thì bằng nhau. iv)Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.. Chứng minh rằng quỹ tích AP AQ. không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác B[r]
Trang 1BÀI GIẢNG SỐ 3: GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VỚI MỘT DÂY CUNG
I.Tóm tắt lý thuyết
i) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến với một dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là tiếp tuyến của đường tròn và cạnh còn lại là dây cung của đường tròn đó
ii) Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn
iii) Trong một đường tròn góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
iv)Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn một cung
II Bài tập mẫu
Bài tập mẫu 1: giả sử A và Blà hai điểm phân biệt trên đường tròn ( ) O Các tiếp tuyến của đường tròn
( ) O tại A và B cắt nhau tại M Từ A kẻ đường thẳng song song với MB, cắt đường tròn ( ) O tại C
MC cắt đường tròn ( ) O tại E Các tia AE và MB cắt nhau tại K Chứng minh rằng:
2
.
MK AK EK và MK KB
Giải:
Do MB / / AC nên BMC ACM (1)
Lại có: ACM ACE MAE ( cùng chắn cung
MK KB) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: KME KAM g g ( )
Ta thấy: EAB EBK (cùng chắn cung MK KB)
AK BK
Hay BK2 AK EK (4)
Từ (3) và (4) suy ra MK2 KB2, nghĩa là
MK KB
Bài tập mẫu 2: Cho đường tròn ( ) C tâm O, AB là một dây cung của ( ) C không đi qua O và I là trung điểm của AB Một dường thẳng thay đổi đi qua A cắt đường tròn ( C1) tâm O bán kính OI tại
E
C
M
A
B K
Trang 2P và Q Chứng minh rằng quỹ tích AP AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B
Giải:
Ta có: PQI PIA( cùng chắn cung PI), nên
( )
API AIQ g g
Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ cắt AB
tại D(D B)
Khi đó ADP AQB suy ra AD AP
AQ AB
Hay AD AB AP AQ AI2 ( không đổi)
Do đó điểm D là điểm cố định
Bài tập mẫu 3: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và 0
60
BAC Gọi M N P , , theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A B C , , của tam giác ABC và I là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng tam giác INP đều
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC Chứng minh rằng các điểm I M E K , , ,
cùng thuộc một đường tròn
c) Giả sử IA là phân giác của NIP Tìm số đo góc BCP
Giải:
a) Từ giả thiết ta có: 1
2
IN IP BC nên tam giácINP cân tại I
Lại vì B P N C , , , cùng nằm trên đường tròn tâm I,
đường kính BC nên theo mối liên hệ giữa góc nội
tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung ta có:
PIN PBN
Vậy tam giác ABC đều
b) Rõ ràng bốn điểm I M E K , , , cùng nằm trên
đường tròn đường kính AI
H A
P
N
I
K E
j
Q
P
O
B
A
C
Trang 3c) Từ điều kiện bài ra ta thấy AI là tia phân giác
60
BAC , mà I là trung điểm của BC nên tam giác ABC đều Từ đó suy ra 0
30
BCP
Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy điểm D trên cạnh AC (AC 2 DC ) làm tâm
vẽ đường tròn tiếp xúc với BC tại E Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF cắt AD tại I và cắt AE tại K Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BF tại N
a) Chứng minh năm điểm A B E D F , , , , cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh hệ thức: IF BF
IK BK
c) Cho 0
130
AEC , tính số đo góc ANB
Giải:
a) Năm điểm A B E D F , , , , cùng nằm trên một đường
tròn BD
b) Trên đường tròn đường kính BD có DE DFnên
FAD EAD
Suy ra AI là phân giác trong của FAK, do đó
IF AF
IK AK (1)
AK BK BK (2)
Từ 1 (1) và (2) ta thu được IF BF
IK BK
180 130 50
AFB AEB
Mặt khác:
AFB ADB ACB DBC MAC DAF NAF
ANB AFB NAF
Bài tập mẫu 5: Cho hai đường tròn ( ) O và ( ') O tiếp xúc ngoài với nhau tại A Một tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại điểm B cắt đường tròn ( ') O tại C và D (C nằm giữa B và D ) Các tia CA DA
cắt đường tròn ( ) O theo thứ tự tại E và F
a) Chứng minh rằng EF / / CD
I K N
B
A
C
D
E F
M
Trang 4b) Gọi M là điểm chính giữa của cung CD (M và A khác phía đối với CD) Tính số đo góc
BAM
Giải:
a) Qua A kẻ tiếp tuyến chung xy của
hai đường tròn ( ) O và ( ') O
Ta có: EFA ADC EF / / CD
b) Kẻ đường kính BG của đường tròn ( ) O
Ta có: BG EF
Từ đó: GE GF , suy ra AG là tia phân
giác của góc EAF Lại thấy CM DM
nên AM là tia phân giác của góc CAD
Ta lại có EAF và CAD đối đỉnh nên
, ,
G A M thẳng hàng
90
BAM
III Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho đường tròn ( )O và điểm M nằm ngoài ( ).O Từ M ta kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB với
( ).O Chứng minh rằng ta luôn có MA MB MT2 và tích này không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến
MAB
Hướng dẫn: Sử dụng tam giác đồng dạng
Bài 2: Cho đường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác ABC Vẽ tia Bx thỏa mãn CBx BAC và tia BC nằm giữa
hai tia Bx và BA Chứng minh rằng Bx là tiếp tuyến của ( ).O
Hướng dẫn:
Cách 1: Chứng minh OB vuông góc với Bx bằng cách kẻ OH vuông góc với BC
Cách 2: Kẻ By là tiếp tuyến của ( )O và chứng tỏ ByBx
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đưòng tròn O Qua A vẽ tiếp tuyến xy Từ B vẽ BM song song với xy M AC.Chứng minh rằng:
a) AB2 AM AC
A
x
B
D G
M F
E
Trang 5b) AB là tiếp tuyến của đường tròn BMC .
Hướng dẫn: a) Sử dụng tam giác đồng dạng
b) Giả sử AB cắt BMC tại B'. Chứng tỏ B'B
Bài 4: Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại A và B Vẽ dây ACcủa đường tròn O tiếp xúc với
đường tròn O' và dây AD của đường tròn O' tiếp xúc với đưòng tròn O Chứng minh rằng
2
BC.BDBA và
2 2
BC AC
.
BD AD
Hướng dẫn: Sử dụng tam giác đồng dạng
Bài 5: Cho đường tròn O; 22 Gọi M là một điểm bên ngoài đường tròn, N là một điểm bên trong đường tròn Đoạn thẳng MNcắt đường tròn tại A. Cho biết AM AN 3, ON 2. Tính độ dài tiếp tuyến
MT với đường tròn
Hướng dẫn: Gọi B là giao điểm khác của MN và O , vẽ đường kính CD qua N Đáp số: MT 6.
Bài 6: Cho nửa đường tròn O đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M Từ M vẽ tia
Mx tiếp xúc với nửa đường tròn tại C. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.
a) Chứng minh rằng CA và CB là các tia phân giác của các góc tạo bởi tiếp tuyến Mx với tia CH
b) Cho MAa; MC 2a. Tính CH
Hướng dẫn:
a) Chứng minh các góc bằng nhau
b) 6
5
a
CH
Bài 7: Cho nửa đường tròn đường kính AB,C là điểm chính giữa của nửa đường tròn Trên cung BC lấy
một điểm M Trên tia AM lấy điểm Nsao cho AN BM
a) Chứng minh rằng tam giác CMN vuông cân
b) Qua N vẽ đường thẳng d AM Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định
Hướng dẫn: Chứng minh giao điểm của d và tiếp tuyến với đường tròn tại A
là điểm cố định