Bài giảng số 3: Ví trí tương đối giữa hai đường thẳng và các dạng bài tập ôn thi vào 10

2.. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS.. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS.. Bài giảng được c[r]

Bài giảng số 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Cho hai đường thẳng d1:ya x b1  1 và d2:ya x b2  2. Khi đó





  









 





c) d1d2 a1a2 d) d1d2 a a1 2   1

 Cho hai đường thẳng d1:a x b y1  1 c1 và d2:a x b y2  2 c2. Khi đó

d d

d d



d d

   d) d1d2 a a1 2b b1 2 0

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây

a) y2x  và 23 y4x  5

b) y2x  và 1 x2y   1 0

c) x2y   và 1 0 2

y m  x  ( m là tham số)

Giải

a)  d : y2x3 và  d : 2y4x5 2 5

2

Ta có:

2 2

5

3

2













   d d 

b)  d1 : y2x1 và  d1 : x2y 1 0 1 1

2 2

   

Ta có: 2 1

2

   d1  d 1

c)  d2 : x2y 1 0 1 1

2 2

    và   2

d  y m  x

Ta có: 2 1

1

2

m    m 2 1

1 2

      d2  d 2

Ví dụ 2:

Cho hai đường thẳng d1:mx3y   và 5 0 d2: 2xy 4 0. Tìm m để:

a) d1d2 b) d1d2 c) d1d2 d) d1d2

Giải

a) d1d2 3 5

2 1 4

 (Vô nghiệm) Vậy không tồn tại m để d1d2

b) d1d2 3 5

 m6 Vậy m 6 thì d1d2

c) d1d2 3

2 1

m

  m6

Vậy với m 6 thì d1d2

d) d1d2 m.2 3.1 0 3

2

m

  

Vậy với 3

2

m   thì d1d2

Ví dụ 3:

Cho O là gốc tọa độ, A là điểm có tọa độ 1; 2 Xác định các hệ số a và b để đường thẳng

ax

y  đi qua điểm b M 2; 2 và song song với đường thẳng OA

Giải

Phương trình đường thẳng OA có dạng: ymx

Do AOA nên có: 2m. 1 m  2

 phương trình OA là: y  2x

Do  d : yax b song song với đường thẳng OA nên 2

0

a b

  









Mặt khác M d  2a b 2 2. 2 b 2 b4 (thỏa mãn b 0)

Vậy phương trình đường thẳng  d : y  2x 4

Ví dụ 4: Cho hai hàm số  d1 : y 2x và  d2 : y0, 5x

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ

b) Giả sử đường thẳng đi qua điểm K0; 2 song song với trục hoành cắt  d1 và  d2 tại A và

B Tìm toạ độ của A và B Chứng minh OAOB

Giải

a)

Xét  d1 : y 2x

TXĐ: D  

Ta có a   2 0 hàm số nghịch biến

Bảng giá trị:

2

y  x 0 -2

Đồ thị của hàm số y 2x là đường thẳng đi qua

hai điểm O0;0và 1; 2  

Xét  d2 : y0, 5x

TXĐ: D  

Ta có a 0,5  hàm số đồng biến 0 Bảng giá trị:

0,5

Đồ thị của hàm số y0,5x là đường thẳng đi qua hai điểm O0;0và 2;1 

Vẽ đồ thị:

-2

x y

-1

O

A (d ) 1

1 2

(d )2

4 -1

b) Đường thẳng  d đi qua điểm K0; 2 song song với trục hoành nên  d : y 2

A là giao điểm của  d và  d1 nên tọa độ A là nghiệm hệ phương trình:

2

2

y







 



2 1

y x





 

 

 A1; 2

B là giao điểm của  d và  d2 nên tọa độ B là nghiệm hệ phương trình:

4; 2

B

Ta có: 2.0, 5  1    d1  d2 OAOB

Ví dụ 5:

Chứng minh rằng đường thẳng y(m2 1)x  luôn cắt hai trục toạ độ tại 2 A và B Tìm m để

diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng với hai trục toạ độ có diện tích bằng 1

2

Giải

Tọa độ giao điểm của    2 

d y m  x và Ox là nghiệm của hệ phương trình:

2

( 1) 2

0

y







2

2 1 0

x m y







 



2

2

; 0 1

A m



Tọa độ giao điểm của    2 

d y m  x  và Oy là nghiệm của hệ phương trình:

2

( 1) 2

0

x







0 2

x y





 

 

 B0; 2  Vậy    2 

d y m  x luôn cắt hai trục toạ độ tại A và B

ABO

m





2 2

4



Ví dụ 6:

Cho đường thẳng ' : y x 6. Lập phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng 2

'

 và

a) Đi qua điểm A' 1; 2 

b) Gọi P Q theo thứ tự là giao điểm của , d với các trục 2 Ox Oy có diện tích , OPQ 2.

c) Khoảng cách từ O đến d bằng 2 2 2

Giải:

Ta có: d2  phương trình d có dạng: 2 yx b b  6

a) d đi qua điểm 2 A' 1; 2  nên ta có: 1 b 2b1 (thỏa mãn)

Vậy d2: yx 1

b) Giao điểm với Ox Oy của , d là: 2 Pb; 0 , Q0;b

OPQ

S  OP OQ b  b 2

Vậy d2: y  x 2

c) Giao điểm với Ox Oy của , d là: 2 Pb; 0 , Q0;b

Gọi OH là đường cao kẻ từ O đến d (hay chính là đến 2 PQ )

Do OPQ vuông cân tại O nên 2 2

2

PQ

2

Vậy d2: y  x 4

Ví dụ 7:

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị các hàm số:  d1 : y2x ,  2

1 : 2

b) Đường thẳng  d song song với trục Ox cắt trục tung tại điểm C0; 2 và cắt    d1 , d2 theo thứ tự tại A và B Tìm toạ độ của A B ,

c) Tính chu vi và diện tích ABO

Giải

a)

Xét  d1 : y2x

TXĐ: D  

Ta có a 20 hàm số đồng biến

Bảng giá trị:

2

Đồ thị của hàm số y2x là đường thẳng đi qua hai

điểmO0;0và 1; 2 

Xét  2

1 : 2

TXĐ: D  

Ta có 1 0

2

a    hàm số đồng biến

Bảng giá trị:

1 2

Đồ thị của hàm số 1

2

y x là đường thẳng đi qua hai điểm O0;0và 2;1 

Vẽ đồ thị:

x

y

2 1

C

(d )1

(d ) 2

b)  d song song với trục Ox cắt trục tung tại điểm C0; 2 nên  d : y 2

A là giao điểm của  d và  d1 nên tọa độ A là nghiệm hệ phương trình:

2

2

y











2 1

y

x





 



 A1; 2

B là giao điểm của  d và  d2 nên tọa độ B là nghiệm hệ phương trình:

 

2

2

4; 2 1

4 2

y

y

B x















c) Ta có: OA  1 2 2  5, OB  2242 2 5, AB 3

3 5 3

ABO

P OA OB AB 

.2.3 3

ABO

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hai đường thẳng  d1 : ymx3 và  d2 : y2m1x5 Tìm m để:

Bài 2: Cho hàm số:  d : yax3 Hãy xác định hệ số a để:

Bài 3: Với giá trị nào của m thì đường thẳng:  d : ym1x,  d : y3x1

a) Song song với nhau ĐS: m 4

3

m 

Bài 4: Cho đường thẳng d y: a2xb Tìm các số a và b để đồ thị hàm số:

a) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 2

ĐS: 3 2; 1 2

2

a b 

b) Song song với đường thẳng d2: 3x2y 1 ĐS: 1, 1

a b

c) Trùng nhau với đường thẳng d3: 3x2y 5 ĐS: 7, 5

a b  d) Vuông góc với đường thẳng d4:x2y  2 0 ĐS: a 4

Bài 5: Vẽ đồ thị các hàm số bậc nhất tìm được ở bài 4

Bài 6: Tìm hệ số góc của đường thẳng trong các trường hợp sau đây

a) Đường thẳng đó đi qua gốc toạ độ và điểm A2;1 ĐS: 1

2

hsg 

b) Đi qua hai điểm A1; 2 và B3; 4 ĐS: hsg  1

c) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong trường hợp trên ĐS: Cắt nhau

Bài 7: Cho hai đường thẳng:    2

d y m xm ,  d2 : ymx3m7 Tìm giá trị của m để

các đường  d1 và  d2 song song với nhau ĐS: m  2

Bài 8: Xác định hàm số yax để đồ thị của nó song song với đường thẳng b y3x và đi qua điểm 1

4; 5

Bài 9: Tìm m a, để

a) d1: 2a a 1xy m1 song song với d2: 4a2xy3a1 ĐS: 1 4



b) d1:a3x3a5y a 70 vuông góc với d2:x3y110 ĐS: 9

4

a 

Bài 10: Cho hai hàm số d m: y f x   m1x2m3 và  d n : y f x   n2x1 Tìm m n,

a) d m d n ĐS: 1

0

m n

 









1

m

n m

 





 



b) d m/ / : x2y120 và d n  ' :yx2 ĐS: n 1,m

Bài 11:

a) Trên cùng hệ trục toạ độ vẽ đồ thị các hàm số sau: y3x, y3x , 6 1

3

3

y  x b) Bốn đường thẳng trên cắt nhau tại 4 điểm O A B C (, , , O là gốc toạ độ) Chứng minh tứ giác OABC

là hình chữ nhật

Bài 12: Cho 3 điểm A0;3, B2; 2, C4;1

a) Lập phương trình đường thẳng AB ĐS: x2y  6 0

b) Chứng minh A B C thẳng hàng , ,

c) Từ O (gốc toạ độ) vẽ đường thẳng  d vuông góc AB Tìm phương trình đường thẳng  d

ĐS: y2x

Bài 13: Trên hệ trục toạ độ Oxy , cho A1; 2, B5;1 Xác định toạ độ điểm C sao cho tứ giác OABC là

Bài 14: Cho hàm số yax b

a) Tìm a và b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M  1;1 và N2; 4 Vẽ đồ thị  d1 của hàm số với ,

b) Xác định m để đồ thị hàm số  2  2

2

y m m xm m là một đường thẳng song song với  d1 Vẽ

2

m  

c) Gọi A là điểm trên  d1 có hoành độ x 2 Tìm phương trình đường thẳng  d3 đi qua A vuông góc với cả  d1 và  d2 ĐS:  d3 : y  x 6

d) Tính khoảng cách giữa  d1 và  d2 ĐS: 9 2

8

Bài 15: Cho đường thẳng  d1 : ymx3 và  d2 : y2mx 1 m

a) Vẽ trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy cắt đường thẳng  d1 và  d2 ứng với m 1 Tìm toạ độ giao

- Qua O viết phương trình đường thẳng vuông góc với  d1 tại A Xác định A và diện tích AOB

ĐS: y x A; 3;3; S 27

b) Chứng tỏ rằng đường thẳng  d1 và  d2 đều đi qua những điểm cố định Tìm tọa độ của điểm cố

2

Bài 16: Xác định hàm số  d :yax b , biết rằng:

a)  d song song với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi hai trục toạ độ và  d cắt trục hoành tại

b)  d song song với đường thẳng  d1 :y2x3 và đi qua điểm 3;3

4

M 

 

2

y x c)  d vuông góc với đường thẳng  d2 :y  x 2 tại điểm A0; 2 ĐS: y  x 2

Bài 17: Cho hai đường thẳng:  d1 :ym2x4,  d2 :y2m1x n 3

1 Xác định giá trị của m và n để:

7

m n

 









1 3 2

m m







 



7

m n

 







 2.a) Tìm m n, để  d1 và  d2 cùng đi qua điểm A2; 0 ĐS: 0

5

m n









 b) Vẽ  d1 và  d2 với giá trị của m và n vừa tìm được

Bài 18: Cho A0;1 , B  4;3 Viết phương trình đường thẳng d là đường trung trực của 5 AB

ĐS: y2x 6