d 9n S n mo MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DUNG TÍNH CHẤT VỀ SỰ ĐỒNG DƯ CỦA SỐ TỰ NHIÊN VÀ TỔNG CÁC CHỮ SỐ CỦA NÓ... Tìm tổng các chữ số của b... Tìm tổng các chữ số của b.. Hỏi số đó có là số chín
Trang 1( ) ( d 9)
n S n mo
MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DUNG TÍNH CHẤT VỀ SỰ ĐỒNG DƯ CỦA
SỐ TỰ NHIÊN VÀ TỔNG CÁC CHỮ SỐ CỦA NÓ.
******************
Từ dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9 ta có tính chất: “Số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho 3, cho 9”
Gọi số tự nhiên là n, tổng các chữ số của nó là S(n) thì tính chất trên là:
n S n ( ) (mod3)
Sử dụng tính chất đó ta có thể giải dễ dàng các bài toán khó sau:
Bài 1: Tìm n N thỏa mãn n + S(n) = 94
Giải:
Vì S(n) > 0 với mọi n0 m à n + S(n) = 94 suy ra n < 94 S n( ) 8 9 17
(Vì trong các số tự nhiên nhỏ hơn 94, số có tổng các chữ số lớn nhất là 89)
Từ đó n 94 – 17 =77 Vậy 77 n < 94
Vì mà n + S(n) = 94 4 (mod 9) suy ra n S n ( ) 2 ( mod9)
Mà 77 n < 94 nên n =83 hoặc n = 92
Xét n = 83 ta có n+ S(n) = 83+11= 94 ( chọn)
Xét n = 92 ta có n+ S(n) = 92+11= 103 ( loại)
Vậy số cần tìm là 83
Bài 2: Tìm n N thỏa mãn n + S(n)+ S(S(n)) = 60
Giải:
Vì S n ( ) 1 nên n 59 S n( ) 14 S S n( ( )) 9
Do đó n =60 - S(n)- S(S(n)) 60 – 14 – 9 = 37
Vậy 37 n 59 (1)
Mặt khác vì n S n mo ( ) ( d 9) và S n( ) S S n( ( )) (mod 9) nên n S S n ( ( )) (mod 9)
Vậy n + S(n)+ S(S(n)) n + n + n (mod 9)
Suy ra: 60 3n (mod 9) M à 60 6 (mod 9) 3n6 (mod 9)
n2 (mod 3) (2)
Từ (1) v (2) à suy ra n 38; 41; 44; 47;50;53;56;59
Thử lại ta thấy n = 44; n=47; n= 50 thỏa mãn đề bài Vậy các số tự nhiên cần tìm là 44; 47; 50
( ) ( d 9)
n S n mo
Trang 2Bài 3: Cho a là tổng các chữ số của số (2 9 ) 2012 , b là tổng các chữ số của a Tìm tổng các chữ số của b.
Giải:
Đặt n = (29)2012
Ta có n = (29)2012 = (23)3.2012 = 8 6036 < 10 6036 n không có quá 6036 chữ số Khi đó a = S(n) 9 6036 = 54324 a 54324 b = S(a) < 5 + 4.9 = 41 Vậy b <41 S(b) 3 + 9 = 12
Vậy S(b) 12
Theo tính chất ta có n S(n) S(b) (mod 9) (1)
Có n = 8 6036 = (8 2).3018 mà 8 -1 (mod 9) (8 2)3018 ((-1)2)3018 (mod 9)
8 2.3018 1(mod 9)
Hay n1(mod 9) (2)
Từ (1) và (2) ta có S(b) 1 (mod 9)
Mà S(b) 12 v à dễ thấy S b ( ) 1 S(b) =10
Vậy tổng các chữ số của b là 10
Bài 4: Tổng các chữ số của một số tự nhiên không đổi khi nhân số đó với 5 Chứng minh số đó chia hết cho 9.
Giải:
Gọi số tự nhiên là n, theo đề bài ta có S(n)= S(5n)
S(n) S(5n) (mod 9)
5n n (mod 9) 5n n 9 4 9n M (4,9) = 1à n 9
Vậy số đó chia hết cho 9
Bài 5: Người ta viết dãy 1,2,3,4,…, 1000000 Sau đó mỗi số được thay bằng tổng các chữ số của nó, cứ làm như vậy nhiều lần cho đến khi chỉ còn các số có một chữ số Hỏi lúc này trong dãy chữ số nào xuất hiện nhiều nhất.
Giải:
Vì mỗi số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho
9 nên nếu số n ở trong dãy đầu tiên khi chia cho 9 dư r (1 r 9) thì số có một chữ số trong dãy cuối cùng cũng là r
Trong 1000000 số tự nhiên đầu tiên ( 0) có 111111 số khi chia cho 9 cùng dư r/ (2 r/ 9) và có 111112 số khi chia cho 9 dư 1( vì cả hai số đầu
và cuối của dãy là 1 và 1000000 khi chia cho 9 đều dư 1)
Vậy trong dãy cuối cùng có 111112 số 1 và mỗi số 2,3,4,…,9 đều xuất hiện 111111 lần Chữ số xuất hiện nhiều lần nhất trong dãy là chữ số 1
( 111112 lần)
Trang 3Bài 6: Viết các số 1,2,3,4,…,2012 thành dãy nhưng theo thứ tự tùy ý ta nhận được một số có nhiều chữ số Hỏi số đó có là số chính phương không?
Giải:
Vì mỗi số tự nhiên và tổng cá chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho 9 nên nếu gọi số nhận được là n thì ta có:
n1+2+3+4+ … + 9+ (1+0) + (1+1) + (1+2) + … +(2+0+1+2) (mod 9) + 9+ (1+0) + (1+1) + (1+2) + … + 9+ (1+0) + (1+1) + (1+2) + … +(2+0+1+2) (mod 9) +(2+0+1+2) (mod 9)
n1+2+3+4+ … + 9+ (1+0) + (1+1) + (1+2) + … +(2+0+1+2) (mod 9) + 9+ 10 + 11 + 12 + … + 9+ (1+0) + (1+1) + (1+2) + … +(2+0+1+2) (mod 9) + 2012 (mod 9)
Ta có 1+2+3+4+ + 9+ 10 + 11 + 12 + + 2012 = (1+2012).2012 :2… + 9+ (1+0) + (1+1) + (1+2) + … +(2+0+1+2) (mod 9) … + 9+ (1+0) + (1+1) + (1+2) + … +(2+0+1+2) (mod 9)
= 2025078
Mà 2025078 6 (mod 9) Vậy n6 (mod 9) n 3
Vì n3 mà n không chia hết cho 9 nên n không là số chính phương
CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ
1)Tìm số tự nhiên n biết:
a) n + 2S(n) = 2000
b) n + S(n) = 2003
2) Gọi a là tổng các chữ số của số n = (2 9 ) 1945 , b là tổng các chữ số của a Tìm tổng các chữ số của b.
3) Tìm số tự nhiên n sao cho S(n) = n 2 + 1991n + 20
4) Viết các số 1,2,3,4,…,1995 thành dãy nhưng theo thứ tự tùy ý ta nhận
được một số có nhiều chữ số Hỏi số đó có là số chính phương không?
Trên đây là một số bài toán có sử dụng tính chất về sự đồng dư của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó dùng cho bồi dưỡng học sinh giỏi Chắc rằng sẽ còn nhiều dạng bài toán có thể sử dụng tính chất này Mong được trao đổi cùng các bạn
GV: Lê Thị Minh Phượng
Trường THCS Tiền Tiến – Thanh Hà – Hải Dương Địa chỉ liên hệ: Số 92 – phố Hòa Bình – TP Hải Dương