Bài giảng số 4: Phương trình đối xứng tổng tích đối với sinx và cosx

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang.. Bài giảng số 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG TỔNG TÍCH ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX.[r]

Bài giảng số 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG TỔNG TÍCH ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Nhận dạng: Phương trình có dạng f sin , cosx x  0 hoặc f sin , cosx  x0, ở đó

 , 

f x y là một hàm đối xứng theo x y, , tức là f x y ,  f y x , 

 Hai dạng cơ bản của phương trình:

a x b x b x x c  

 Cách giải: Đặt sin cos 2 sin 2 os

   

4

 

Trong cả hai trường hợp thì điều kiện của t là  2 t 2

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 3  

sinxsin xcos x0 1

Giải:

1 sinx 1 sin x cosx 1 sin x  0

1 sinxsinx cosx sin cosx x 0

 

 

sin 1 1

sin cos sin cos 0 1

x



 





2





 x  k kZ

Xét  1 : đặt sin cos 2 os

4

 , điều kiện:  2  t 2 thì t2  1 2 sin cosx x Khi đó:  

2 1

2

t

2 1 0

 

1 2

1 2

  

 

 



4

2



 

x   k x  k kZ

Vậy nghiệm của phương trình là:

2

2 2

2 2

4











  



Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 cot xcosx5 tan xsinx2 2 

Giải

Với điều kiện sin 2x 0, nhân 2 vế phương trình với sin cosx x 0 ta được:

2 3cos x 1 sin x 5sin x 1 cos x 2 sin cosx x

3cos x 1 sinx 5sin x 1 cosx 5sin cosx x 3sin cosx x

3cosxcosx 1 sinx sinx 5sinxsinx 1 cosx cosx 0

3cosx cosx sin cosx x sinx 5sinx sinx sin cosx x cosx 0

 

 

sin cos sin cos 0 2

3cos 5sin 0 2



 





Giải  2 : đặt sin cos 2 sin

4

  thì

2

1 2 sin cos

với điều kiện: t  2 và t  1 Khi đó:

 

2 1

2

t

 

1 2

1 2

  

 

 





3

Giải  2 : tan 3 tan  

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3 3  

2sin xsinx2 cos xcosxcos2 3x

Giải

3 2 sin x c os x  sinxcosx sin x c os x 0

sin cos 0

2 1 sin cos 1 sin cos 0



 



 

 

sin cos 0 3

sin cos sin 2 1 0 3





Giải  3 : tan 1  

4





Giải  3 : đặt sin cos 2 os

4

 (t  2)

2

1 sin 2

   Khi đó:

3  t t 1  1 0t t 10 0

1

t t





 

 



4 1 os











  



2 1

3 2







 



3 4 2 2 2

















  





Ví dụ 4: Giải phương trình sau: sinxcosx2sin 2x 1 4 

Giải

Đặt sin cos 2 sin

4

 t  2t2  1 sin 2x Khi đó:

4   t 2 2t  12t2   t 3 0

 

 

1 3 2

  





 



1 sin

2

3 2







   



 



2

2 2













   



Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 2sinxcotx2 sin 2x1 5 

Giải

Điều kiện: sinx0cosx 1

Khi đó  5 2 sin cos 4 sin cos 1

sin

x

x

2 sin x cosx 4 sin xcosx sinx

2 sin x sinx cosx 4 sin x 1 0

sinx2 sinx1cosx2sinx1 2 sin  x10

 

2 sin 1 0 5 sin cos sin 2 0 5

x



 





Ta có:  5 sin 1

2

x

2 6 5 2 6

k

















Xét  5 : đặt sin cos 2 sin

4

 , điều kiện: t  2 và t  1 2

1 sin 2

   Khi đó:

5  t 1t 0 t2  t 1 0

 

 

2

2

  

















 

2 4

2 4









 

    



2 4

5

2 4

k













3 tan x4 tanx4 cotx3cot x 2 0 6

Giải

sin 2

x

   (điều kiện: t 2)t2 tan2 xcot2x Khi đó: 2

   2 

6 3 t 2 4t 2 03t24t 4 0

 

 

2 2 3

  





 



2

2

sin 2x

   sin 2x 1

2



4



     

Vậy nghiệm của phương trình là  

4



    

Ví dụ 7: Cho phương trình: msinxcosx1 1 sin 2 7x  

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0,

2



 

Đặt sin cos 2 sin

4

 , điều kiện: t  2

2

1 sin 2

Khi đó phương trình (7)   2

1

Nếu 0

2

x 

4 x 4 4



   

    1 t 2

Vì t = -1, không là nghiệm của (7’) nên ta có:

(7’)

2

1

t m t

 Xét hàm số

2

1

t y

t



 trên 1, 2 

2 2

2

0 1, 2 1

t





y

 tăng trên 1, 2 

Do đó (7) có nghiệm trên đoạn 0,

2



   y 1 m y 2 1 2 2 1

2 m

Vậy: 1 2 2 1

2m 

Ví dụ 8: Cho   2  3

os 2 2 sin cos 3sin 2

a) Giải phương trình f x   0 khi m  3

b) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f x 

  2

Giải

Đặt sin cos 2 os

4

  (t  2) 2

1 sin 2

 2

Vậy f x  trở thành   4 2 3  2 

a) Khi m  3 thì:

0 1

t t





 





4 1 os













2 1

2







 

    



3 4 2 2 2























1 2; 2

1 2

t

g t

t t

t



 





 









Mà g 0  3 mg 1 , 1 47

2 16

g   m

g    m, g 2 m 3 4 2

2 , 2

   

 

2 , 2

    

 



Do đó 2 

36 x

f x   R  6 f x 6 x  

 

 

f x



 

 







3 6

m m

 



 



4 2 3 m 3

2 cos 2xsin xcosxsin cosx xm sinxcosx 9

a) Giải phương trình khi m 2

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên 0,

2



 

Giải

9 2 cos xsin x sin cosx x sinxcosx m sinxcosx

 

cos sin 0 9

2 cos sin sin cos 9



 





Đặt cos sin 2 os

4

  (điều kiện: t  2)

2

1 2 sin cos

4



         

Ta có:  

2 1

2

t

4 1 2 *

    

a) Khi m 2 thì  * trở thành: t24t 3 0  

 

1 3

 





2



2

2 2

k













   





Vậy nghiệm của phương trình là:  

2 2 2 4

k

















   







  







os



     1 t 1

      

  nên yêu cầu bài toán  *

có nghiệm trên đoạn 1,1

Xét y t24t1y 2t40 t   1,1 y tăng trên 1,1

Do đó yêu cầu bài toán   4 y 1 2m y 1 4  2 m2

Vậy với  2 m2 thỏa mãn yêu cầu đề bài

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1 1 sin cos sin cos  2

2

2

3

3 1 sin3 os3 3sin 2

2

2

2

sin

4 3

2 4

x k



















  





  



4 2 sin xcosxtanxcotx ĐS: 2

4



 

5 sin 2 2 sin 1

4

6 sinxcosx  1 4sin 2x ĐS:

2

x k 



2

3 1 sin



  ĐS:

6

2 1 sin

x









  











8 sinxsin2 xsin3xsin4 xcosxcos2xcos3x c os4x ĐS:

4 2 2 2















 





  





9 2  3  3

tan x 1 sin x cos x  1 0 ĐS:

2

4

2 1 os























Bài 2: Giải các phương trình sau:

1 cos2x 5 2 2 cos  xsinxcosx ĐS: 2 2

2











 



2 cos3xsin3xcos2x ĐS:

4 2 3 2 2













  















3 tanxtan2xtan3xcotxcot2 xcot3x ĐS: 6

4



 

4 22 2 tan2 5 tan 5cot 4 0

sin x x x x  ĐS: x 4 k





  

3 17 tan

4

x







  













6 tanxcotx2 sin 2 xcos2x ĐS: 4 2







  



7 sin3x c os3xsin 2xcosxsinx 1 ĐS: 4

sin

x









  











8

4sin 2 6 sin 9 3cos 2

0 cos

x

3



  

9 3

6 3













 



  





  



10.8 cos3 os3

3





 

Bài 3: Cho phương trình: cos3xsin3xmsin cosx x

a) Giải phương trình khi m  2 ĐS:

2

4

os

2 2

4

c















b) Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS: m

Bài 4: Cho phương trình: sin cos  1 1 tan cot 1 1 0

a) Giải phương trình khi 1

2

4



  

b) Tìm m để phương trình có nghiệm trên 0,

2



  ĐS: m   2 1

Bài 5: Cho phương trình: cos3xsin3xm

a) Giải phương trình khi m 1 ĐS:

2

2 2













   



b) Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm ,

4 4

  

  ĐS:

2

1

2 m

2

1 cot tan cot 2 0

a) Giải phương trình khi 5

2

4



  

b) Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS: 5

2

m 

Bài 7: Cho phương trình sin 2x4(cosxsin )x m. Tìm m để phương trình có nghiệm

ĐS: 4 2 1  m4 2 1