Bài giảng số 5: Cung chứa góc và một số ứng dụng

(vì trong tam giác đều ACD đường cao AH cũng là đường trung tuyến). A là điểm di động trên nửa đường tròn đó. C là điểm di động trên cung nhỏ AB. Vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc vớ[r]

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tứ giác nội tiếp ôn thi vào 10

I Tóm tắt lý thuyết

i) Cho đoạn thẳng AB, quĩ tích các điểm M sao cho góc  AMB có số đo bằng  không đổi

0

0 180 là hai cung có số đo 36002 đối xứng nhau qua AB (được gọi là cung chứa góc  dựng trên đoạn AB)

ii) Trường hợp đặc biệt: Qũy tích những điểm nhìn đoạn AB dưới một góc vuông là đường kính AB iii) Muốn chứng minh tập hợp điểm M thỏa mãn một tính chất T là một hình H nào đó, ta chứng minh hai phần sau:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T

Giới hạn quĩ tích và kết luận

II Bài tập mẫu

Bài tập mẫu 1: Cho tam giác ABC vuông ở A có cạnh BC cố định Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi

Giải:

a) Phần thuận:

Vì tam giácABC tại A ta có   0

90

C  B 

1 1 90 : 2 45

Xét tam giác BIC có  0

1 1 45

C  B 

180 45 135

Nên điểm I nhìn đoạn BC cố định dưới một

135

BIC  không đổi

Vậy quỹ tích điểm I là cung chứa góc 0

135 không đổi

b) Phần đảo:

Lấy I thuộc cung chứa góc ' 1350dựng trên

đoạn thẳng BC Ta cần chứng minhI ' là giao

điểm của ba đường phân giác trong tam giác

vuôngABC cạnh huyềnBC

Dựng hai tia Bt Ck , trên nửa mặt phẳng bờ

chứa điểm I ': tBI  '    I BC kCI ' ; '  I CB  '

Hai tia Bt Ck, cắt nhau ở A '

Vì I B I C ' ; ' là các tia phân giác trong của

tam giác A BC ' nên A I cũng là tia phân '

giác của góc BA C  ' Mà  0

' 135

1 1 180 135 45

B  C   BA C  Vậy tam giác A BC ' vuông tại A '

t k

2 1

2 1

I'

A'

2

1

2 1

I

A

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tứ giác nội tiếp ôn thi vào 10

Bài tập mẫu 2: Cho đường tròn ( )O và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC

của đường tròn ( )O ( A khác B , A khác C ) Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn ( )O tại điểm D

khác điểm C Lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI DB Đường thẳng BI cắt đường tròn ( )O tại điểm K khác điểm B

a) Chứng minh rằng tam giác KAC cân

b) Chứng minh rằng đường thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định

c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM  AC Tìm quỹ tích các điểm M khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn ( )O

Giải:

a) Ta có  1

2

DBK  (sđ DA + sđ  AK )

 1

2

DIB  ( sđ BD + sđ KC )

Vì sđ BD = sđ  DA và DIB cân tại D nên

sđKC = sđ  AK Suy ra AK CK hay AKC

cân tại K

b) Từ kết quả câu a) ta thấy I là tâm

đường tròn nội tiếp ABC nên đường thằng

AI luôn đi qua điểm J(điểm chính giữa cung



BC không chứa A ) Ta thấy J là điểm cố

định

c) Phần thuận:

Do AMCcân tại A , nên  1

2

BMC BAC Giả sử số đo góc BAC là  (không đổi) thì khi A di

động trên cung lớn BC thì M thuộc cung chứa góc  dựng trên đoạn BC về phía điểm O

Phần đảo:

Tiếp tuyến Bxcắt với đường tròn ( )O cung chứa góc  vẽ trên đoạn BC tại điểm X Lấy điểm

M bất kì trên  Cx (một phần cung chứa góc  và vẽ trên đoạn BC, M khác X và M khác C)

Nếu MB cắt đường tròn ( )O tại A thì rõ ràng A thuộc cung lớn BC của đường tròn ( )O Vì

BAC  AMC suy ra AMC cân tại A hay AC AM

Kết luận: Qũy tích các điểm M là cung  Cx , một phần cung chứa góc  vẽ trên đoạn BC về

phía O trừ hai điểm C và X

Bài tập mẫu 3: Cho trước điểm A trên đường thẳng d và hai điểm C D, thuộc hai nửa mẳ phẳng đối nhau,

bờ d Hãy dựng một điểm B trên đường thẳng d sao cho  ACB ADB

Giải:

 Phân tích:

Giả sử dựng được điểm B trên d sao cho ACBADB Gọi D là điểm đối xứng của D qua ' d

Khi đó ADBAD B' Vậy: ACB AD B'

Suy ra C và D cùng nằm trên một cung chứa góc dựng trên đoạn AB Từ đó ta thấy B là giao '

điểm của d với đường tròn ngoại tiếp ACD'

I A

O

M

K

J D

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tứ giác nội tiếp ôn thi vào 10

 Cách dựng:

Dựng điểm D là điểm đối xứng của D qua đường thẳng ' d Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác

'

ACD Dựng giao điểm B của đường thẳng d với đường tròn (ACD')

 Chứng minh:

Rõ ràng với cách dựng trên, ta có:

ADBAD B' ACB

 Biện luận:

+) Nếu ba điểm A C D, , không thẳng hàng, hoặc

nếu ba điểm này thẳng hàng nhưng CD không

vuông góc với d thì bài toán có một nghiệm

hình

+) Nếu ba điểm A C D, , thẳng hàng và d là

đường trung trực của đoạn CD thì bài toán có

vô số nghiệm hình

+) Nếu ba điểm A C D, , thẳng hàng, d CD

nhưng d không phải là đường trung trực của

CD thì bài toán không có nghiệm hình.

Bài tập mẫu 4: Giả sử AD là đường phân giác góc A của tam giác ABC ( D thuộc đoạn BC ) Trên AD lấy điểm M và N sao choABN CBM BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại điểm thứ hai

E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM tại điểm thứ hai F

a) Chứng minh rằng bốn điểm B C E F, , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh ba điểm A E F, , thẳng hàng

c) Chứng minh BCFACM , từ đó suy ra ACN BCM.

Giải:

a) Ta có: BFCBAN (cùng chắn cung BN ) 

BFCBAN (cùng chắn cung BN ), mà

BFCBAN, suy ra BFCBAN (cùng chắn

cung BN ) 

Bốn điểm B C E F, , , cùng nằm trên một đường

tròn

b) Từ kết quả trên ta có: CFENFA Do đó

hai tia FE và FA trùng nhau, nghĩa là ba điểm

, ,

A E F thẳng hàng

c) Vì BCFBEF và do ACM BEF nên

BEF  ACM Từ đó suy ra ACM BCF, dẫn

đến ACN BCM (dpcm)

Bài tập mẫu 5: Cho nửa đường tròn tâm ( )O đường kính AB C là điểm di động trên nửa đường tròn đó

Vẽ tam giác đểu ACD với D thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn CD

Giải:

d B

D A

D' C

N A

E F

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tứ giác nội tiếp ôn thi vào 10

a) Phần thuận:

Giả sử ( )O là giao điểm của đường thẳng CD

với nửa đường tròn ( )O Từ giả thiết ACD

đều ta thấy  0

120

60

BE 

Vì thế E là điểm cố định Lại vì M là trung

điểm của CD, mà ACD đều nên AM CD

90

AME  Từ đó M nằm trên nửa

đường tròn đường kính AE

Khi C trùng A thì M trùng A , khi C trùng

B thì M trùng E Vậy M chỉ nằm trên nửa

đường tròn đường kính AE

b) Phần đảo:

Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn đường kính AE Đường thẳng EM cắt nửa đường tròn ( )O

tại C Vẽ tam giác đều ACD, trong đó D thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B Khi đó sđ

 0

60

BE  , nên ta thấy ngay  0

60

120

ACE 

ACDACE   nên bốn điểm D M C E, , , thẳng hàng Rõ ràng MDMC

(vì trong tam giác đều ACD đường cao AH cũng là đường trung tuyến)

c) Kết luận: Qũy tích trung điểm M của CD là nửa đường tròn đường kính AE nằm trên nửa

mặt phẳng bờ AE không chứa B

III Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Cho nửa đường tròn tâm ( )O đường kính BC2R A là điểm di động trên nửa đường tròn đó GọiD và E theo thứ tự là trung điểm của các dây ACvà AB Tìm quỹ tích giao điểm M của đoạn BD và

CE

Hướng dẫn: Qũy tích các giao điểm M của BD và CE là nửa đường tròn tâm O bán kính

3

R

Bài tập 2: Cho đường tròn tâm ( )O bán kính R và dây cung ACR 3 C là điểm di động trên cung nhỏ

AB Vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với AB Từ A và B kẻ các tiếp tuyến khác AB với đường tròn tâm M ,chúng cắt nhau tại M Tìm quỹ tích các điểm M

Hướng dẫn: Qũy tích các giao điểm M là cung chứa góc 600vẽ trên đoạn AB thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa cung nhỏ AB của đường tròn ( )O

Bài tập 3: Dựng tam giác ABC, biết rằng

a) BC3cm , độ dài đường trung tuyến AM bằng 3cm

b) BC3cm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 2, 5cm, bán kính đường tròn nội

tiếp tam giác bằng 1cm

Hướng dẫn:

a) Điểm A thuộc cung chứa góc 500 vẽ trên đoạn BC và A thuộc đường tròn tâm M bán kính R3cm ( M là trung điểm của BC ) b) Dựng đường tròn ( ; 2, 5O cm)

O

E D

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tứ giác nội tiếp ôn thi vào 10

Bài tập 4: Cho bốn điểm A B C D, , , theo thứ tự cùng nằm trên đường tròn ( )O sao cho AC vuông góc với

BD tại H ( khác O) Gọi M và Nlần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H xuông các đường thẳng

AB và BC, P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH và NH với các đường thẳng CD và DA

a) Chứng minh rằng PQ/ /AC

b) Chứng minh rằng bốn điểm M N P Q, , , cùng nằm trên một đường tròn

Hướng dẫn:

a) Chứng minh Q là trung điểm đoạn AD và P là trung điểm đoạn

CD b) Chứng minh NQH NMH NMP

Bài tập 5: Cho tam giác ABC, gọi D và E theo thứ tự là các tiếp điểm của đường tròn tâm O nội tiếp tam giác với các cạnh AB và AC, H là giao điểm của đường thẳng BO và đường thẳng DE

a) Chứng minh rằng bốn điểm O E H C, , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng tỏ rằng đường phân giác trong của góc ABC , đường trung bình của tam giác ABC song song

với cạnh AB và đường thẳng DE đồng quy

Hướng dẫn:

a) Chứng minh OHEECO

b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC Chứng minh HM / /AB