Bài giảng số 3: Công thức nhị thức newton và các dạng toán trong đề thi đại học

 Dạng 3: Tích phân hai vế của nhị thức Newton để chứng minh một đẳng thức... Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS..[r]

Bài giảng số 3: CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton:

0

0,1, 2,

n

k n k k n k





Các hệ số C n k của các lũy thừa  n

a b với n lần lượt là 0,1, 2, 3, được sắp thành từng hàng của

tam giác Pascal

 Các tính chất của tam giác Pascal

a) C n0 C n n 1: các số hạng đầu và cuối mỗi hàng đều là 1

b) C n k C n n k 0kn: các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng nhau

C C  C  kn : tổng 2 số hạng liên tiếp ở hàng trên bằng số hạng ở giữa 2 số

hạng đó ở hàng dưới

n 1 1 n 2n

C C  C   

 Các tính chất của nhị thức Newton

a) Số các số hạng trong khai triển nhị thức a b n là n 1

b) Tổng số mũ của a và b trong từng số hạng của khai triển nhị thức a b n là n

c) Số hạng thứ k 1 là C a n k n k b k

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Dạng 1: Trực tiếp khai triển nhị thức Newton

Khai triển ax b n với a b    , 1, 2, 3,

Cho x giá trị thích hợp ta chứng minh được đẳng thức về C C n0, 1n, ,C n n Hai kết quả thường dùng:

  0 1 2 2  

0

n

k



0

n

k





Ví dụ 1: Chứng minh:

a) C n0C n1 C n n 2n

b) 0 1  

1 n n 0

C C    C 

Giải:

a) Viết lại đẳng thức  1 , chọn x 1 ta được điều phải chứng minh

b) Viết lại đẳng thức  1 , chọn x 1 ta được điều phải chứng minh

Tìm số hạng đứng trước x i ( i đã cho) trong khai triển nhị thức Newton của một biểu thức cho sẵn

Ví dụ 2: G/s số hạng thứ k 1 của a b n là k n k k

n

C a  b Tính số hạng thứ 13 trong khai triển 3 x 15

Giải:

Ta có:  15 0 15 1 14 15    15 15

3x C 3 C 3 x C k3 k x k   C x

Do k 0 ứng với số hạng thứ nhất nên k 12 ứng với số hạng thứ 13

Vậy số hạng thứ 13 của khai triển trên là: 12 3 12 12 12

15

15!

12!3!

Đối với bài toán tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức a b n ( a b, chứa x ), ta làm như sau:

- Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là: C a n k n k b k c x m m

- Số hạng độc lập với x có tính chất: m 0 và 0k n , k n   Giải phương trình này ,

ta được kk0 Suy ra số hạng độc lập với x là k0 n k0 k0

n

C a  b

Ví dụ 3: Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức

18 4 2

x x



Giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là:

18

4

2

x



Số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức có tính chất: 18 2 k 0k9

Vậy số hạng cần tìm là: C189.29

Đối với bài toán tìm số hạng hữu tỷ trong khai triển nhị thức a b n với a b, chứa căn, ta làm như sau:

- Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là:

m n

k n k k p q n

C a  b Kc d với c d   ,

- Số hạng hữu tỷ có tính chất: m

p  và n

q  và 0kn, k n   Giải hệ trên ta tìm , được kk0 Suy ra số hạng cần tìm là: k0 n k0 k0

n

C a  b

Ví dụ 4: Tìm số hạng hữu tỷ trong khai triển nhị thức 3 7

16 3

Giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là:

7



 

Số hạng hữu tỷ trong khai triển có tính chất:

7

3

2

k

k





























k

 





  



7 3

k

 





  



 k 4

Vậy số hạng cần tìm là: C174.16.32

2n 2n3 2n3 2n n3 n 2 n 2 n 1

Giải:

1x n C nC x C x n  n  C n n x n C x n n n 1

1x n C nC x C x n  n  C n n x n C x n n n 2

Cộng  1 và  2 ta được:  2  2  0 2 2 2 2 

1x n  1x n 2 C nC x n  C x n n n

Chọn x 3 ta được: 2  2  0 2 2 2 2 

4 n  2 n 2 C nC n3  C n n3 n

2

n n



2

n n

n n



2 n 2 n 1 C n C n3 C n n3 n

Ví dụ 6: Tìm hệ số của x trong khai triển 8 2  8

1 x 1 x

Giải:

Ta có:

Số hạng chứa x trong khai triển trên chỉ có trong 8 3 6 3

C x x và 4 8 4

C x x đó là C x83 63x2 và C x84 8 Vậy hệ số của x là: 8 3C83C84 238

Ví dụ 7: Cho

1 1







Biết rằng C n3 5C1n và số hạng thứ tư bằng 20n Tìm n và x

Giải

Ta có: C n3 5C1n (điều kiện: n và n3)

5

 1 2

5 6

n

  n1n230 2

 

 

7

4

 

 

 



7

n

Ta có: a4 20n140

3 4 1

x x

C

2 7!

3!4!

x

  2x2 22 x 2 2 x4

Ví dụ 8: Gọi a3n3 là hệ số của 3n 3

x  trong khai triển thành đa thức của  2   

1n 2 n

x  x Tìm n để a3n3 26n

Giải:

Ta có:  2     2

0 0

2

n n

i k k n i k

n n

i k

C C x  

 

Do yêu cầu bài toán nên 3n 3 3n2ik2ik 3

Do i k   và , i k, 0;n nên 0 1

hay

Vậy a3n3 C C n0 n323C C n1 n122 26n

2

!

3! 3 !

n

n

2 n 1 n 2 3n 39

     2n23n350

 

 

5 7 2

 





  



5

n

Ví dụ 9: Trong khai triển  

10

1 2

Hãy tìm số hạng a lớn nhất k

Giải:

10

10

0

k k

k



Do đó

10 10 10

0

1

2 3

k k k

k



Ta có: a đạt max k 1

1

k k

k k









 





1 1

1 1

 

 



 





1

1













 



11





 



Do k   và k 0;10 nên k 7 Hiển nhiên a tăng khi k k 0;7 và a giảm khi k k 7;10

Vậy

7 7

7 10 10

2 max

3

k

a a  C

 Dạng 2: Đạo hàm 2 vế của khai triển Newton để chứng minh một đẳng thức

- Viết khai triển Newton của ax b n

- Đạo hàm 2 vế một số lần thích hợp

- Chọn giá trị x sao cho thay vào ta được đẳng thức phải chứng minh

Chú ý: + Khi cần chứng minh đẳng thức chứa kC n k ta đạo hàm hai vế trong khai triển axn

+ Khi cần chứng minh đẳng thức chứa  1 k

n

k k C ta đạo hàm 2 lần hai vế của khai triển

axn

Ví dụ 1: Chứng minh:

a) C n12C n23C n3 nC n n n2n1

C  C  C     nC 

2nC n 2nC n 3.2n C n   1 n nC n n n

Giải:

Ta có nhị thức:   0 1 1 2 2 2

ax C a C a x C a  x  C x

n ax  C a   C a  x C a  x  nC x 

a) Với a1,x , ta được: 1 C1n2C n23C n3 nC n n n2n1

b) Với a1,x  , ta được: 1 1 2 3   1

C  C  C     nC  c) Với a2,x  , ta được: 1 1 1 1 2 3 3   1

2n C n 2nC n 3.2n C n   1 n nC n n n

x a a xa x  a x Tính:

a) a 97

b) Sa0a1 a100

c) M a12a23a3 100 a100

Giải:

a) Ứng với k 97 ta được a 97

Vậy 97 3 97

97 1002 1



f x  x a a xa x  a x

Chọn x 1 ta được: S a0a1 a100   1100  1

1 2 2 3 3 100 100

f x a  a x a x   a x

Mặt khác f x   x2100 f x 100x299

100 x2 a 2a x3a x  100 a x

Chọn x 1 ta được: M a12a23a3 100 a100100 1 99  100

Ví dụ 3: Cho f x   1xn với n 2

a) Tính f  1

C  C  C  n n C n n 

Giải:

a) Ta có: f x   1xn     1

f x n x 

b) Do khai triển nhị thức Newton:

f x  x C C x C x C x C x  C x

1 2n 2 n 6 n 12 n 1 n n

n n   C  C  C  n n C

AC  C  C  C     nC

Giải:

1x n C n C x C x n  n C x n   1n C x n n n

Chọn x 1 ta có: 1 2 3  

0 C n2C n 3C n   1 n nC n n

  1

Ví dụ 5: Chứng minh với n   và n 2: 1 1 2 3   

Giải:

1x n C n C x C x n  n C x n C x n  C x n n n

Lấy đạo hàm theo x hai vế ta được:   1 1 2 2 3 3 4 1

n x  C  xC  x C  x C  nx C

Chọn x 1 ta được: n2n1 C n12C n23C n34C n4 nC n n

Vậy   1 1

n



2n n! **

Kết quả  ** sẽ được chứng minh bằng quy nạp

 ** đúng khi n 3 Thật vậy 422 3! 6

Giả sử  ** đúng khi nk với k 3, nghĩa là ta đã có: k! 2 k1

1 ! 2.2k 2k

    (do k 3 nên k  1 4)

Do đó  ** đúng khi nk1

Kết luận: 2n1n! đúng với mọi n   và n 2

 Dạng 3: Tích phân hai vế của nhị thức Newton để chứng minh một đẳng thức

- Viết khai triển Newton của ax b n

- Lấy tích phân xác định hai vế thường là trên các đoạn:  0;1 , 0; 2 hay 1; 2 ta sẽ được đẳng thức cần chứng minh

Chú ý: + Cần chứng minh đẳng thức chứa

1

k n

C

k  ta lấy tích phân với cận thích hợp hai vế trong khai triển của axn

+ Cần chứng minh đẳng thức chứa 1

1

k n C

km ta lấy tích phân với cận thích hợp hai vế

trong khai triển của m n

x ax

Ví dụ 1: Cho n   và n 2

a) Tính 1 2 3

I  x x dx

b) Chứng minh:

1

n n





Giải:

a) Ta có: 1 2 3 1 3  3 

1

3

I  x x dx  x d x 

1 1 3

1 0

1

n

n

x

I





1x n C n C x n C x n  C x n n n 2 3 2 0 1 5 2 8 3 2

Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được:

1

0

n n

n





Vậy

1

n

n





Ví dụ 2: Chứng minh

1 0

n n k

C









Giải:

1x n C n C x C x n  n C x n C x n  C x n n n

0 1x dx n  0 C n C x C x n  n C x n C x n  C x n n n dx

 

0 0

1

n

1

n

n

 

1

0

k

n k

C







Ví dụ 3: Tính

n

n

n



Giải:

1x n C n C x C x n  n C x n  C x n n n

1 1x dx n  1 C n C x C x n  n C x n  C x n n n dx

1 1

1

n

n

n

1 2

n n



Giải:

a) Ta có nhị thức:   0 1 1

ax C a C a x C x

x ax C a x C a x  C x 

0x ax n dx 0 C a x n n C a n nx  C x n n n dx

n





Để tính tích phân ở vế trái, đặt t ax dtdx

Đổi cận:

Suy ra: 1 2  1 2

0

a

a

x ax dx  ta t dt

2

a

a t  at  a t dt

1

2

a

a



1

1 2 0

n

n

x a x dx





2

n

2

2

1 2

n





1 2

n n

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Khai triển 3x 116 Suy ra 316C160 315C161 314C162  C1616216

Bài 2: Chứng minh:

a) 2n C n02n1C1n2n2C n2 C n n 3n

3n C n 3nC n3n C n   1 n C n n 2n

Bài 3: Chứng minh:

1

n

n

k

C







0

n

k k n k

C





Bài 4: Tìm hệ số đứng trước x trong khai triển biểu thức sau đây thành đa thức: 5

  2 14 2 15 2 16 2 17

Bài 5: Tìm số hạng chứa x trong khai triển 8 13 5

n x x



C  C   n ĐS: n12; 495x8

Bài 6: Biết rằng tổng các hệ số của khai triển  2 

1 n

x  bằng 1024 Hãy tìm hệ số a của số hạng ax 12

Bài 7: Tìm hệ số đứng trước x trong khai triển 4  210

1 x 3x ĐS: 1695

Bài 8: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

12 1

x x



ĐS: 6

12 924

C 

Bài 9: Tìm số hạng không chứa x (với x 0) trong khai triển

7 3

4

1

x x



ĐS: C 74 35

Bài 10: Trong khai triển

28

n

x x x



hãy tìm số hạng không phụ thuộc x biết rằng

79

Bài 11: Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỷ  4 124

3 5 ĐS: 32 số hạng

Bài 12: Chứng minh: 2n1C1n2n1C n23.2n3C n34.2n4C n4 nC n n n.3n1

Bài 13: Chứng minh: C1n3n12C n23n23C n33n3 nC n n n.4n1

Bài 14: Chứng minh:

1.2.C n 2.3C n   n1 nC n n n n1 2n

1.2.C n 2.3C n   1 n n1 nC n n  0

2nC n 3.2n C n 3.4.2n C n   n1 nC n n n n1 3n

2nC n 3.2n C n 3.4.2n C n   1 n n1 nC n n n n1

Bài 15: Chứng minh:

3C n 4C n  n3 C n n 2n 6n

3C n 4C n  1 n n3 C n n  0

Bài 16: Chứng minh: 0 1 2 1 1 3 2  1 1 1  1

n n



Bài 17: Chứng minh:

n

1

Bài 18: Tính 01x1x19dx Rút gọn 1 190 1 191 1 192 1 1918 1 1919

420

I S

Bài 19: a) Tính 1  2

0x 1x n dx

1

I n





n n



Bài 20: Chứng minh rằng

a) 0 1

n 2n

C C  C 

b) C21nC23n C22n n1 C20nC22n C22n n

c) C02n 3 C2 22n 3 C4 42n  3 C2n 2n2n 22n 1(22n  1)

Bài 21: Chứng minh rằng 1 4C 1n4 C2 2n  4 C n nn chia hết cho 5

Bài 22: Chứng minh rằng

a) 1110 chia hết cho 100 1

b) 101100 chia hết cho 10000 1

10 (1  10 ) (1 10)  là một số nguyên

Bài 23: Chứng minh rằng  0 2  1 2  20072  20082 2008

Bài 24: Tìm số hạng chứa x trong khai triển 5  2 310

1 x x x ĐS: C C100 105 C C101 103 C C102 101

Bài 25: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển nhị thức  10

5 2

2

3  ĐS: T1 2 3 ,10 5 T114

Bài 26: Tìm n và x trong khai triển nhị thức

n

k 0





  biết rằng C3n 5C1n và

1x n a a xa x  a x k k  a x n n Biết rằng k là số nguyên thoả 1kn1

sao cho

24

a 9

a 2

ak1 k k1



Bài 28: Tìm maxa , biết rằng k k là số tự nhiên thoả 0k10 trong khai triển

10

10

1 2

3 3

k k

ĐS:

7 7 10

C 2 a

3



Bài 29: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức

a)  2x10

1

3

4 4 10

2 C 3

 

 

  b)

15

1 2

x

3 3



10 10

10 15 15

2

3



Bài 30: Chứng minh rằng

a) C1n 2C2n  nCnn n.2n1

b) 2C2n 3.2C3n 4.3C4n n(n 1)C  nn n(n 1)2 n 2



Bài 31: Hãy khai triển nhị thức Newton (1 2x) 2n Từ đó chứng minh rằng

C 3C  (2n1)C  2C 4C  (2n)C

Bài 32: Tính tổng S C0n 1C1n 1C2n 1 Cnn

 biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn điều kiện

CnnCn 1n Cn 2n 79 ĐS:

13

S 13





Bài 33: Cho n 2, n  Chứng minh rằng:  1 2 3 n

1

Bài 34: Xét S 2C0n 3C1n 4C2n  (n2)Cnn với n  4, n .Tính n , biết S  320

ĐS: n 6

Bài 35: Xét tổng 02n 2 22n 2 2n4 2 62n 2 2n 22n 2 2n2n





n  Tính n , biết 8192

S 13

2 1 2

n

n



