Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà.. a..[r]
Trang 1BÀI GIẢNG SỐ 02: CÁC DẠNG GIỚI HẠN HÀM SỐ
Dạng 1: Dạng0
0
Phương pháp:Bản chất của việc khử dạng không xác định0
0là làm xuất hiện nhân tử chung để:
Hoặc là khử nhân tử chung để đưa về dạng xác định
Hoặc đưa giới hạn về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc đã biết rõ kết quả hoặc cách giải
Ghi chú:
Nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x – x0).g(x)
Liên hợp của biểu thức
3 ab là3 a2 b a3 b2
3 ab là3 a2 b a3 b2
Bài toán 1:Dạng0
0của hàm phân thức đại số
Phương pháp: Cụ thể tính
0
( ) lim ( )
x x
f x
g x
, trong đó f(x), g(x) là các hàm đa thức nhận x = x0 làm nghiệm
Khi đó:
( )
f x
Ví dụ 1: Tính giới hạn
a
3 2
1
2 lim
2
x
x x
b
1
1 lim
1
m n x
x x
Bài giải
a
3 2
1
2 lim
2
x
x x
3 3
x x
b
n
m x
x
x x x
x x
x x x x
x
n n
m m
x n
n
m m
x n
m
1
lim ) 1
)(
1 (
) 1
)(
1 ( lim 1
1
2 1
1 2
1
2 1
1 1
Trang 2Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Bài toán 2: Dạng0
0của các hàm chứa căn thức
Loại 1: Với giới hạn
0
( ) lim
( )
x x
f x a
g x
, trong đó f x( 0) a vàg x( 0)0
Phương pháp:Nhân cả tử và mẫu của đa thức đã cho với f x( )a Sau đó áp dụng dạng0
0của hàm phân thức đại số để tính
Ví dụ 2: Tính các giới hạn
a
6
lim
6
x
x
x
b 2
2
lim
4
x
x
Bài giải:
a Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với( x 2 2) ta được
6
lim
4
2 2
b Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với (x 3x2) ta được
2
lim
x
2
lim
16
x
x
Loại 2: Với giới hạn
0
( ) lim
( )
x x
f x a
g x b
, trong đó f x( 0) avà g x( 0)b
Phương pháp:
2
2
( )
Sau đó áp dụng dạng0
0của hàm phân thức đại số để tính
Ví dụ 3:Tính cácgiới hạn sau
a
1
2 1 lim
5 2
x
x x
b
0
1 1 lim
x
x x
Bài giải:
Trang 3a
1
2 1 lim
5 2
x
x x
=
b
2
Loại 3: Với giới hạn
0
1 ( ) 2 ( ) lim
( )
x x
g x
, trong đó f x1( 0) f x2( 0)vàg x( 0)0
Phương pháp:Nhân cả tử và mẫu với f x1( )0 f x2( )0
Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau
a
1
lim
1
x
x
b
2 1
lim
2
x
Bài giải:
a
b
1
2 1
Loại 4: Với giới hạn
0
lim
x x
, trong đó f x1( 0) f x2( 0) và g x1( 0) g x2( )0
Sau đó áp dụng dạng 0
0 của hàm phân thức đại số để tính
Ví dụ 5:Tính giới hạn sau
2
lim
x
Bài giải:
Trang 4Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
lim
4
x
Loại 5: Với giới hạn
0
3 ( ) lim
( )
x x
f x a
g x
, trong đó3
0 ( )
f x avàg x( 0)0
Phương pháp:Ta thực hiện phép nhân liên hợp3 2 3 2
Mở rộng:Với các giới hạn
0
3
3
( ) lim
( )
x x
f x a
g x b
, trongđó3
0 ( )
f x avà3
0 ( )
g x b
0
3 ( )
lim
( )
x x
f x a
g x b
, trongđó3
0 ( )
f x avà g x( 0)b
0
lim
x x
1( ) 2( )
f x f x và g x1( 0) g x2( )0
0
lim
x x
1( ) 2( )
1( ) 2( )
g x g x
Ta thựchiệnphépnhânliênhợpchocảtửvàmẫusố
Ví dụ 6:Tính cácgiới hạn sau
a
3
0
lim
x
x x
d
1
lim
1
x
x
b
3
3
1
1 lim
2 1
x
x x
e
0
lim
x
x
c
3
64
4 lim
8
x
x x
f
3 1
lim
1
x
x
Bài giải:
a
3
0
lim
x
x x
3
x
b
3
3
1
1 lim
2 1
x
x x
2 3
3
3 2
1
Trang 5c
3
3 2
lim
x
x
d
1
lim
1
x
x
( 1)( 1) lim
x
3
lim
3
x
x
e
lim
3
x
f
3 2
3
3 2 3
3
12 4 (1 7 ) 2 (1 7 ) 4
x
Chú ý 1:Có một phương pháp khác được sử dụng để tính giới hạn dạng0
0gọi là phương pháp gọi hằng số vắng, cụ thể với giới hạn dạng:
0
1( ) 2( ) lim
( )
x x
f x f x
g x
, trong đó f x1( 0) f x2( 0)vàg x( 0)0
Cách 1:( Chèn hằng số vắng ) Ta thêm hằng số vắng c vào biểu thức của giới hạn, ta được
Cách 2:( chèn hàm số vắng ) Ta thêm hàm số vắng f(x) ( với f(x0) = c ) vào biểu thức của giới hạn ta được
1( ) ( ) ( ) 2( ) 1( ) ( ) ( ) 2( )
Ví dụ 7:Tính các giới hạn sau:
a
3
0
lim
x
x
b
3 2 0
lim
x
x
Bài giải:
Trang 6Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
a
3
2
2
2
12
b
3
2
( 1) 1 3
x
Chú ý 2:Với giới hạn dạng
0
lim
n
x x
, ta đặt ẩn phụ n1 ax
t Khi đó
n
t
a
Ví dụ 8:Tính các giới hạn sau:
a
3
0
lim
x
x x
b
4
1
lim
1
x
x x
Bài giải:
a Đặt 3
1
t x Khi đó:
3
b Đặtt 44x3 Khi đó:
4
3
1 4
t
Dạng 2: Giới hạn lượng giác
Trang 7Phương pháp:
1 Sử dụng định lý thừa nhận sau:
x 0
sin x
x
Tổng quát hơn ta có
x 0
sin u x
u x
vớiu 0 0
2 Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, cụ thể:
Giả sử cần tính giới hạn của hàm số
0
lim ( )
x x f x
( hoặc lim ( )
x f x
), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1:Chọn hai hàm số g(x), h(x) thỏa mãn g x( ) f x( ) h x( )
Bước 2:Khẳng định
lim ( ) lim ( )
x x g x x x h x L
(hoặclim ( ) lim ( )
x g x x h x L
Bước 3:Kết luận
0
lim ( )
x x f x L
( hoặclim ( )
x f x L
Ví dụ 9: Tính các giới hạn của các hàm số lượng giác sau:
a
x x
x x
x 1 sin 2 cos 2
2 cos 2 sin 1 lim
b
x
x
x 1 cos
3 sin 1 1 lim
c
tgx 1
x cos x sin lim
4
4
1 lim
1 cot
x
tgx d
gx
Bài giải:
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
x x
cos sin
cos sin
cos sin 2 sin 2
cos sin 2 sin 2 2 sin 2
cos 1
2 sin 2
cos 1 2 cos 2 sin
1
2 cos 2 sin
1
2 2
cos sin
cos sin
lim 2
cos 2 sin 1
2 cos 2 sin 1 lim
0
x x
x x
x x
x x
b Ta có:
x
x x
x
x x
x x
x
cos 1
sin 4 sin 3 cos 1
3 sin cos
1
3 sin 1 1 cos
1
3 sin 1
x
x x
x
x x
cos 1
cos 1 sin 4 3 cos
1
sin sin 4
1 cosx3 4 sin2x
cos 1
3 sin 1 1
0
x
x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x x
cos sin
cos
cos ) cos (sin
cos
sin 1
cos sin
tan
1
cos sin
Vậy
2
2 cos
lim tan
1
cos sin
lim
4 4
x x
x x
x x
Trang 8Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
x x x x
x x x gx
x
tan cos
cos sin
sin sin cos sin
cos 1 cos
sin 1 cot
1
tan
1
cot 1
tan 1 lim
4 4
x gx
x x x
Ví dụ 10:Sử dụng định lý kẹp tính các giới hạn sau:
a lim s inx
1
x x b lim 3sin 4 cos
x
x
c
0
1 lim cos
x x
x
Bài giải:
a Ta có
x x
x
1
1 1
sin
x
x
Theo định lý kẹp giữa thì 0
1
sin
x
x
x
b Ta có:
x
x x
x x
x x
x x
x
cos lim 4
sin lim 3 cos 4 sin 3 lim
Vì
x x
sin
Mà lim 1 0
x
x nên lim sin 0
x
x
Tương tự lim cos 0
x
x
Vậy lim 3sin 4 cos
x
x
= 0
c Xét hàm số
1
x
Ta có: f x( ) xcos1 x
x
0
x x
Theo định lý kẹp giữa thì
0
1
x x
x
Dạng 3: Giới hạn tại vô cùng
Phương pháp:
Định lý 1:Giả sử
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x g x M
(L M, R) Khi đó
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
Trang 9c)
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì
0
lim ( )
x x cf x cL
d) Nếu M 0 thì
0
( ) lim ( )
x x
Định lý 2: Giả sử
0
lim ( )
x x f x L
Khi đó:
a)
0
lim ( )
x x f x L
b)
0
3 3
x x f x L
c) Nếu f x ( ) 0 với mọi xJ\ x0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0, thì L 0và
0
x x f x L
Ví dụ 11:Tính các giới hạn sau:
a
2 3
lim
x
x x x
b
4
lim
1
x
x
c
6
3
2 lim
x
x x
d
6
3
2 lim
x
x
x
e
2 3 2
2 lim
x
f lim 2
2
x
x x
Bài giải:
a Chia cả tử và mẫu của phân thức cho 3
x , ta được
3
3
1
x x
x
Vì lim 3 12 73 lim 3 lim 12 lim 73 0
x x x x x x xx xx
x x
nên theo định lý 1 ta có: 2
3
x
x
b Chia cả tử và mẫu của phân thức cho 4
0
x , ta được
Trang 10Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
4
4
7 15 2
1
x
x
c Chia cả tử và mẫu của phân thức cho 3
x 0, ta được
3
3
2 1
1
3
x
x
d Với mọi x 0, ta có:
3
2
1
3
x
Do đó:
6
3
2 lim
x
x x
=
6
3
2 1
1 lim
3
x
x x
e Đặt
2
2
2 ( )
f x
x x
Khi đó
2 2
2
2 1
f x
x x
2
f Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x20, ta
2
2
1
0
x x
Ví dụ 12:Tính các giới hạn sau:
b 2
c
4 lim
1 2
x
x
Bàigiải:
Trang 11a Ta có: 3 2 3
lim
x x
và lim 2 1 32 53 2 0
x x
Vì lim 3 5 3 0
x x và lim
x x
c Vớix 0, ta có:
x x
x x
x x
x
x x
2 1
1 1 2
1
1 1 2
1
2
3 3
2 4
Vì lim 1 1 1
3
x , lim 12 2 0
x và 12 2 0
x
x x
xlim 1 2
4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Tínhcácgiớihạnsau
a
2
2
3
lim
8 15
x
b
3
lim
x
c
2
lim ( 12 16)
x
d
3
3 2
1
1 lim
1
x
x
e
2
2 2
2 lim
2 2
x
x
x x
f 0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim
x
x
ĐS: a)
2
1
b)
10
72
c) 0 d)
2
3
e)
1 2 2
2 2
f) 6
Bài 2:Tínhcácgiớihạnsau
a
2 2 0
x
a
e
0
lim
x
i 2 7
0
2004 1 2 2004 lim
x
x
b
3
1
lim
1
x
x
3
2
lim
2
x
x x
j
5
lim
x
x x
c
1
1 lim
x
x
g
2 3
1
1 lim
1
x
x
k
3
1
lim
1
x
x x
Trang 12Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
d
3
2 0
lim
1
x
x x
h
5 4
1
lim
1
x
x
ĐS: a) 1
2a b)3
2 c) -2 d) e) 4
3 f) 1
3
g) HD:
3
h) HD: chèn hằng số vắng c = 1 ĐS 7
10
i) HD: chèn hàm số vắng f(x) = 2
x ĐS: 4008
7
j) 1 k) 2
3
Bài 3:Tìm các giới hạn sau:
a
1 x x
1 x x
lim 60
100
1
3
3 2
1
x (x 1)
1 x 2 x lim
c
2 x
2 x 10
lim
3
2
x cos 2 3
) 6 x sin(
lim 6
e
2 2
x (1 sinx)
x cos lim
f
x cos x
sin x 1
x lim
2
0
ĐS: a)
24
49
, b
9
1
, c
12
1
, d 1, e , f
3 4
Bài 4:Sử dụng limsin 1
x
x , tính các giới hạn sau đây:
a
x
x
x
tan
lim
0
0
cos 1 lim
x
x
x
0
sin tan
lim
x
x x
x
nx
mx
x sin
sin lim
0
0
3 cos cos
lim
x
x x
x
x
x x
cos 1
2 cos cos 1 lim
ĐS: a 1 , b
2
1
, c
2
1
, d
n
m
, e 4 , f 5
x
1 1 lim
x
, tính các giới hạn sau đây:
a
2 x
1 x
lim
2 x
2 2
1 x
Trang 13c x
1
0
x (1 sinx)
lim
2 x 1
0
x cos2x
x cos
Đs : a 2
e , b 2
e
1
, c e , d 3
2
e
Bài 6:Sử dụng định lý kẹp tính các giới hạn sau:
a
2
2
lim
cos 2
x
b lim os10 sin10
2
x
x x
c
sin 4 cos lim
x
x
x
d lim8sin 2 6 cos 19
x
e lim 3sin(2 1) 8 cos(2 2) 9
x
Bài 7: Tính các giới hạn sau
a
5 3 3
2
lim
(2 1)( x )
x
b
2
lim
5
x
x
c
2 2 lim
x
x
lim ( 1)
x
x x
x x
e e
3
5 2
2 lim
3
x
x x
x x
f
2 lim
10
x
x
ĐS: a) 1 b) 2 c) 1
2 d) 0 e) 2 f) –2