Chuyên đề: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ôn thi vào chuyên toán

Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũngbiết được cách giải một [r]

Trang 1

TRUNG TÂM TƯ VẤN VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC EDUFY

Số 130B Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân – Hà Nội

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Web: http://edufly.vn

Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM

NGUYÊN BẬC HAI HAI ẨN

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng không rõ phương pháp giải Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn” Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũngbiết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn

II NỘI DUNG

a x a xya xa ya y a  Trong đó a10 hoặc

2

a 0, a50

A.Các phương pháp giải

Phương pháp thứ nhất :Viết vé trái thành tổng các bình phương

Dạng 1: 2 2 2

A B C  0

0 0 0

A B C







 

 



Ví dụ:Giải phương trình nghiệm nguyên

5x 2y 4xy9y8x140 (1)

Lưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của

Trang 2

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

một tam thức cần có cách tách hợp lý Ta biết hang tử có bình phương thì hệ

sổ là số chính phương, do đó

2

Phương trình (1)  4x2x2y2y24xy4x4x9y140

Ta coi bình phương của một tam thức 2 2

(a b c  ) ((a b )c) là bình phương của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c

Vậy (1) 4x2x2y2y24xy4x4x9y140

 ((2 )x 22.2 (x y1) ( y1)2(x2)2(y3)2 0

(2x y 1) (y 3) (x 2) 0

3 0

2 0

y x

  





  



2 3

x y





 

 



Bài tập luyện tập

Giải các phương trình nghiệm nguyên:

1, 2x + 5y +14 - 4xy -8y - 4x = 0

2, 5x + 2y +14 + 4xy - 4y + 8x = 0

3, 5x +10y + 3-12xy + 8y - 2x = 0

4, 10x + 5y + 38 -12xy +16y -36x = 0

5, 10x + 4y + 34 -12xy + 20y - 36x = 0

Trang 3

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Giải:

1, 2x + 5y +14 - 4xy -8y - 4x = 0

( 2 1) ( 3) ( 2) 0

2 1 0

2

3 0

3

2 0

x x

y y

  



 









2) 5x + 2y +14 + 4xy - 4y + 8x = 0

2

2 0

3

3 0

x y

x x

y y

  



 









3) 5x +10y + 3-12xy + 8y - 2x = 0

(2 3 1) ( 1) ( 1) 0

1

1 0

1

1 0

x x

y y

  



 





 



4, 10x + 5y + 38 -12xy +16y -36x = 0

Trang 4

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

((3 ) 2.3 (2 5) (2 5) ) ( 6 9) ( 4 4) 0

(3 2 5) ( 3) ( 2) 0

3

3 0

2

2 0

x x

y y

  













5, 10x + 4y + 34 -12xy + 20y - 36x = 0

(3 2 5) ( 3) 0

 





  



và các hoán vị của chúng

Ví dụ: Giải phương trình:

| (2 1) | | (2 ) | 25 3 4 0 5

Do 2x-1 lẻ nên | 2 1| 3 2; 1





Hoặc | 2 1| 5 3; 2



Trang 5

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Phương trình đã cho có nghiệm:

(x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0)

Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:

Giải

1,x 100 6 xy13y

| 3 | | 2 | 100 6 8 0 10



hoặc | 3 | 8 11





hoặc | 3 | 10 13





hoặc | 3 | 0 3





Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

( , )x y  (9; 4)(11;3)(3;5)

2,x 4xy5y 169

| 2 | | | 169 12 5 0 13

Trang 6

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

hoặc | 2 | 5 19



hoặc | 2 | 0 26





Phương pháp thứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử:

Dạng 1 A.B.C=0

0 0 0

A B C







 



Dạng 2 A.B.C = m.n.p (Với m, n,p là các số nguyên)







 



và các hoán vị của chúng

Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

3x +10xy + 8y = 96

( 2 )(3 4 ) 96 16.6 12.8 24.4

Do x,y là số nguyên dương nên:

(3x + 4y) > (x + 2y)  3

Trang 7

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400





(loại)





(loại)

1, y = x + x + 6

2

2, x - 25 = y ( y + 6)

2

3, x - 6xy + 5y =121

4,5(x + y) = 3xy - 2

5, x - x - xy + 3y - 6 = 0

Giải

1, y = x + x + 6

(2 ) (4 4 1) 23

(2 ) (2 1) 23







Trang 8

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400



Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: 6;5 , 6; 6 ,    6;6 , 6;5

2

2, x - 25 = y ( y + 6)

( 6 9) 16

( ) ( 3) 16

Do (x-y-3) (x+y+3)

và (xy3); (xy3) cùng tính chẵn lẻ nên



       

      



Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: (x;y) = 5;0 , 4; 3 ,    5;0 ,  4; 3

3, x - 6xy + 5y =121

( 3 ) (2 ) 121

(| 3 | | 2 |)(| 3 3 | | 2 |) 121

Do (|x3 |y | 2 |)y (|x3 |y | 2 |)y

Trang 9

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Và (|x3 |y | 2 |);(|y x3 |y | 2 |)y cùng tính chẵn lẻ nên

(| 3 | | 2 |) 121 | 3 | 61 | 3 | 61

Nếu y=30 thì x90 61x151; 29

Nếu y=-30 thì x90  61x 151; 29

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên

(x; y) = 151;30 , 29;30 ,   151; 30 ,  29; 30 , 11; 0 ,    11; 0

4 5xy3xy2

3 (5 3 ) 5(5 3 ) 25 6

(3 5)(3 5) 31



4

3

x x

y







(loại)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: (x;y) =2;12

2

5) x - x - xy + 3y - 6 = 0 x23xxy3y2x 6 0

x x( 3)y x( 3)2(x3)0

3;

( 3)( 2) 0

2;





Trang 10

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Phương pháp thứ ba: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Ta coi phương trình bậc hai hai ẩn là phương trình bậc hai một ẩn còn ẩn kia

là hằng số.Chẳng hạn f( , )x y  ta coi y hằng số 0

Dạng 1 2

    có hệ số a < 0

hoặc y=by+c có hệ số b < 0

Để phương trình f( , )x y  0 có nghiệm thì y  0 từ đó tìm được một nghiệm là y

và suy ra nghiệm còn lại x

Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:

(3x xyy )x8y3x (3y1)x3y 8y0

Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x Ta có: 2

Để pt đã cho có nghiệm thì   y 27y29y  1 0

0, 01 y 3, 3;y Z

Vì y   nên y = 0; 1; 2; 3 Thay vào ta được

1

0

x











Nếu y 1 3x22x 5 0 2

1

3

x







 



Nếu y 2 3x25x 4 0

25 48 73

    (không phải là số chính phương)

y  x  x 

Trang 11

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

'

16 9 7

    (không phải số chính phương)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm:(x,y) =(0,0);(1,1)

Bài tập:

1, x + xy + y - 2x - y = 0

2, x - xy + y = x + y

Giải:

1, x + xy + y - 2x - y = 0

2

4 3

y

  

Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì

4 3 y 0 y    1 1 y1

y  x   x x 

3 2 0

1

x





      

 Nếu y = 0 2

2 0

0

x







1

x x





  

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:

x y ;  2; 1 , 1; 1 , 2; 0 , 0; 0 , 0;1 , 1;1            

Trang 12

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

2, x - xy + y = x + y

Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì 2

3y 6y 1 0 0,15 y 2,15

Vì yy0;1; 2

Nếu y=0 2

0

x x

x





     



0

x







3 2 0

1

x





      

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:

x y ;  1; 0 , 0; 0 , 2;1 , 0;1 , 2; 2 , 1; 2          

Dạng 2 Nếu 2

    có hệ số a là một số chính phương Để phương

trình f( , )x y  0 có nghiệm thì 2

  từ đó tìm được một nghiệm là y và suy ra nghiệm còn lại x

Ví dụ 5: giải phương trình nghiệm nguyên:

1, x + 2y + 3xy - 2x - y = 6

x (3y 2)x 2y y 6 0

Coi phương trình này là phương trình bậc 2 ẩn x:

2

8 16 12

Trang 13

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Để phương trình có nghiệm thì 2

 

8 16 12

( 4) 12

( 4)( 4) 12 2.6 2.( 6)

Vì (m+y- 4)  (m- y +4) Và chúng có cùng tính chẵn lẻ nên





Thay y=6 vào pt đã cho ta có:

PT này vô nghiệm

       





Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

3, x + xy + y - x y = 0

Coi phương trình này là phương trinh bậc hai ẩn x

Để pt đã cho có nghiệm thì y là số chính phương

4 3 | 2 | | | 3 (| 2 | | |)(| 2 | | |) 3

| 2 | | | 1 | 2 | 2 1





y x   x x     x x 

Trang 14

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

y  x   x x      x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên: x y  ;   1;1 , 1; 1   

Phương pháp thứ tư: dùng tính chất của số chính phương:

Nếu phương trình f( , )x y  có dạng 0 A( , )2x y hoặc 2

( , )x y ( )y

A  B Thì

2

( )

( ) 0

x

B







2 ( ) ( ) 0

y y

B m B









Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

x  xy  x

Giải

Phương trình

Do 18-2y chẵn và18-2y <18 để pt có nghiệm thì 18-2y là số chính phương

2

Vậy pt đã cho có 3 nghiệm:(x,y) =(0;9);(8;7);(20:1)

B Phương trình đưa được về dạng bậc hai hai ẩn:

Ví dụ: giải phương trình nghiệm nguyên

x  yy  x x y

Giải

Trang 15

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

4 28 28 3

y

Để phương trình đã cho có nghiệm thì  y 0

28 3y 0 y 9 y 1; 4;9

Nếu y  1 x2   x 1 7 0 x2  x 6 0x1 2;x2 3

y x    x  x   x x  x  

y   x  x    x  x  x   x 

y x  x    x  x  x  x  

y  x  x   x  x  x   x  

y  x  x   x  x  x  x 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên:

x y   ;   1; 2 , 3; 2 , 1; 2 ,      3; 2 , 1;3 , 2;3 , 1; 3 , 2; 3      

III KẾT LUẬN:

Qua giảng dạy rút ra cho học sinh những phương pháp giải cụ thể cho từng loại toán thì học sinh có thói quen nhận dạng và sử dụng phương pháp giải thích hợp và phát huy khả năng tư duy của học sinh Tuy nhiên bài viết có thể có nhiều sai sót mong quý bạn đọc góp ý giúp đỡ

Trang 16

Tel: 04.62 927 623 Hotline: 098 770 8400

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	810,69 KB