Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc nhất ôn thi vào lớp 10

Biên soạn: Th.S. Chú ý: Ở bước 3 ta có thể lập phương trình đường thẳng OA.. Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com. Biên soạn: Th.S.. Bài giảng độc quyền bởi http://baigian[r]

Bài giảng số 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC

NHẤT

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Để vẽ đồ thị hàm số y axb , ta vẽ hai đồ thị y1ax b  với x b

a

  và y2  ax b  với

b

x

a

  hoặc xét giá trị đặc biệt

 Tìm điều kiện để  d1 :yaxb cắt  d2 :ya x b   tại điểm thuộc góc phần tư thứ nhất

- Bước 1: Giải hệ phương trình ax b y

a x b y

 





  



, ta được nghiệm x y0; 0

- Bước 2: Tìm điều kiện thỏa mãn:

0

0

0 0

x y











  



Tương tự, (chỉ thay đổi ở bước 2) tìm điều kiện để  d1 cắt  d2 tại điểm thuộc góc phần tư:

- Thứ hai:

0

0

0 0

x y











  



- Thứ ba:

0

0

0 0

x y











  



- Thứ tư:

0

0

0 0

x y











  



 Tìm điều kiện để  d1 :yaxb cắt  d2 :ya x b   tại điểm có tọa độ nguyên

- Bước 1: Giải hệ phương trình ax b y

a x b y

 





  



, ta được nghiệm x y0; 0

- Bước 2: Tìm điều kiện để x0, y0 v aà a

 Chứng minh đồ thị hàm số yax b  luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi tham số m

- Bước 1: Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A x y 0; 0 với mọi m

- Bước 2: Thay A x y 0; 0 vào yax b  ta được: y0 ax0b  *

- Bước 3: Biến đổi (*) về dạng A m B0 ( A B là các biểu thức chứa , x v y ) 0 à 0

(Xem m là ẩn, A B là các hệ số thì phương trình , A m B0 luôn luôn đúng khi A0 àv B  ) 0

- Bước 4: Giải hệ phương trình 0

0

A B











, ta tìm được x y0; 0

 Tìm m để 3 đường thẳng  d1 :yaxb ,  d2 :ya x b  ,  d3 :ya x b   đồng quy

- Bước 1: Tìm điều kiện để aaa

- Bước 2: Nếu bb ta tìm điều kiện của m để b b hoặc bb (trường hợp hoặc b b hoặc

bb ta tìm tương tự) Nếu bbb, ta giải hệ phương trình không chứa tham số m , rồi thay vào phương trình còn lại để tìm m

 Tìm m để đồ thị hàm số yax b  tạo với hai trục tọa độ tam giác cân

- Bước 1: Tìm giao điểm với trục tung A0;b, giao điểm với trục hoành B b; 0

a



 

- Bước 2: Giải phương trình b b

a

  ta tìm được m

 Tìm điều kiện của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng yax b  có giá trị lớn nhất

- Bước 1: Tìm điểm cố định A x y 0; 0 mà đồ thị luôn đi qua

- Bước 2: Tìm giao điểm với trục tung B0;b, giao điểm với trục hoành C b; 0

a



 

- Bước 3: Vì khoảng cách từ O đến đường thẳng lớn nhất khi OABC nên áp dụng hệ thức lượng trong OBC vuông với đường cao OA có: 2 2 2  

*

OA OB OC Tính OA OB OC ta thay , ,

vào (*) tìm được m

Chú ý: Ở bước 3 ta có thể lập phương trình đường thẳng OA Từ đó tìm điều kiện của m để OA

vuông góc với đường thẳng yax b 

 Tìm điều kiện của m để 3 điểm A x A;y A, B x B;y B, C x C;y C thẳng hàng

- Bước 1: Lập phương trình đường thẳng AB (hoặc AC BC ) ,

- Bước 2: Thay tọa độ điểm còn lại vào đường thẳng vừa lập ta tìm được giá trị của tham số m

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

Giải:

a) y2 x2 3  

 



 





 

 Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

x y

-1

O 1

-3 b) y x 1 x3

Ta có bảng sau:

x 1 3

1

x  1 x 0 x 1 x 1

3

x  3 x 3 x 0 x 3

Dựa vào bảng trên ta có: y x 1 x3

x





 Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

y

O

1

4

2 3 4

Ví dụ 2: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2x5y15

Giải:

Ta có: 2x5y15 15 5

2

y

Nhận thấy x15 5 y2 y2n1 n x 5 5n

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: 5 5  

n

 











Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng:  d1 :ym1x2m ,  d2 :ymx2 Tìm m để  d1 cắt  d2 tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ hai

Giải:

Tọa độ giao điểm của  d1 và  d2 là nghiệm hệ phương trình:

 1 2

2





 



 



 d1 cắt  d2 tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ hai

0 0

x y







 

  



2

1

m

 







2

1

1 0

m





 

  



2 1

0

m m











1

m

 

Vậy m 1 thì  d1 cắt  d2 tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ hai

Ví dụ 4: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng  d :ymxm1 lớn nhất

Giải:

y

O

2 1 B

Tìm điểm cố định thuộc  d :ymxm1

Giả sử A x y 0; 0 là điểm cố định cần tìm Ta có: y0 mx0m1m x 0 1y0 1 0 m

2 2

OA

Giao điểm  d với trục hoành là B b; 0 B m 1; 0



Giao điểm  d với trục tung là C0;bC0;m1

Khoảng cách từ O đến đường thẳng  d lớn nhất khi và chỉ khi

 d OA tại A

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OBC, đường cao OA có:

m

   

2

m

 

2

2

m

m



m

Vậy với m  1 thì khoảng cách từ O đến đường thẳng  d lớn nhất

Ví dụ 5: Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy:

 d1 :y2x3,  d2 :y x 1,  d3 :ym1x2m

Giải:

Tọa độ giao điểm của  d1 và  d2 là nghiệm hệ phương trình:

1

 





 



1

x y

x y

 



 

 



2 1

x y





 





Để  d1 ,  d2 và  d3 đồng quy thì  d3 :ym1x2m phải đi qua điểm 2;1

 

1 m 1 2 2m

4

m

Vậy với 3

4

m  thì  d1 ,  d2 và  d3 đồng quy

Ví dụ 6: Cho đường thẳng ' :y   Lập phương trình đường thẳng x 6 d song song với đường thẳng 2

'

 và:

a) Đi qua điểm A' 1; 2 

b) Gọi P Q theo thứ tự là giao điểm của , d với các trục 2 Ox Oy có diện tích , OPQ 2

c) Khoảng cách từ O đến d bằng 2 2 2

Giải:

a) Đi qua điểm A' 1; 2  

Đường thẳng d song song với 2 ' có phương trinh d2:yx b

Vì A' 1; 2 d2: 2  1 b b1

Vậy ta được d2:y  x 1

b) Gọi P Q theo thứ tự là giao điểm của , d với các trục 1 Ox Oy , ta được ,

Với điểm P x:  0 y   do đó 0 b b P0;b

Với điểm Q y:  0 0  x b x  do đó b Qb; 0 

OPQ

Khi đó:

Với b 2, ta được đường thẳng d2:y x 2

Với b   ta được đường thẳng 2, d2:y x 2

c) Khoảng cách từ O đến d bằng 2 2 2

GọiP Q theo thứ tự là giao điểm của , d với các trục 2 Ox Oy , ta được: ,

Với điểm P x:  0 y   do đó 0 b b P0;b

Với điểm Q y:  0 0  x b x  do đó b Qb; 0 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d 2

Trong OPQvuông tại O ta có:

 

2

OA OB



Với b 4 ta được đường thẳng d2:y x 4

Ví dụ 7: Cho điểm B' 4; 1    Lập phương trình đường thẳng d đi qua 3 B' cắt Ox Oy theo thứ tự tại ,

   

' ; 0 , ' 0;

I a J b với a b  , 0

a) Diện tích OI J' ' nhỏ nhất

b) OI'OJ' nhỏ nhất

c) 12 12

' OJ '

OI  nhỏ nhất

d) Đi qua B" 4;1  và tạo với Ox một góc  có tan  3

- Tìm trên đường thẳng d điểm 3 I"x I";y I" sao cho x I"2y I"2 nhỏ nhất

Giải:

a) Diện tích OI J' ' nhỏ nhất.Từ giả thiết, ta được d3:x y 1

1

b

 với b 1(*)

'

1 ' '

OIJ

ab

Từ (*) sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 1 4 1 2 4 1 4 ab 16 S 8

Vậy phương trình đường thẳng d có dạng 3 3: 1 3: 1 2

b) OI'OJ' nhỏ nhất

Suy ra, ta được OI'OJ'min 9 đạt được khi: 4 1 2 6

3 1

a b

b b







Vậy phương trình đường thẳng d có dạng 3 3: 1 3: 1 3

c) 12 12

' OJ '

OI  nhỏ nhất

Ta có: 1 1 12 12

' OJ '

Theo bất đẳng thức Bunhiacôpki, ta có:  

2

2 2

17

Suy ra, ta được

min

OI OJ

1

4 17 4

a

a b

b

a b



 Vậy phương đường thẳng d có dạng 3 3: 1 3: 1 17

4

d   d y  x

d) Đi qua B' 4;1 và tạo với Ox một góc  có tan  3

Giả sử phương trình đường thẳng d có dạng 3 ymxn

3

d tạo với tia Oxmột góc  có tan  3nên: mtan  3

Vì B' 4;1 d3 nên 14mn4. 3  n n13

Vậy phương trình đường thẳng d có dạng có dạng 3 y 3x13

- Tìm trên đường thẳng d điểm 3 I"x I";y I" sao cho 2 2

" "

x  y nhỏ nhất

Vì I"x I";y I"d3 nên "

" " "

13

3

I

y

Khi đó

" " "

2

" "

1521 90

   đạt được khi " 13, " 117

Vậy ta tìm được " 117 13;

20 10

I  

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hai hàm số d m: y f x   m1x2m3 và  d n : y f x   n2x1 Tìm m n,

để đồ thị của hàm số nằm trong góc phần tư thứ II, IV và đi qua O ĐS: 3

2

m  

Bài 2: Vẽ trên cùng một hệ tọa độ đồ thị của các hàm số y2x và 1 y2 x 1

Bài 3: Vẽ trên cùng một hệ tọa độ đồ thị của các hàm số y2x và 1 y x1

Bài 4: Vẽ đồ thị của hàm số y 2 x1

Bài 5: Vẽ đồ thị hàm số y = x + x4 Từ đó giải phương trình: x = 4 - x4

ĐS:  4 x0

Bài 6: Cho đường thẳng  d có phương trình: 2m1xm2y2

b) Tìm m để  d cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất ĐS: 6

5

m 

Bài 7: Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy:  d1 :y2x5,  d2 :y x 2,  d3 :ymx12

7

m  

Bài 8: Cho đường thẳng  d có phương trình: x 3y40

a) Vẽ  d trên hệ trục toạ độ Oxy và tính góc tạo bởi  d với trục Ox ĐS: 30

b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng  d ĐS: 2

c) Chứng tỏ rằng đường thẳng  d1 có phương trình: x4  3y chỉ cắt 0  d tại 1 điểm trên trục

3

Bài 9: Cho hàm số   2

y f x   x  x a) Vẽ đồ thị hàm số trên

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f x   1 ĐS: 2

0

x x





 



Bài 10: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

Bài 11: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

n











n











23 7

n











Bài 12: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình

n











Bài 13: Cho điểm A 1;1 và 2 đường thẳng  d1 :y x 1,  d2 :y4x2 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt các đường thẳng    d1 , d2 tạo thành tam giác vuông

ĐS:

2

  







Bài 14: Tìm m để hai đường thẳng y  và x 1 y2mx cắt nhau tại điểm có tung độ là 1 3

4

m 

Bài 15: Tìm m để hai đường thẳng ymx và 1 y2x cắt nhau tại một điểm có tọa độ nguyên 3

ĐS: m 0;1;3; 4

Bài 16: Cho hàm số y x  1 x

a) Vẽ đồ thị hàm số

Bài 17: Trên một hệ trục tọa độ vuông góc có độ dài đơn vị là cm

a) Vẽ đồ thị hàm số y x2 3x

b) Gọi  d là đường thẳng có phương trình ym cắt đồ thị y x2 3x tạo thành một hình thang Tìm m để diện tích hình thang bằng 2

Bài 18: Cho đường thẳng  d :yax b Xác định giá trị ,a b biết rằng  d song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai và đi qua điểm A1; 2  ĐS: y   x 1

Bài 19: Chứng minh rằng ba đường thẳng sau đồng quy:  d1 :y x 1,  d2 :y3x2,

 3

1

2

2 2

Bài 20: Tìm a b để hai đường thẳng , a2x by 2 và axy cắt nhau tại điểm b M2; 1 

ĐS:

3 4 1 2

a

b



 





  



Bài 21: Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng: A2;1, B  2; 2, C m 1;m

5

m 

Bài 22: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y3mx2m luôn đi qua một điểm cố định 1 A với mọi m

3



Bài 23: Cho hai đường thẳng    2 

d y m  m x và  d2 :yax a0

a) Định a để  d2 đi qua điểm A3; 1  ĐS: 1

3

a  

b) Tìm các giá trị của m để    d1  d2 (ở câu a) ĐS: 1

3

m m







 



Bài 24: Cho hàm số  d1 :yaxb

a) Tìm a và b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M  1;1 và N2; 4 ĐS: 1

2

a b











b) Xác định m để đồ thị hàm số    2  2

d y m m xm m là một đường thẳng song song với đường

thẳng  d1 tìm được ở câu a Vẽ  d2 ứng với m vừa tìm được ĐS: 1

2

m  

c) Gọi A là điểm trên đường thẳng  d1 có hoành độ bằng 2 Tìm phương trình đường thẳng  d3 đi qua

A và vuông góc với hai đường thẳng  d1 ,  d2 Tính khoảng cách giữa  d1 và  d2

ĐS:

 3 : 6

9 2 8

d

  

