Chuyên đề: Định lý CEVA và ứng dụng trong chứng minh đồng quy

Nếu ta sử dụng các phương pháp khác như đưa về chứng minh thẳng hàng hay tạo ra tam giác nhận 3 đường thẳng đó là đường đặc biệt sẽ gặp khó khăn.. Bài toán 3 vẫn đúng khi thay đường t[r]

ĐỊNH LÝ CEVA

Và bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy tại một điểm

(cùng đi qua một điểm)

I Định lý Ceva

Cho tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA,

và AB Các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng qui khi và chỉ khi: AF BD CE 1

EB DC EA  

Chứng minh:

Phần thuận:

Giả sử , và đồng qui tại một điểm nào đó (trong hay ngoài tam giác)

Do và có chung chiều cao (độ dài của đường cao), với ΔBOD ; ΔCOD lần lượt là diện tích các tam giác và ta có

Tương tự,

Ta suy ra

Tương tự,

và

Nhân 3 đẳng thức trên cho ta:

(điều phải chứng minh)

*Phần đảo

Giả sử rằng ta đã có những điểm , và thỏa mãn đẳng thức Gọi giao điểm của và là , và gọi giao điểm của và là Theo chứng minh trên,

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được:

Do đó , vậy và trùng nhau Vì vậy , và = đồng qui tại , và định lí đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều)

II Áp dụng

Bài toán 1: Sử dụng phần đảo của định lý Ceva để kiểm tra lại sự đồng quy của 3

đường trung tuyến, 3 đường phân giác trong, 2 đường phân giác trong và 1 đường phân giác ngoài, 3 đường cao của tam giác

* 3 đường trung tuyến đồng quy tại một điểm

vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB nên MB NC PA 1.1.1 1

MC NA PB   

* 3 đường phân giác trong AA', BB', CC' (hoặc 2 đường phân giác ngoài BB', CC' và 1 đường phân giác trong AA') đồng quy tại 1 điểm

Theo tính chất đường phân giác ta có

A B AB B A AB C A AC

A C  AC B C  BC C B  BC

A B CB AC AB CB AC

A C AB BC  AC AB BC   (đpcm)

* 3 đường cao AH, BI, CK đồng quy tại 1 điểm

2 đường phân giác ngoài và 1 đường phân giác trong

3 đường phân giác trong

Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

1

HB IC KA AB.cosB BC.cosC ACcosA

=

HC IA KB  AC.cosC ABcosA BCcosB  (đpcm)

Bài toán 2: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB, đáy nhỏ CD AD cắt BC tại F, M

là trung điểm của AB Chứng minh MF, AC, BD đồng quy

Lời giải:

Theo phần đảo của định lý Ceva, ta phải chứng minh MA BC FD 1

MB FC AD  

Thật vậy:

1

MA

MB  (theo giả thiết)

FD FC

AD  BC (Theo định lý Talet)

Từ đó: MA BC FD 1.BC FC 1.1 1

MB FC AD   FC BC   (đpcm)

Bài toán 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với các tiếp điểm là A', B', C'

lần lượt thuộc cạnh AB, BC, AC Chứng minh AA', BB', CC' đồng quy tại 1 điểm

Lời giải

Ta phải chứng minh ' ' ' 1

A B B C C A

A C B A C B  

Vì các cạnh AB, BC, AC là tiếp tuyến của (O) nên AB'=AC'; CA'=CB'; BC'=BA'

A B B C C A

A C B A C B  

Nhận xét: 2 bài toán trên áp dụng định lý Ceva một cách đơn giản Nếu ta sử dụng các phương pháp khác như đưa về chứng minh thẳng hàng hay tạo ra tam giác nhận

3 đường thẳng đó là đường đặc biệt sẽ gặp khó khăn Bài toán 3 vẫn đúng khi thay đường tròn nội tiếp thành đường tròn bàng tiếp

Bài toán 4: Cho tam giác ABC và đường cao AH Nửa đường tròn đường kính MN

tiếp xúc với BA, AC theo thứ tự tại C' và B' Chứng minh AH, BB', CC' đồng quy

Giải:

Theo phần đảo của định lý Ceva, ta phải chứng minh ' ' 1

HB B C C A

HC B A C B   (1)

'

HB C B

HC  CB (2) vì (AC'=AB')

*Trước hết ta cần chứng minh dẳng thức phụ sau:

Cho (O) và điểm A không nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ hai cát tuyến ABC và AEF Chứng minh AB.AC=AE.AF

- Chứng minh Thật vậy ADE ∽ AFC (góc  chung, ADEAFC )

AD AF

AD AC AE AF

AE AC

Ta sẽ áp dụng kết quả này vào việc chứng minh bài toán

* Dễ thấy 5 điểm A, B', O, H, C' thuộc nửa đường tròn (O) Áp dụng kết quả của đẳng thức phụ vừa chứng minh ta có:

BH.BO=BC'.BA (3); CH.CO=CB'.CA (4)

Từ (2) và (3) suy ra '

'

BH BO BC BA

CH CO  CB CA (5) Mặt khác, vì AD là phân giác góc ˆAnênBO AB

CO  AC (6)

Từ (5) và (6) suy ra '

'

HB C B

HC  CB (2) (1) (đpcm)

III Bài tập rèn luyện

Bài 1: Qua các điểm A và D nằm trên đường tròn kẻ các đường tiếp tuyến, chúng cắt nhau ta ̣i điểm S Trên cung AD lấy các điểm A và C Các đường thẳng AC và BD cắt nhau ta ̣i điểm P, các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm O Chứng minh rằng đường thẳng PQ chứa điểm O

Bài 2: Trên các ca ̣nh của tam giác ABC về phía ngoài ta dựng các hinh vuông A1,

B1, C1, là trung điểm các cạnh của các hình vuông nằm đối nhau với các cạnh BC,

CA, AB tương ứ ng Chứng minh rằng các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy

Bài 3: Chứng minh các đường cao, đường trung tuyến, tâm đường tròn nô ̣i tiếp,ngoại tiếp tam giác đồng quy ta ̣i mô ̣t điểm

Bài 4: Trên các ca ̣nh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại mô ̣t điểm Chứng minh rằng các đường thẳng AA2, BB2, CC2 đối xứ ng với các đường thẳng đó qua các đường phân giác

tương ứng, cũng đồng quy