- Nhận dạng thừa số chung của mỗi phương trình lượng giác -Kết hợp nghiệm với điều kiện ban đầu.. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viế[r]
Trang 1Bài giảng số 6: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH
A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Để giải phương trình lượng giác bằng phương pháp phân tích nhân tử chung cần chú ý:
- Nắm vững các công thức biến đổi lượng giác
- Nhận dạng thừa số chung của mỗi phương trình lượng giác -Kết hợp nghiệm với điều kiện ban đầu
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Nếu trong phương trình lượng giác có chứa các số hạng
cos2x; cot2x; 1 + sin2x; 1 + tanx; 1+ cotx; tanx - cotx , thì đưa sinxcosx làm nhân tử chung
Ví dụ 1: Giải phương trình: 1 tan 1 sin 2
1 tan
x
x x
Giải:
cos 0
2
x
k Z x
Phương trình đã cho tương đương với:
1
1 tan cos
os sin 1
cos sin
sin cos 0
os sin 1 0
os2 1
x
x k
(thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là x 4 k k Z
x k
Dạng 2:Nếu trong phương trình có chứa các số hạng sin 2 ; os3 ; tan 2 ; cot ;cot 3 x c x x x x thì phân tích cos x là nhân tử chung
Ví dụ 2: Tìm x 0,14 nghiệm đúng phương trình cos3x4 cos 2x3cosx 4 0 2
Giải:
2 4 cos x3cosx 4 2 cos x1 3cosx 4 0
4 cos3x8 cos2x0 2
4 cos x cosx 2 0
cos 0 cos 2
x
2
Trang 2Ta có: x 0,14 0 14
2 k
0, 5 1 14 1 3, 9
2 k 2
Mà kZ nên k 0;1; 2;3 Do đó ;3 ;5 ;7
x
Nhận xét: Làm tương tự với sin 2 ;sin 3 ; tan ; tan 2 ; tan 3 x x x x x thì phân tích sin x là nhân tử chung
Dạng 3:Nếu phương trình lượng giác có chứa os2 ; cot2 ;sin2 ; tan2
nhân tử chung.
x c
Giải:
Điều kiện: cosx0sinx 1
2 2
x
c x
2 2
1 sin 1 os
1 cos 0
1 sin
x x
2
1 os
1 cos 0
1 sin
c x
x x
1 cos 1 os 1 0
1 sin
c x x
x
1 cos xcosxsinx0
x x
(thỏa mãn)
2
4
Vậy nghiệm của phương trình là:
2
4
Nhận xét: Cách làm tương tự nếu trong phương trình chứa các số hạng 2 2 2 2
x x thì phân tích 1 cos x là nhân tử chung
Dạng 4:Nếu phương trình chứa các số hạng cos 2 ; cot 2 ; 1 sin 2 ; 1 tan ;1 cot ; tanx x x x x xcot x thì phân tích cosxsinx làm thừa số chung
cot 1 sin sin 2 4
x
Giải:
Điều kiện: sin 2x 0 và tanx 1
cos os sin
sin
1 cos
x
x
cosx cosx sinx
(do tanx 1 nên sinxcosx0)
Trang 3Do đó: cos 2 2 1
4 1 os sin cos sin sin 2
x
x
cos sin
1 sin 2 sin
x x
cosxsinxsinxcosxsinx2
cos sin 0 sin cos sin 1
2 2
tan 1 vì tan 1
1 sin
tan do cos 0
os cos
x
2
4
2 tan tan 1 0
k Z
4
x k kZ (nhận do sin 2x 0)
Vậy nghiệm của phương trình là
4
Dạng 5:Một số cách phân tích thành nhân tử chung khác
Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 2sinxcotx2 sin 2x1 5
Giải:
Điều kiện: sinx0cosx 1
Khi đó 5 2 sin cos 4 sin cos 1
sin
x
x
2 sin x cosx 4 sin xcosx sinx
2 sin x sinx cosx 4 sin x 1 0
sinx 2 sinx 1 cosx 2sinx 1 2 sinx 1 0
2 sin 1 0 5
sin cos sin 2 0 5
x
Ta có: 5 sin 1
2
x
2 6 5 2 6
k Z
Xét 5 : đặt sin cos 2 sin
4
, điều kiện: t 2 và t 1
2
1 sin 2
Khi đó: 2
5 t 1t 0 t2 t 1 0
2
2
Trang 41 5
2 sin
x
2 4
2 4
2 4
5
2 4
k
Ví dụ 6: Giải phương trình sau: tanx3cot 3x2 tan 2x (6)
Giải:
Điều kiện:
cos 0
sin 3 0
os2 0
x x
Phương trình tương đương với: sin os3 2.sin 2 2 os3
cos sin 3 os2 sin 3
sin sin 3 os3 cos sin 2 sin 3 os3 os2
2
cos sin 3 os2 sin 3
os4 2 cos
cos sin 3 os2 sin 3
cos4 os2x c x2 cos2 x
1 2 cos 2x cos2x cos2x 1
2 cos 2x 1
3
1
2
2
Ví dụ 7: Giải phương trình lượng giác: 2sin 2xcos 2x7 sinx2 cosx4
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với: 4sin cosx x 1 2 sin2x7 sinx2 cosx 4 0
4 sin cosx x 2 cosx 2sin x sinx 6 sinx 3 0
2 cosx 2 sinx 1 sinx 2 sinx 1 3 2 sinx 1 0
2 sinx 1 2 cos x sinx 3 0
2sin 1 0
2 cos sin 3 0
x
1
2
2 cos sin 3 0 7
x
Ta có:
2 6 7
5 2 6
Phương trình 7 vô nghiệm vì 22 1 5 32 9
Trang 5Vậy nghiệm của phương trình là:
2 6 5 2 6
2 cos 2xsin xcosxsin cosx xm sinxcosx 8
a) Giải phương trình khi m 2
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên 0,
2
Giải:
8 2 cos xsin x sin cosx x sinxcosx m sinxcosx
cos sin 0 8
2 cos sin sin cos 8
Đặt cos sin 2 os
4
(điều kiện: t 2)
2
1 2 sin cos
4
Ta có:
2
1
2
t
4 1 2 *
a) Khi m 2 thì * trở thành: t2 4t 3 0
1 3
2
2
2 2
x k
k
Vậy nghiệm của phương trình là:
2
2 2
4
x k
k
x x
os
1 t 1
x k k Z nên yêu cầu bài toán * có nghiệm trên đoạn 1,1
4 1
y t t y 2t40 t 1,1 y tăng trên 1,1
Do đó yêu cầu bài toán 4 y 1 2m y 1 4 2 m2
Vậy với 2 m2 thỏa mãn yêu cầu đề bài
Trang 6C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1 2 cosx1 2 sin xcosxsin 2xsinx ĐS:
2 3
4
2 cosxcos2xcos3xcos4x0 ĐS:
2
2 2
3 sin2xsin 32 xcos 22 x c os 42 x ĐS:
4 2
10 5 2
sin xcos 3x c os xsin 3xsin 4x ĐS:
12
5 sin 32 x c os 42 xsin 52 x c os 62 x ĐS:
2 2 9
6 sinxsin 3xsin 2xcosxcos3xcos2x ĐS:
2 2 3
7 4sin3x3cos3 x3sinxsin2 xcosx 0 ĐS: 3
4
8 sinxcosx 1 sin 2xcos2x0 ĐS:
2 2 3
4
Trang 79 2
2sinx1 3cos 4x2sinx4 4 cos x3 ĐS:
2 2 6 7 2 6
sin xcos x2 sin x c os x ĐS:
4 2
sin 2x cotxtan 2x 4 cos x ĐS: 2
6
cot tan
16 1 os4 os2
16 8
13 2 tan cot 2 2sin 2 1
sin 2
x
3
3 sin tan
2 1 cos 0 tan sin
x
2 2 3
tan sin 1 sin tan
x
tan cot 2
x c x
x
4 2
17 tan2xcot2xcot 3xtan2 xcot 22 xcot 3x ĐS:
à 2 3 1
4
Bài 2: Cho phương trình: sin cos 4 sin 22 4sin2 7
x
Tìm các nghiệm của phương trình
6 6
x
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1 sin 3xcos3x2 cosx0 ĐS: 4
3
2 6sin 2 cos3 5sin 4 cos
2 cos 2
x
Trang 83 sinx4sin3xcosx 0 ĐS:
4
tan sinx x2 sin x3 cos2xsin cosx x ĐS: 4
3
5 1 sin3 os3 3sin 2
2
2
2
sin
4 3
2 4
4
2
3 1 sin
c x
6
2 1 sin
x
8 sinxsin2xsin3xsin4xcosxcos2xcos3x c os4x ĐS:
4 2 2 2
tan x 1 sin x cos x 1 0 ĐS:
2
4
2 1 os
x k
10 cos2x 5 2 2 cos xsinxcosx ĐS: 2 2
2
Trang 911 3 3
4 2 3 2 2
x k
12 tanxtan2 xtan3xcotxcot2xcot3x 6 ĐS:
4
13 22 2 tan2 5 tan 5cot 4 0
sin x x x x ĐS: x 4 k
3 17 tan
4
x
15 tanxcotx2 sin 2 xcos2x ĐS: 4 2
16 sin3x c os3xsin 2xcosxsinx 1 ĐS: 4
sin
x
17
4sin 2 6 sin 9 3cos 2
0 cos
x
3
6
3
x k
19.8 cos3 os3
3
4
cosx1 cos2xmcosx msin x
a) Giải phương trình khi m 2 ĐS: xk2
b) Tìm m sao cho phương trình có đúng 2 nghiệm trên 0,2
3
ĐS:
1 1
2
m
Bài 5: Cho phương trình: 2 2
cos
x
Trang 10a) Giải phương trình khi 1
2
3
b) Tìm m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên 0;
2
ĐS:
1
1 3
1 2
m m
Bài 6: Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2 cos cos 2x x 1 cos2xcos3x và
2
4 cos xcos3xmcosx 4m 1cos2x ĐS:
3 4 1 5
m m m m