Bài giảng số 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ.. Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình..[r]
Trang 1Bài giảng số 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP
CỘNG ĐẠI SỐ
A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm
Cho hệ phương trình: ax by c a b c a b c, , , , , 0
a x b y c
Hệ có vô số nghiệm a b c
Hệ vô nghiệm a b c
Hệ có một nghiệm duy nhất a b
Phương pháp cộng đại số: Hệ phương trình ax by c
a x b y c
Nếu có ax by c
ax b y c
b b y c c
ax b y c
Nếu có ax by c
ax b y c
b b y c c
ax b y c
Nếu có
ax by c
k ax b y c
kax kby c
k ax b y c
kb b y kc c
ax by c
Nếu hệ ax by c
a x b y c
có a a , 1 thì hệ aa x ba y ca
aa x ab y ac
Chú ý: Phương trình axb 1
+) Nếu a 0 thì phương trình 1 có dạng 0xb
- Khi b 0 thì phương trình 1 có dạng 0x 0 phương trình có vô số nghiệm
- Khi b 0 phương trình 1 vô nghiệm
+) Nếu a 0 thì phương trình 1 có nghiệm duy nhất x b
a
Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình
Cho hệ phương trình
1 2
ax by c
a x b y c
có nghiệm 0
0
Thay xx y0; y0 lần lượt vào 1 và giải
Thay xx y0; y0 lần lượt vào 2 và giải
Trang 2 Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình
Cho hệ phương trình: ax by c
a x b y c
có nghiệm 0
0
Thay xx y0; y0 vào cả hệ phương trình ta được: 0 0
Sau đó giải hệ phương trình chứa ẩn là tham số
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
a) 2 3
x y
x y
b) 3 2 8
x y
x y
c) 7 2
x y
x y
d) 2 7 9
x y
x y
Giải
a) 2 3
x y
x y
5 10
x
x y
2 1 2
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 2;1
2
b) 3 2 8
x y
x y
y
x y
3 2 3
y x
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 2;3
3
x y
x y
x y
x y
y
x y
1 5
y x
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 5; 1
d) 2 7 9
x y
x y
91 63 14
x y
x y
x
x y
67 73 791 511
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 67; 791
73 511
Trang 3Ví dụ 2: Cho hệ phương trình
x y
n x n y n n
Tìm n để hệ có nghiệm x y ; 1; 2
Thay x y ; 1; 2 vào 1 ta có: 3 2. 2 7 3 471; 2 là nghiệm của 1
Thay x y ; 1; 2 vào 2 ta có: 2
5n1 2 n2 n 4n37n 3 n24n 3
11 0
n n
11
n n
Vậy với 0
11
n
n
thì hệ đã cho có nghiệm x y ; 1; 2
2
2
1
3
mx y m m
Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất x1;y 3
Giải:
Điều kiện để hệ có 1 nghiệm: 2.5 1 1 4
3
Thay x1;y vào 3 1 ta có: 2 2
5m 5m m 1 4m4m 2
1
m
1
m
I m
Thay x1;y vào 3 2 ta có: 2
4m 6 m 3m6 m m 10 0
1
m
II m
Từ I và II suy ra m 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với m 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất x1;y 3
mx n y
m x ny
Tìm m n, để hệ có nghiệm x3;y 1
Giải:
Thay x3;y vào hệ phương trình ta có: 1
3 3 2 1 5
m n
m n
m n
Trang 49 18
m
m n
Vậy với m 2 và n 5 thì hệ có nghiệm x3;y 1
Ví dụ 5: Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 52 2 3
Giải:
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
a
2
1 10
a
9
a
a 3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi a 3
Ví dụ 6: Cho hệ phương trình: 2 5
3
x y
mx y
Tìm m để hệ có nghiệm x0,y 0
Giải:
Ta có: 2 5
3
x y
mx y
x y
mx y
m x
x y
1 có nghiệm 2 1 0 1
2
Khi đó 1 1
2 1
x m
Thay vào 2 ta có:
1
2 5
2m1 y
5 3
2 1
m y m
Do đó,
1 0
0
m
1 2
m m
m
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài
x my
x my
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x y; thỏa mãn: 2
m x my m
Giải
x my
x my
x my
x my
1 3
my
x my
1 4
my x
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m0 Khi đó nghiệm của hệ là:
4 1
x
y m
Trang 5Thay vào * ta được: 2 1
m
2
4m 4 10 4m 5
4m 4m 1 0
1
2
m
(thỏa mãn)
Vậy với 1
2
m thỏa mãn yêu cầu đề bài
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:
Giải
Ta có:
y z
x y z
2 2
2 2 3
x z
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm thỏa mãn:
3
2 2
z
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
1 3 2 4
x y
x y
ĐS: 2;1
2 4 2 3
x y
x y
ĐS: Vô nghiệm
3 2 3 5
x y
x y
ĐS: Vô số nghiệm
4 3 4 2 0
x y
x y
ĐS: 2; 2
Trang 65 2 5 3
x y
x y
ĐS: 4; 1
6 4 6 9
10 15 18
x y
x y
ĐS: Vô nghiệm
Bài 2: Giải các hệ phương trình:
x y
ĐS: 2 6; 2 1
x y
x y
ĐS: 1 ; 1
c) (1 2) (1 2) 5
(1 2) (1 2 ) 3
ĐS: 7 2 6; 1
d)
2
2
( 1)
a x a y a
ax a y
(a là tham số) ĐS: a;1
Bài 3: Cho hệ phương trình:
2
2
1
x ay a a
ax y a a
Tìm a để hệ phương trình có nghiệm x0,y 0
ĐS: 1 a0
Bài 4: Giải các hệ phương trình:
x y
x y
ĐS: 5; 2 2
b)
4
2
a b
a
b
ĐS: 40; 32
2
2
mx n y
m x ny
a) Giải hệ phương trình với m2;n 1 ĐS: 5; 6
b) Giải hệ phương trình với m1;n 3 ĐS: 28; 3
5 10
Bài 6: Cho hệ phương trình: nx y 2n
nx ny n
Giải và biện luận hệ theo n
ĐS: +) n 1: Vô nghiệm +) n 1: Nghiệm là 1 2 ;
n n
n n
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:
Trang 7a) 2 1
x y
x y
ĐS: 4 5;
3 3
b) 2 2 3 10
x y
x y
ĐS: 2; 2
Bài 8:
a) Tìm toạ độ giao điểm của các đường thẳng sau: y3x2 d1 và y 2x3 d2
ĐS: 1;1 b) Tìm diện tích của tam giác giới hạn bởi các đường sau: y , 1 x 2, y x 6
ĐS: 9 2
Bài 9: Tìm giá trị của a để hệ sau: 2 2
x y a
x y a
có nghiệm x y0; 0 thoả mãn điều kiện x02y02 đạt
Bài 10: Cho hệ phương trình:
x y
mx m y m m
Tìm m để hệ có nghiệm x y ; 2;1
2
m
Bài 11: Cho hệ phương trình:
m x ny
mx n y
a) Giải hệ phương trình với m1;n 3 ĐS: 11 3;
2 2
b) Tìm m n, để hệ có nghiệm 3; 1 ĐS: m1;n 2
Bài 12: Cho hệ phương trình:
x y
mx m y m
Tìm m để hệ có nghiệm x y; thỏa mãn: 4x2y 6 ĐS: 15 217
2
m
x my
mx y
1 Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm ĐS: m 3
2 Giải hệ phương trình với m 2 ĐS: 3; 3
3 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x y; với x0, y 0 ĐS: m 3
Bài 14: Giải các hệ phương trình sau:
a)
1
3 9 27
ĐS: 6; 11; 6
Trang 8b)
2 3 11
ĐS: 2; 1;5