Bài giảng số 3: Các phương trình quy về bậc hai ôn thi vào lớp 10

[r]

BÀI GIẢNG SỐ 03: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Dạng 1: Phương trình phân thức

Phương pháp:

- Tìm điều kiện xác định của phương trình

- Quy đồng và khử mẫu

- Giải phương trình vừa nhận

- So sánh nghiệm vừa tìm với điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a)

1

x

1

 +

2 x

2

 = 3(

6 x

2

 –

3 x

1

 )

b)

2

2

x



c)

2



Giải:

a)



TXĐ: x   4; 2

2 ( 4) ( 2) 8 8

(1)

( 2)( 4) ( 2)( 4)

2

2 8 0

Ta có:       ' 1 8 7 0

Vậy phương trình vô nghiệm

b)

2

2

x



TXĐ: x  3

(1)

( 3)( 3) 3

2

2

0 0

1

3 ( )

x x

x







Vậy nghiệm của phương trình 0

1

x x





 

 c)

2



TXĐ: x  1

2

(1)

( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)

 

2

2

2

2

9 1 17( 1)

9 1 17 17

8 16 0

( 4) 0

4 0

4 ( / )

x

x

  

 

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 4

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

x x  3)

2



3 1

x  x  4)



  

ĐS: 1) 1

2

3 7

x

x

 









2)

1

2

5 13 3

x x

 





 



3) x = 1 4) 1

2

7 9 2

x x



 









Dạng 2: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) 2

x  x  x

b) 2

2 4 3

x x  x 

Giải:

8 15 0

5

x

x





     

 thì phương trình đã cho tương đương với

2

2

9 18 0 3

( / ) 6

x

t m x

   





  

 + Nếu 2

x  x   x thì phương trình đã cho tương đương với

2

2

7 12 0

3 ( )

4 4

x x

    







 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x3, x4, x6

b) Lập bảng xét dấu hai biểu thức 2

x x và 2x 4

TH1: Với x 0 hoặc 1 x 2, phương trình đã cho tương đương với

2

x  x x  x  x  x  (loại)

TH2: Với 0 x1, phương trình đã cho tương đương với

1 5 2

1 5

( ) 2

l

  





         

  





TH3: Với x 2, phương trình đã cho tương đương với

2 2

1 29

( ) 2

1 29 2

x

  







        

  







Vậy phương trình có 2 nghiệm 1 5; 1 29

x   x 

Bài tập:

a) x  1 2x 1 c) 2 2 x   1 1 3

x

x



x x   x 

ĐS: a) 2

3 b) 2

4

x x





  



c) 5

2

x   d) 2 1;  6 2

2 4

x  

Dạng 3: Phương trình căn thức

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau

a) 2

2x  4x  1 x 1

x  x  x  x

c) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1

Giải:

a) Đk: 2

2 6 2

2 6 2

x

x

  







   

  





 Phương trình đã cho tương đương với



1 3

1 3 ( / )

1

x

x

x

   



       



 



Vậy nghiệm của phương trình là x   1 3

2 0

0

x

x

 



    



2 0

y x  x ta được phương trình

1

( ) 2

y







  



y  x  x  x  x x  x  x  

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x   1 2

c) Đk : x 1

Phương trình đã cho tương đương với

x  x   x  x  

2

5

10

x

x





 Vậy nghiệm của phương trình là x 5 hoặc x 10

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

4x 101x642 x10

x x x  x

c) x 14x49 x 14x49  14

ĐS: a) 16 b) 3 37

2

 

c)

7 7 2

x x







 

 d) 1 5

Dạng 4: Đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau đây:

a) (4 x  5)2  6(4 x  5) 8   0;

b) ( x2  3 x  4)( x2  3 x  2)  3;

c)

2

2

d) x x  1 3 0

x  x  x  x 

Giải:

a) Đặt t = 4x – 5, phương trình đã cho trở thành t2 – 6t + 8 = 0 (1)

' 9 8 1 0

    

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2

4

t t





 



4

4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

7 4 9 4

x x









 



b) Đặt 2

3 2

tx  x , ta được phương trình 2

t t  t  t 

1 ' 1 3 4

3

t t





       



2

t x  x   x  x  x 

t   x  x   x  x  (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 3 5

2

x 

c) Đk x  1

Đặt

1

x t

x  , ta được phương trình 2

2t 5t 3 0

25 24 1

    phương trình có hai nghiệm

1 3 2

t t







 



1

x

x

x

x

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = - 3

d) Đk x 1

Phương trình đã cho x 1 x 1 2 (1)

Đặt x  1 t 0 Khi đó 2 1 ( )

2

t t

t

 



      

 Với t 2  x  1 2 x  1 4 x 5 (tmđk)

Vậy phương trình có một nghiệm x = 5

e) 4 3 2

x  x  x  x 

2 2

2

       

Đặt tx x  1, phương trình đã cho trở thành 2 1

2 3 0

3

t

t





      



2

t x x   x   x x 

t   x x   x   x (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 1 5

2

x 

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

(x 3x1) 2(x 3x1) 8 0; e)(x 1)(x 3) )(x 5) (x 7)  20.

2x  x 2 10x 5x160 f) 4 3 2

x x  x   x

x



  g) 4 3 2

x  x  x  x 

(x  x 1)(x x2) 12 0.  h) 4 3 2

x  x  x  x  i)  4 4

ĐS: a) Đặt 2 3 21

3 1

2

tx  x x  b) Đặt

1 2

2

1

2

x

x







 



c) Đặt t x 0 x 1. d) Đặt 2 1

1

2

x

t x x

x





      



tx  x x  

f) x 0 chia 2 vế cho 2

x Sau đó đặt  

1 1

2

x







 



g) x 0 chia 2 vế cho 2

x Sau đó đặt t x 2t 2 2

x

   pt ẩn t vô nghiệm h) x 0 chia 2 vế cho 2

x phương trình 2

2

      

Đặt

1 1

5 29 2

x

t x

 





 



i)Đặt tx  4 x  4

Dạng 5: Đưa về phương trình tích

Phương pháp: Bằng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đưa phương trình về dạng

A(x).B(x) = 0 ( ) 0

( ) 0

A x

B x







Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

a) 3x36x2 4x 0; b) ( x  1)3   x 1 ( x  1)( x  2);

Giải:

3x 6x 4x0

2

0 0

3 21

3

x x













Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm 0, 3 21

3

x x  b) x13  x 1 x1x2

 

2

2

2 5 0

0

2 5 0 ( )

x





 

  



Vậy nghiệm của phương trình đã cho x = 0

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

2x x 5x   x 2 0.

b) (2 x2  3)2  10 x3 15 x  0;

c) x3 5x2   x 5 0

ĐS: a) 1 5

2

4

x  . b)

1 3 2

x x







 

 c) x5,x 1

Dạng 6: Giải các phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0 a 0

Phương pháp:

- Đặt 2

0

x  t , ta được phương trình bậc hai ẩn t: 2

at bt c 0 (1)

- Giải phương trình (1) và nhận t 0

- Giải phương trình 2

x t và kết luận nghiệm của phương trình trùng phương

Ví dụ 7: Giải các phương trình sau:

8 9 0

x  x  

1,16 0,16 0

Giải:

a) Đặt 2

0

x  t , phương trình đã cho trở thành 2 1 ( )

8 9 0

9

t

 



     



Với 2

t x   x 

Vậy phương trình có nghiệm x  3

b) Đặt 2

0

x  t , phương trình đã cho trở thành 2 1

1,16 0,16 0

0,16

t

t







t x  x 

0,16 0,16 0, 4

t x  x 

Vậy nghiệm của phương trình x 1,x 0, 4

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

7 144 0

x  x   c) 1 4 1 2 1

0

3x 2x 6 

36x 13x  1 0 d) 4   2

3x  2 3 x  2 0

ĐS: a) x  4 b) 1, 1

x  x  c) 1, 2

2

x  x  d) 2 3

3

x  

Dạng 7: Một số dạng phương trình đặc biệt khác

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:

a) ( x  2)2  3 x   5 (1  x )(1  x )

b) x x ( 2  6)  ( x  2)2  ( x  1)3

Giải:

a) ( x  2)2  3 x   5 (1  x )(1  x )

2

4 4 3 5 1

x x

      

1 16 17

4

x  

 

Vậy nghiệm của phương trình là 1 17

4

x   b) x x ( 2  6)  ( x  2)2  ( x  1)3

2

25 80 55 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài tập:

Giải các phương trình

2

b) x yz42 x24 y36 z5

5

a

x  xa 

ĐS:

a) Phương trình

2

2010

x

z







 



2

5

x

z







 



3, 7, 14

c) Điều kiện xa x, 5 phương trình a x a 5x 5 2x 5xa

1 2

2

2

5

2

x a

x

 





 



thoả mãn điều kiện 0

5

a a





 



 ( Nếu a 0chỉ có x a 2, 5chỉ có x1)