Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh HóaA. b a.[r]
Trang 1Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
b a
A
B
o
Bài giảng số 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng
+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là ( đọc là vectơ AB)
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a b x y , , , ,
(Chú ý: ABBA
)
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0
Ví dụ: MM AA ,
,
+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ ≠ , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ Còn vectơ
không AA
thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó
+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ
+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau
Chú ý:
+ Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó Độ dài a
kí hiệu là |a
|, |AB|ABBA
Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
Nếu a
bằng b
thì ta viết a
=b
AA BB
= 0
, |0
|= 0
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Tìm
AB
AB
0
AB
A
B
Trang 2A B
o
a) Tất các vectơ khác 0
; b) Các vectơ cùng phương;
c) Các vectơ bằng nhau
Các kí hiệu thường gặp
AB
cùng phương CD
kí hiệu: AB
//CD
AB
cùng hướng CD
kí hiệu: AB
CD
AB
ngược hướng CD
kí hiệu: AB
CD
B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1 Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0
là AB BA,
Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó
Giải
Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E} Do đó có 20 vectơ khác 0
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a
khác 0
Tìm điểm M sao cho:
cùng phương a
Giải
Gọi là giá của a
Nếu AM
cùng phương a
thì đường thẳng AM//
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và //
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM
cùng phương a
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa: | | | |a b a b
a b
+ Sử dụng tính chất của các hình Nếu ABCD là hình bình hành thì
a
Trang 3
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
E F
D B
A
C
K I
N
M D
A
C
B
,
ABDC BCAD
,…
(hoặc viết ngược lại) + Nếu a b b , ca c
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Chứng minh: EFCD
Giải
Cách 1: EF là đường trung bình của ABC nên EF//CD,
EF=1
2BC=CD EF=CD EF CD
(1)
EF
cùng hướng CD
(2)
Từ (1),(2) EF CD Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=1
2BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EFCD
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN
Chứng minh: AM NC DK, NI
Giải
Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành
AM NC
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
của MD DK
=KM
Tứ giá IMKN là hình bình hành, suy ra NI
=KM
DK NI
Ví dụ 5: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu)
Giải
Giả sử ABAC
Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc A BC
(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)
Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a
Dựng điểm M sao cho:
a) AM
=a
; b) AM
cùng phương a
và có độ dài bằng |a
|
Trang 4Giải
Giả sử là giá của a
Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// (nếu A thuộc thì d trùng ) Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:
AM1=AM2=|a
| Khi đó ta có:
a) AM1
=a
b) AM1
=AM2
cùng phương với a
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O Chứng minh: AH B C'
Giải
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương
avà
b Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ
đó
a
A
Trang 5Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Bài 3: Cho ba vectơ
c b
a, , cùng phương và đểu khác véctơ không Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơ trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB
và AC
cùng hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng
Bài 5: Cho tam gác ABC Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA Hãy vẽ hình và tìm
trên hình vẽ các véctơ bằng PQ
,QR
,RP
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB
; b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB
; c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB
; d) Tìm các vectơ bằng với MO
, bằng với OB
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác 0
và cùng phương OA
; b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB
; c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB
và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ ;
b) Có độ dài bằng
Bài 9: Cho tứ giác ABCD
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ABDC
Bài 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng nếu ABDC
thì ADBC
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA
Chứng minh :
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) AB
và AC
cùng hướng, |AB
|>|AC
|;
b) AB
và AC
ngược hướng;
c) AB
và AC
cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng
AB
OB
OB
MQ NP QP
MN ;
Trang 6Q
P
B
A
C
N M
O D
A
B
C
O D
A
B
HƯỚNG DẪN
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ
Bài 2: có, đó là vectơ-không
Bài 3: nếu
a ngược hướng
b và
a ngược hướng
a thì cùng hướng
Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7: a) DA AD BC CB AO OD DO FE EF , , , , , , , ,
b) OC ED FO , ,
c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó BB' AB
* FO
là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB CC ' AB
+ tương tự
Bài 8: a) ABDC
,OBDO
BC PQ DC
NP DA MN
BA
Trang 7Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
b) |OB| | BO| | DO| | OD|
Bài 9:
Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành
*
Chứng minh chiều : * = , cùng hướng và
* và cùng hướng AB // CD (1)
* AB CD AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 10: ABDC
AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành AD BC
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng 1
2AC
Và đều //AC Vậy MNPQ là hình bình hành
đpcm
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) AB
và AC
cùng hướng, |AB
|>|AC
|;
b) AB
và AC
ngược hướng;
c) AB
và AC
cùng phương;
HD: a) AB
và AC
cùng hướng, |AB
|>| AC
| khi C nằm giữa A và B b) AB
và AC
ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
CD AB
CD
AB //
DC AB CD
AB
CD
AB
//
Trang 8c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
+ cùng hướng: nếu |AB
|>|AC
| thì theo a); nếu |AB
|<AC
| thì B nằm giữa A và C + Ngược hướng thì theo b)
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng
HD: Ta có AM BA NP; DC AB
AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1)
Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)
Từ (1)&(2) AQ AQ 0
BÀI TẬP LÀM THÊM
1 Cho ABC Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0
2 Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA
CMR :
MQ =
NP
3 Cho ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA
a/ Xác định các vectơ cùng phương với
MN b/ Xác định các vectơ bằng
NP
4 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF Dựng các vectơ
EHvà
FG bằng
AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành
5 Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD Từ C vẽ
CI =
DA CMR :
a/ I là trung điểm AB và
DI =
CB b/
AI =
IB =
DC
6 Cho ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD Dựng
MK =
CP và
KL =
BN a/ CMR :
KP =
PN
BC PQ DC
NP DA MN
BA
Trang 9Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR :
AL = 0
