[r]
Trang 1BÀI GIẢNG SỐ 03: CÁC DẠNG GIỚI HẠN MỘT PHÍA
Dạng 1: Giới hạn khi x dần về a + , a -
Phương pháp: Sử dụng các định nghĩa với lưu ý:
xx0 được hiểu là xx0 và xx0 ( khi đó xx0 x x0)
xx0 được hiểu là xx0 và xx0 ( khi đó xx0 x0x)
lim ( ) lim ( ) lim ( )
Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số, tìm các giới hạn sau:
a) lim x 1
1
5
c)
3 x
1 lim
3
3 x
1 lim
3
Bài giải:
a) Ta có ngay lim x 1
1
= 0
b) lim( 5 x 2x)
5
= 10
c)
3 x
1 lim
3
= +
d)
3 x
1 lim
3
= -
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau ( nếu có )
a)
2
lim
2
x
x
x
2
lim
2
x
x x
Từ đó đưa ra kết luận cho giới hạn
2
2 lim
2
x
x x
Bài giải:
Ta có:
a)
b)
Từ a) và b) ta thấy
2
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:
Trang 2x
x
x
2
x
lim
0
b)
x 2
x 4 lim
2
2
c)
4 5
2
)
1
(
2 x x
lim
d)
2 2 3
12 x 7 x lim
Bài giải:
a) Với x > 0, ta có:
2 ( 2) 2
Do đó:
1 1
b) Với x < 2, ta có:
2
( 2) 2
Do đó:
2
4
2
x
x
c) Với x > - 1, ta có:
2
2 2
1
x
Do đó:
2
2
x
d) Với 3 x3 ta có:
2 2
(3 )(4 )
9
x
Do đó:
2 2
6
9
x x
Ví dụ 4: ( Giới hạn hàm số kép)
Cho hàm số:
f(x) =
2 x khi 1 x 2
2 x khi 1
| x
| 2
2
Tìm lim (x)
)
2
(
x
, lim (x)
) 2 (
x
Bài giải:
Ta có:
Trang 3Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
a) 3
3 2
3 5
1 x x
2
lim
5 x x
3
| x
| 2 lim
2 x
c)
3 x
2
x 2 x x
lim
2
1 x x 2
x )
1 x (
ĐS: a) 1 b) 2 c)
2
1
d) 0
Bài 2: Tìm giới hạn một bên của hàm số tại các điểm đã chỉ ra
a) f(x) =
2 x khi 3
x
2 x khi 3 x
x2
tại x = 2
b)
2
9
x x
x x
tại x = 3
ĐS: a) 5; 3 b) -2; -6
Dạng 2: Giới hạn
Phương pháp:
Cách 1: ( được dùng cho các phân thức đại số )
Ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x có mặt ở phân thức đó
Cách 2: ( Sử dụng nguyên lý kẹp giữa)
Bước 1: Chọn hai hàm số g(x) và h(x) thỏa mãn
( ) ( ) ( )
g x f x h x
Bước 2: Khẳng định lim ( ) lim ( )
x g x x h x L
Bước 3: Kết luận lim ( )
x f x L
Ví dụ 5: Tính các giới hạn sau:
a)
2 3
lim
9 3
x
x
c)
2
2 lim
2
x
x x
Trang 4b)
2
lim
x
x
d)
2
3 3
lim
1
x
Bài giải:
a) Chia cả tử và mẫu cho x3 được
3
2 1 10
0
3
x
x
b) Có
17
3
x
x
x
2
lim
3 17
x
x
2 3
c) Ta có:
2
2
2 2
1
x
x x
Mà
2 2
2
2
2 1
2
x x
x
x
Do đó ta xét hai trường hợp
2
2 1
2
x
x
2
2 1
2
x
x
Ta thấy
không tồn tại
Trang 5d)
3 3
2 3 1
1
1
x
x x
x
Do đó ta có 2 trường hợp
1
x
x x
x
1
x
x x
x
Vì
không tồn tại
Ví dụ 6: Tính giới hạn
lim s inx
s inx
x
x x
Bài giải:
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x được
s inx 1
s inx
s inx sinx
1
x
x
Ta có: s inx 1 1 s inx 1 , x 0
Mặt khác: lim 1 lim 1 0
x x x x
s inx
x x
Trang 6Khi đó lim s inx
s inx
x
x
x
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
2 2
lim
x
c)
3
2 lim
3
x
x x x
x x
e)
lim
1 2
x
x x x
b)
11 lim
x
x
d)
2
lim
10
x
x
f)
4
4 lim
4
x
x x
ĐS: a) không tồn tại b) c) 2 d) - 2 e) f)
Dạng 3: Giới hạn
Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau
c) 3 3
lim ( 2 1 2 1)
b) 2 3 3
d) 2
Bài giải:
a) Ta có:
1
1
x
2 1
x
x
b) Ta có:
Trang 7=
3
c) Ta có:
2
2
Bài tập tự luyện
2) 2
lim (2 1 4 4 3)
3) 2
4) lim ( 3 x 5 x )
6) lim x ( x2 1 x )
7)lim ( x 2 x 1 x 2 7 x 3 )
ĐS: 1) 1
2 2) 0 3) 1
2 4) 0 5) 5
2 6) 1
2 7) 5
2
Dạng 4: Điều kiện để tồn tại giới hạn
Phương pháp:
Điều kiện để tồn tại giới hạn hàm số là
lim ( ) lim ( )
Khi đó khẳng định
0
x x f x L
Ví dụ 8: Tìm giới hạn bên trái, giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) tại x = x0 và xét xem lim ( x )
0
x
x có tồn tại hay không?
f(x) =
1 x khi 2
x
1 x khi 1
x
2 x x
2 2
tại x0 = 1
Trang 8Bài giải:
+)
2 2
f x
+)
1 lim ( ) lim
x
f x
Ta thấy
1
2
x f x x f x f
1
1 lim ( )
2
x f x
Ví dụ 9: Tìm a để
Tồn tại lim ( x )
1 x trong đó f(x) =
1 x khi 2 ax
1 x khi 1 x
1
x3
Bài giải:
Ta có:
+)
+)
2
+ f(1) a 2
Để tồn tại
1
lim ( )
x f x
thì
x f x x f x
a 2 3 a1
Vậy với a = 1 thì
1
x f x
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm giới hạn của hàm số sau:
a) f(x) =
2 x khi x 1
2 x khi 2 x
x
tại x0 = 2 ĐS: không tồn tại
b)
2 3 4
2
8 ( )
16
2
x x
f x
x
x x
tại x = 2 ĐS: không tồn tại
Bài 2: Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại các điểm đã chỉ ra
Trang 9a)
3
3
0 2
1 1
0
1 1
f ( x )
x
khi x x
ĐS: a = 0
b) ( ) 2 3 , 1
f x
ĐS: a = 2