc hai

2 Tìm đa thức P x bậc 3 thỏa mãn các điều kiện sau: ( ) P ( 1) 18 và khi chia

( )

P x cho x1, x  2,x 3 đều dư 6

3 Cho đa thức 2

( ) ax

P x  bx  c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kì thì ( )

P x là một số nguyên Hỏi a, b, c có nhất thiết là những số nguyên hay không?

4 a Chứng minh rằng nếu P x( ) là một đa thức thì P x( )  P x(  2)(x  2)

b Biết rằng P x( ), Q x( ) là những đa thức thỏa mãn

(2x5) ( )P x  (4x1)Q x( ) là một đa thức chia (x 2) dư 17 Tính Q(2)