Bài giảng số 3: Hàm số bậc hai và các dạng bài tập

Dùng đồ thị để biện luận theo m số nghiệm của phương trình.[r]

Trang 1

http://edufly.vn Bài giảng hàm số lớp 10

BÀI GIẢNG SỐ 03: HÀM SỐ BẬC HAI y = ax 2 + bx + c

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Hàm số có dạng y =f(x)= ax 2 + bx + c ( a 0) được gọi là hàm số bậc hai

 Với a > 0, ta có:

 Hàm số nghịch biến trên khoảng ;

2

b a

 

 Hàm số đồng biến trên khoảng ;

2

b a

 Khi

2

b x a

  hàm số đạt cực tiểu min

b



  

 Với a < 0, ta có:

 Hàm số đồng biến trên khoảng ;

2

b a

 

 Hàm số nghịch biến trên khoảng ;

2

b a

 Khi

2

b x a

  hàm số đạt cực đại ax

m

b

 

  

 

 Đồ thị: Đồ thị của hàm bậc hai là một Parabol (P) có đỉnh ;

2 4

b S

 

  và nhận đường thẳng

2

b x a



 làm trục đối xứng

 Nhận xét:

+ Nếu  0, (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt + Nếu  0, (P) tiếp xúc với trục hoành

+ Nếu  0, (P) không cắt trục hoành

 Hàm số này là hàm chẵn

 Từ đồ thị hàm số y = f(x) (P) suy ra đồ thị của các hàm số:

 y = f x( ) (P1)

Giữ nguyên đồ thị (P) trên Ox và lấy đối xứng với phần dưới Ox của (P) qua Ox

Trang 2

 y = f  x (P2)

Giữ nguyên đồ thị (P) bên phải Oy sau đó lấy đối xứng qua Oy với phần (P) bên phải Oy

 y f  x (P 3 )

Vẽ (P 3 ) bằng cách kết hợp vẽ (P 1 ) và (P 2 )

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm hàm số bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Bước 1: Giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y = ax 2 + bx + c ( a 0)

Bước 2: Dựa vào điều kiện bài cho để xác định a, b, c

Trong bước này ta chú ý các điều kiện thường gặp:

 (P) có đỉnh

0

2

4

b x a

S x y

y a









 





 (P) có giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) bằng y 0

0

0 4

a y a











( hoặc

0

0 4

a y a















)

 (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm có hoành độ bằng x 0 )

0

0 2

a b x a











(hoặc

0

0 2

a b x a















)

 (P) nhận đường thẳng x = x 0 làm trục đối xứng 0

2

b x a



Bước 3: Kết luận:

Ví dụ 1: Lập phương trình (P) biết

a) (P) đi qua ba điểm A( 1;8); B(2; 1); C(1; 0)

b) (P) có đỉnh S(2; 1) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 7

Giải:

Trang 3

a) Giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y = ax2 + bx + c (a 0)

Vì (P) đi qua ba điểm A( 1;8); B(2; 1); C(1; 0) nên ta có:

Vậy (P) cần tìm có dạng: y = x2 – 4 x + 3

b) Giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y = ax2 + bx + c (a 0)

Vì (P) có đỉnh S(2; 1)  2 2

b a













(1)

Vì (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 7 nên c = 7 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

2

a





 Vậy (P) cần tìm có dạng: 3 2 6 7

2

y x  x

Ví dụ 2: Lập phương trình của (P) biết

a) (P) có đỉnh S(1; 5) và đi qua điểm A(– 1; 1)

b) (P) có giá trị cực tiểu bằng – 1 và đi qua hai điểm A(2; 1); B(0;3)

Giải:

a) Giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y = ax2 + bx + c (a 0)

Vì (P) có đỉnh S(1; 5)  2 1

5

b a

a b c











   



(1)

Vì (P) đi qua điểm A(– 1; 1) nên a – b + c = 1 (2)

Trang 4

Vậy phương trình (P) cần tìm là: 2

y x  x b) Giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y = ax2 + bx + c (a 0)

Vì (P) có giá trị cực tiểu bằng – 1 nên 2

0

4

a

















(1)

Vì (P) đi qua hai điểm A(2; 1); B(0;3) nên

2

3

c







(2)

2

2 2

2

0

3 3

12 4

a

c c







  

Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) yx2 2x2 b) y x2x

Giải:

a b

Trang 5

Ví dụ 4:

a) Khảo sát và vẽ parabol (P): y x2 2x 3

b) Dựa vào đồ thị (P) ở câu a), hãy giải thích và vẽ trên một hệ toạ độ khác đồ thị của

2 1

( ) :P y f x( )x 2x3   2

2

(P ) :y f x  x 2 | | 3x 

3 :   | 2 3 |

4 :    |  2  3 |

2 5

(P ) : y  f x( )  x  2x 3 (P6) :y x 1 (  x 3)

Giải:

a

b

Trang 6

Dạng 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Ví dụ 5

Dùng đồ thị để biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Trang 7

a) x2 2 | |x m b) | 2x2 5x 2 | 2  m  1 0

Giải:

a) Ta có: x2 2 | |x m (1)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) 2

2

yx  x và đường thẳng y = m (d)

2

yx  x là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua Oy Do đó ta vẽ đồ thị (C) như sau

+ vẽ đồ thị hàm số 2

2

yx  x, ứng với x 0 + Lấy đối xứng phần đồ thị này qua Oy ta được đồ thị (C) như hình vẽ

Nhìn vào hình vẽ ta thấy:

+ Nếu m < - 1 thì (d) không cắt (C)  phương trình (1) vô nghiệm

+ Nếu m = - 1 thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phương trình (1) có 2 nghiệm

+ Nếu 0 < m < - 1 thì (d) cắt (C) tại 4 điểm phương trình (1) có 4 nghiệm

+ Nếu m = 0 thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phương trình (1) có 3 nghiệm

+ Nếu m > 0 thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phương trình (1) có 2 nghiệm

Kết luận:

Vậy m < -1 , phương trình vô nghiệm

1

0

m m

 



 



, thì phương trình có 2 nghiệm

m = 0, phương trình có 3 nghiệm

0 < m < -1, phương trình có 4 nghiệm

Trang 8

b) Ta có: | 2x2 5x 2 | 2  m  1 0  2x2 5x 2  2m 1 (1)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số và

2

y x  x và đường thẳng (d): y = 2m – 1

+ Vẽ đồ thị hàm số 2

y x  x (P) với đỉnh 5; 9

4 8

S  

+ Giữ nguyên đồ thị (P) trên Ox và lấy đối xứng với phần dưới Ox của (P) qua Ox

Hợp của hai phần đồ thị trên ta được đồ thì (C) như hình vẽ

Nhìn vào đồ thị ta thấy

2

m  thì phương trình vô nghiệm

+)

0 9 8

m m







 



thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

8

m  thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

8

m

  thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Trang 9

Ví dụ 6:

a) Xác định m để phương trình 2

0

    có nghiệm

2x  3x 2  5m 8x 2x có nghiệm duy nhất

Giải:

a) Ta có: 2

0

     x2 x m (1)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số 2

y x  x

và đường thẳng (d): y = m

y x  x là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua Oy nên ta vẽ đồ thị (C) như sau + vẽ đồ thị hàm số 2

y x x, ứng với x 0 + Lấy đối xứng phần đồ thị này qua Oy ta được đồ thị (C) như hình vẽ

Nhìn vào đồ thị hàm số, phương trình (1) có nghiệm 1

4

m

b) Ta có:

2

Vậy phương trình đã cho trở trành

2x 3x 2 5m8x2x 4x 5x 2 5m (2)

Số nghiệm của (C) là số giao điểm của (P): 2

y x  x và đường thẳng (d): y = 5m

Trang 10

Vẽ (P): đỉnh 5 7;

8 16

S 

 , cắt trục tung tại A(0; 2) như hình vẽ Nhìn vào hình vẽ ta thấy để phương trình (2) có nghiệm duy nhất 5 7 7

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

y bx c a  a) Biết đồ thị (P) của hàm số đã cho có đỉnh S(1; 4) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

3 Tìm a, b, c

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở câu a)

c) Từ đồ thị (P), hãy suy ra đồ thị các hàm số: 2

d) Bằng đồ thị hãy biện luận số nghiệm của phương trình

2

ĐS: a) a 1,b2,c3

b) Hàm số đồng biến trên khoảng  ;1, nghịch biến trên khoảng 1; 

d) m > 5,pt có 2 nghiệm m = 4, pt có 5 nghiệm

m = 5, pt có 2 nghiệm đơn và 2 nghiệm kép 1 < m < 4, pt có 4 nghiệm

4 < m < 5, pt có 6 nghiệm m = 1, pt có 2 nghiệm

m < 1, pt vô nghiệm

Bài 2: Cho hàm số: y = ax2 + bx + c có đồ thị (P)

a) Xác định a, b, c để (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3 và (P) đi qua điểm M( – 1; 8)

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số tìm được ở câu a)

c) Bằng đồ thị hãy giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2

Bài 3:

a) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2

2 x   3 x m

Trang 11

b) Tìm k để phương trình 2 2

      có hai nghiệm phân biệt c) Tìm a để các phương trình sau có nghiệm duy nhất

b)

2

phương trình có dạng 2

x  x k Dùng đồ thị tìm k

Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( ) :P y f x( )x x| 3 | 4. Dựa vào (P), hãy biện luận theo a

số nghiệm của phương trình f(x) = a

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	618,43 KB