Bài giảng số 4: Khái niệm tam giác đồng dạng và các dạng bài tập

A. - Các đỉnh của các góc bằng nhau gọi là các đỉnh tương ứng.. a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác. Tính chu vi của hai tam giác đã cho.. Vậy tam giác mới đồng dạng với tam giác ABC[r]

BÀI GIẢNG SỐ 4 KHÁI NIỆM TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Tam giác A B C gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu chúng có ba cặp góc đôi một ' ' '

bằng nhau và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

' A; '  ; ' 

A B C ABC A B B C C A









 Một số khái niệm:

- Các cặp góc bằng nhau gọi là các góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng

- Các đỉnh của các góc bằng nhau gọi là các đỉnh tương ứng

Tỉ số các cạnh tương ứng A B' ' B C' ' C A' ' k

AB  BC  CA  gọi là tỉ số đồng dạng

 Các tính chất:

- Mỗi tam giác thì đồng dạng với chính nó ( ABC ABC với tỉ số đồng dạng k  ) 1

- Nếu A B C' ' 'ABC thì ABCA B C' ' '( A B C' ' 'ABC theo tỉ số đồng dạng

1

' '

A B

k

AB

 thì ABCA B C' ' 'theo tỉ số 2

' '

AB k

A B

- Nếu A B C' ' 'ABC và A B C'' '' ''ABC thì A B C' ' 'A B C'' '' ''

 Định lí nhận biết hai tam giác đồng dạng:

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

/ /

ABC

AMN ABC

MN BC









TH 1

TH 2

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Hãy vẽ tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng:

4

k  ;

3

k 

Giải

a) Giả sử vẽ được AMN ABC theo tỉ số 3

4

k  , thế thì 3

4

AM

k

AB  

Từ đó ta suy ra cách vẽ gồm hai bước sau:

Bước 1: Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 3

4

AM

AB  Bước 2: Kẻ Mx/ /BC cắt AC tại N

Ta có AMN ABC theo tỉ số 3.

4

k 

b) Giả sử vẽ được APQABC theo tỉ số 5

3

k  , thế thì 5

3

AP

k

AB  

Từ đó ta suy ra cách vẽ gồm hai bước sau:

Bước 1: Trên cạnh AB lấy điểm P sao cho 5

3

AP

AB  Bước 2: Kẻ Py/ /BC cắt AC tại Q

Ta có APQABC theo tỉ số 5

3

k 

4

k 

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác

b) Cho biết hiệu chu vi hai tam giác trên là 30m Tính chu vi của hai tam giác đã cho

Giải

a) Gọi chu vi tam giác A’B’C’ và ABC là p’ và p

Vì A B C' ' 'ABC theo tỉ số 3

4

k  nên ta có:

4

k

120

p

p p









Vậy chu vi tam giác A’B’C’ bằng 90m , chu vi tam giác ABC bằng 120m

Ví dụ 3: Tam giác ABC có đồng dạng với tam giác mà ba cạnh bằng ba đường cao của tam giác

ABC không, nếu các cạnh của tam giác ABC bằng:

a) 9cm; 12cm; 16cm

b) 6cm; 8cm; 9cm

Giải

a) Gọi h h h a, b, c là các đường cao tương ứng với các cạnh 9cm;12cm;16cm

S  ah  bh  ch  h  h  h

Các cạnh của tam giác mới ( xếp theo thứ tự tù nhỏ đến lớn) tỉ lệ với ba số 3, 4 ,6( tam giác này tồn tại) Các cạnh của tam giác mới ( xếp theo thứ tự tù nhỏ đến lớn) bằng 9, 12, 16 Vậy tam giác mới đồng dạng với tam giác ABC

b) Làm tương tự câu a, suy ra không đồng dạng với tam giác ABC

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Mức độ cơ bản

Bài 1 Cho tam giác ABC Hãy vẽ tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng:

c) k  ; 2

5

k 

Bài 2 Cho tam giác vuông A’B’C’ đồng dạng với tam giác vuông ABC theo tỉ số đồng dạng 1

4

k 

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác

b) Cho biết tổng chu vi hai tam giác trên là 40m Tính chu vi của hai tam giác đã cho

c) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác

Đáp số:

a) 1

4

b) Chu vi A B C' ' '8 Chu vi tam giác ABC32

16

A B C

ABC

S

Bài 3 Tìm các cặp tam giác đồng dạng trong hình vẽ sau

Đáp số: ABCAHB;ABCAHC;AHCAHB;

Mức độ nâng cao

Bài 4 Cho tam giác ABC (AC>AB) Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC

sao cho BD = CE Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC Chứng minh rằng tỉ số KE

KD không phụ thuộc cách chọn điểm D và E

Hướng dẫn: Qua D vẽ DG//AC Từ đó ta có các cặp tam giác đồng dạng và suy ra được các tỉ số:

Bài 5 Trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC, lấy tương ứng các điểm P, Q, R Chứng minh

rằng điều kiện cần và đủ để AP, BQ, CR đồng quy là PB QC RA 1

Hướng dẫn:

 Điều kiện cần: Có AP, BQ, CR Chứng minh PB QC RA 1

PC QA RB  Qua A và C kẻ đường thẳng

song song với BO cắt CO và AO lần lượt ở D và E Ta có các cặp tam giác đồng dạng và suy ra

được các tỉ số sau: OB PB RA; AD OE; EC;

Vậy ta có: PB QC RA OB AD EC 1

 Điều kiện đủ: Có PB QC RA 1

PC QA RB  , chứng minh AP, BQ, CR đồng quy Gọi O là giao điểm của

BQ và CR Tia AO cắt BC ở P’ Khi đó theo điều kiện cần ta có ' 1

'

P B QC RA

P C QA RB 

'

PB P B

P P

PC  P C   Vậy AP, BQ, CR đồng quy

Bài 6 Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng các điểm

P, Q, R (không trùng với các đỉnh của tam giác) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba điểm

P, Q, R thẳng hàng là PB QC RA 1

PC QA RB (Định lý Mê-nê-la-uýt) Hướng dẫn:

Điều kiện cần: P, Q, R thẳng hàng Chứng minh PB QC RA 1

Qua A, B, C kẻ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng PQ

Điều kiện đủ: PB QC RA 1

Gọi giao điểm của RP và AC là Q’ Dựa vào kết quả điều kiện cần, chứng minh QQ'

Bài 7 Cho tam giác ABC đều cạnh a Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2a Một

đường thẳng đi qua D cắt AB, AC lần lượt ở E và F Đặt BE x CF,  y. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt ED ở G, đường thẳng song song với ED cắt AB ở Q Chứng minh rằng

2ax3ayxy0



công thức, ta có đpcm