Bài giảng số 2: Phương trình bậc hai và một số dạng toán

  Biết hai phương trình này có nghiệm đối nhau, chứng minh rằng nghiệm còn lại của phương trình này cũng đối nhau. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các phương trình trên có nghiệ[r]

BÀI GIẢNG SỐ 02: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Đối với phương trình ax2bx c 0, (a0)và biệt thức  b24ac

- Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1,2

2

b x

a

  



- Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2

2

b

a



- Nếu  0 thì phương trình vô nghiệm

Chú ý: Nếu b = 2b’ thì ta tính   ' b'2ac

- Nếu  ' 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 b' '

a

  



- Nếu  ' 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 x2 b'

a



- Nếu  ' 0 thì phương trình vô nghiệm

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai bằng  , '

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a 2

7 10 0

x  x  c 2

2(1 3) 2 3 0

b 2

4x 5x  d 7 0 x22 2x 2 0

Giải:

a Ta có: a = 1, b = -7, c =10   b24ac49 40  9   3

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

7 3

5 2

x    , 2 7 3 2

2

b Ta có: a = 4, b = -5, c = 7  25 112  870

Vậy phương trình vô nghiệm

c Ta có: a = 1, b =2(1 3), b’ =1 3, c = 2 3

 2

2

' b' ac 1 3 2 3 4 0 ' 2

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

2

3 3 1

3 1 1

b x

a b x

a









d Ta có: a = 1, b = 2 2 , b’ = - 2 , c = 2

' 2 2 0

    

Vậy phương trình có nghiệm kép x1 x2 b' 2

a



Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì giá trị hai hàm số bằng nhau

a 1 2

3

y x và y2x 3

b 1 2

2

y  x và y  x 8

Giải:

a Ta có: 1 2 2 3 2 6 9 0

3x  x x  x 

' 9 9 0 x x 3

      

b Ta có: 1 2 8 2 2 16 0

       x1,2   1 17

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a 2

4 21 0

x  x  c 3x214x  8 0

b 2

4x 28x49 d 0 x23x  5 0

ĐS: a 1

2

7 3

x

x







 



b 1 2 7

2

x x  c 1

2

2 3 4

x x













d vô nghiệm

Bài 2: Với giá trị nào của x thì giá trị hai biểu thức bằng nhau

a 2

3.x 2x và 2 3.1 x  3

b 2

3.x 2 5.x3 3 và x22 3.x2 5 1

ĐS: a 1

2

2 3 3 2

x

x











b 1

2

3 5 4 15 1

x x







Dạng 2: Tìm điều kiện, giải biện luận phương trình bậc hai

Phương pháp: Với phương trình 2

ax bx   , để tìm điều kiện của tham số sao cho: c 0

1 Phương trình vô nghiệm 0 & 0

0 & 0

a



    



2 Phương trình nhận mọi x làm nghiệm abc0

3 Phương trình có nghiệm

0

0 & 0

0 & 0

a









4 Phương trình có nghiệm duy nhất 0 & 0

0 & 0

a



    



5 Phương trình có nghiệm kép 0

0

a 



 

 



6 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0

0

a 





 



Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì các phương trình sau vô nghiệm

a x23xm 0

b x2(m1)xm2 0

Giải:

a Ta có:   9 4m

Phương trình vô nghiệm  0 9 4 0 9

4

b Ta có:  m124(m2)

2 2

( 7)( 1)

Phương trình vô nghiệm  0(m7)(m1) 0

  1 m7

Ví dụ 4: Cho phương trình x2(m1)x4 0

Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó

Giải:

 Ta có:  (m1)2 16m22m15

Để phương trình có nghiệm kép thì  0m22m15 0

Giải phương trình bậc 2 theo m ta được 5

3

m m







 



Khi đó phương trình đã cho có nghiệm kép 1 2 1

2

m

x x  

 Nếu m = 5 thì x1x2 2

 Nếu m = -3 thì x1x2   2

Ví dụ 5: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:

3x 2xm b) 0 3

1 0

x mxm  Giải:

Ta có:   ' 1 3m

Nếu ' 0 1 3 0 1

3

       thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nếu ' 0 1 3 0 1

3

       thì phương trình có nghiệm kép 1 2 1

3

x x 

Nếu ' 0 1 3 0 1

3

       thì phương trình vô nghiệm

Kết luận: Vậy:

Với 1

3

m  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Với 1

3

m  thì phương trình có nghiệm kép 1 2 1

3

x x 

Với 1

3

m  thì phương trình vô nghiệm

b Ta có: 3

1 0

x mxm  (1)

2 2

2

( 1)( 1) ( 1) 0

1

x





 

    

 Xét phương trình (2): 2

x   x m

Có   1 4(1m)4m 3

Nếu

3 0

4 (1) 0

3

m f

m









, thì pt (2) có hai nghiệm phân biệt 1,2 1 4 3

2

m

Khi đó pt (1) có 3 nghiệm phân biệt

Nếu m = 3 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 1

2

1 2

x x







 



Khi đó pt (1) có hai nghiệm phân

biệt 1

2

1 2

x

x







 



4

m

    , thì phương trình (2) có nghiệm kép 1 2 1

2

x x   Khi đó pt (1) có hai

nghiệm phân biệt

1

2

1 1 2

x x







  



4

m

    , pt (2) vô nghiệm khi đó pt (1) có nghiệm duy nhất x = 1

Kết luận: Vậy

- Nếu

3 4 3

m m









 



thì pt (1) có 3 nghiệm phân biệt 1,2

3

2 1

m x

x







 



- Nếu m = 3 thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt 1

2

1 2

x x







 



- Nếu 3

4

m  thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

1

2

1 1 2

x x







  



- Nếu 3

4

m  thì pt (1) có nghiệm duy nhất x = 1

Ví dụ 6: Biện luận số nghiệm của phương trình 4   2

x  m x   (1)

Giải:

Đặt x2 t t( 0)

Khi đó phương trình (1) trở thành: t2(3m2)t  (2) 1 0

3m 2 4 9m 12m 4 4 9m 12m

Nếu 2

0

3

m

m







 



, pt (2) có 2 nghiệm phân biệt

2 1,2

2

Nếu

2

2 1

2

2 2

3 3

4

9 12 4 12 9

3

m m

m





( vô nghiệm) vậy ko giá trị nào của m để t  1 0

Nếu

2

2

2

2 2

3 3

4

9 12 4 12 9

3

m m

m





Kết hợp với điều kiện ta có với

0 4 3

m m







 



thì t 2 0 Khi đó pt (1) có hai nghiệm phân biệt

2 1,2

2

Nếu

0

3

m m







  

 



, pt (2) có nghiệm kép 1 2 3 2

2

m

t t  

Với m = 0 thì t1 t2   (loại) Khi đó pt (1) vô ngiệm 1

Với m = 4

3thì t1 t2  (t/m) Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm 1 x  1

3

m

     , pt (2) vô nghiệm Khi đó pt (1) vô nghiệm

Kết luận: Vậy:

- Nếu 0 4

3

m

  thì pt (1) vô nghiệm

- Nếu 4

3

m  thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x  1

- Nếu

0 4 3

m m







 



thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

2 1,2

2

Ví dụ 7: Cho phương trình 2  

2x  m1 xm0.(1)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình 3 2  

x  x  m xm (2) có ba nghiệm phân biệt

Giải:

a Ta có:  2 2

Để phương trình (1) có nghiệm thì 2

3 5 2

3 5 2

m

m

  







      

  







b (2) x32x2(m1)x m 0(x1)(x2 x m) 0

2

1

x





 



Để phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác

1

1

0 4

4

0

m

m



Bài tập

Bài 3: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm kép

a 2

x  xm  b 2

4 0

x mx 

ĐS: a 37

4

m  , b m  4

Bài 4: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

a 2

3x 7x m   b 1 0 3x2mx12 0

ĐS: a 37

12

m  , b 12

12

m m

 



 



2

x mxm

a Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm bằng 5

ĐS: m = - 4 hoặc m = 0

Bài 6: Cho phương trình (m2)x22mxm  (1) 3 0

a Giải phương trình (1) với m = 11

b Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

ĐS: a 1

2

4 9 2

x x













, b 6 2

5m

Bài 7: Giải và biện luận các phương trình sau:

a mx22(m2)xm  3 0

b

2

( 1) 2 ( 1)( 2)



c   2

m x  m x 

d 2

2mx 2(m 2 1) xm0

e 3

2 8 0

x mx m 

ĐS:

a Với m = 0 phương trình có nghiệm duy nhất 3

4

x 

Với m = 4 phương trình có nghiệm kép 0 1

2

x 

Với m > 4 phương trình vô nghiệm

Với 0m4phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;2 m 2 4 m

m

  



b Với m = -3, phương trình có nghiệm x = - 6

Với m = -2, phương trình có nghiệm x = - 5

Với m = 1, phương trình có nghiệm x = 2

Với m = 2, phương trình có ngiệm x = - 3

Với m = 0, phương trình vô nghiệm

Với m    3; 2; 0;1 phương trình có hai nghiệm phân biệt 1

2

1 3







c Nếu m = 0 hoặc m = 1, phương trình 1 nghiệm x = 1

Nếu 0

1

m m











, phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1

2

1 1 1

x

x

m







 





d Nếu m = 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Nếu 1

2 2

m  , phương trình có nghiệm kép 1 2 2

2

x x 

Nếu 0 1

2 2

m

  , phương trình có hai nghiệm phân biệt 1;2 1 2 1 2 2

2

x

m



Nếu 1

2 2

m  , phương trình vô nghiệm

Bài 8: Cho phương trình ax2 bx  với c 0 a 0 Chứng minh rằng b a c thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

ĐS: c/m 2

(a c) 0

   

4x 4mx m6 0 Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép

ĐS: m = 3 hoặc m = -2

Dạng 3: Bài toán khác

Ví dụ 8: Tìm các số nguyên a để phương trình: x2(3 2 ) a x40a có nghiệm nguyên 0

Giải:

Phương trình có nghiệm nguyên khi  2   2

3 2a 4 40 a 4a 16a 151

        là số chính phương, tức

4a 16a151k ,k

 2 2

2a 4 k 167,k

2a 4 k2a 4 k167, k 

Vì 167 là số nguyên tố nên:

84

x





              

 

   



Vậy a = 40 hoặc a = -44 thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên

Ví dụ 9: Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung

2

2

Giải:

Ta có: x2(2m1)x103x2(4m3)x22

2x22(m1) 12  (3) 0

Để hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung thì pt (3) phải có ít nhất một nghiệm

2

' (m 1) 24 0

      ( luôn đúng với mọi m)

Vậy với mọi m thì 2 phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm

Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

xyxyx2y2 (1)

Giải:

Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với x:

2 2

( 1) ( ) 0 (2)

x  y x y y  Điều kiện cần để (2) có nghiệm là  0

3y 6y 1 0 3 y 1 4

1 1 0;1; 2

1

x y

x





   



2

x y

x





   



2

x y

x





   



Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng của pt (1)

Vậy nghiệm nguyên của pt đã cho là 0; 0 , 1;0 , 0;1 , 2;1 , 1; 2 , 2; 2          

Bài tập:

Bài 10: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình x2 xyy2 x y

ĐS: 0; 0 , 1;0 , 0; 1     

Bài 11: Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình 2  

x  x mx   vô nghiệm

ĐS: m = 4

Bài 12: Tìm các số nguyên a để phương trình sau có nghiệm nguyên

2

x  ax   a

Bài 13: Tìm các số nguyên a để phương trình sau có nghiệm nguyên

2

ax  a x a 

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

a) 42 3

1

x P

x





2 2

2 1

2 3

Q

 



 

Bài 15: Cho phương trình x2  px228p trong đó 0 p là số nguyên tố Tìm giá trị của p để phương

trình có hai nghiệm nguyên

Bài 16: Chứng minh rằng phương trình x2 2mx2010.2011 0 không có nghiệm nguyên với mọi

m  

Bài 17: Cho a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm , ,

0

0

a x  a b c xb 

Bài 18: Tìm cặp số x y,  thoả mãn phương trình 3x2 6x y  sao cho 2 0 yđạt giá trị lớn nhất

Bài 19: Cho hai phương trình 2   2  

x  x c x  x c Biết hai phương trình này có nghiệm đối nhau, chứng minh rằng nghiệm còn lại của phương trình này cũng đối nhau

Bài 20: Cho phương trình xaxb  xbx c   x c xa0 Tìm điều kiện đối với a b c , ,

để phương trình có nghiệm kép

Bài 21: Cho các phương trình x2 bxc và 0 x2cx b  trong đó 0 1 1 1

2

b c  Chứng minh rằng có

ít nhất một trong các phương trình trên có nghiệm

Bài 22: Cho các phương trình ax22bx c 0;bx22cxa0;cx22ax b 0 trong đó a b c , , 0 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các phương trình trên có nghiệm

Bài 23: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phương trình

0

c x  a b c x b  vô nghiệm