Bài giảng số 7: Phương trình lượng giác chứa tham số

A.. Hãy giải phương trình trong trường hợp đó.. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang. 5.. Bài giảng được cung cấp [r]

Bài giảng số 7: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Phương trình dạng asinx b cosxc có nghiệm a2 b2 c2

 Cho phương trình f x m  ;  0 Ta thường biến đổi về dạng F x m hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng G t m Sau đó, lập bảng biến thiên của hàm số F x  hoặc G t  trên miền xác định và dựa vào bảng biến thiên của hàm số đề biện luận số nghiệm của phương trình

 Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến hay nghịch biến trên a b;  thì phương trình f x   0 có tối

đa một nghiệm trên khoảng a b; 

 Định lý dấu tam thức bậc hai

B CÁC VÍ DỤ MẪU

2sin xsin cosx xcos xm 1

a) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm

b) Giải phương trình khi m  1

Giải

Ta có:  1 1 os2  1sin 2 11 os2 

a) (1) có nghiệm   1 9 1 2m 2 2

4m 4m 9 0

  thì phương trình có nghiệm

b) Khi m  1 ta được phương trình: sin 2x3cos 2x3 1 

+) Nếu 2 1

2

  thì sin 2 0

x







 



nên phương trình  1 không thỏa mãn

+) Nếu 2 1

2

  thì cosx 0, đặt ttanx Khi đó  1 trở thành:

3 1

2

3

t

t



2t 3 1 t 3 t 1

3

t t





 



 tan 0

tan 3 tan

x





 

 











Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Giải

Ta có:

4sin 3 sinx x2 cos2x c os4x ;

;

Do đó, phương trình đã cho tương đương với: 2 os2 sin 2  1sin 4 1 0 2 

Đặt os2 sin 2 2 os 2

4

  (điều kiện:  2 t 2)

sin 4x2sin 2 cos 2x xt  1

Phương trình (1) trở thành: 2

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường  d :y 2 2m và   2

P yt  t với  2 t 2

Trong đoạn  2; 2, hàm số yt2 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2 tại t   2 và đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2 tại t  2

2 2 m 2 2

Vậy với 2 2 m2 2 thì phương trình đã cho có nghiệm

cos

x

a) Giải phương trình khi 1

2

m 

b) Tìm m để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trên 0;

2



 

Giải

Điều kiện: cos 0

2



3  1m sin x2 cosx 1 3 m cos x0

1 m 1 cos x 2 cosx 1 3m cos x 0

2

4mcos x 2 cosx 1 m 0

4 cos 1 2 cos 1 0

2 cosx 1 m2 cosx 1 1 0

a) Khi 1

2

m  thì  3 trở thành: 2 cos 1 cos 1 0

2

x  x 

1

 

2 3



b) Khi 0,

2

x   

  thì cosx t 0,1 Ta có:    

 

1

2 3

x t











 



Yêu cầu bài toán  3 có nghiệm trên 0;1 \ 1

2

 

 

 

0 1

2

m

m m m m



 















0 1

0 2

1 3

0 2

m m m m m











0 1 3 1 2

m m m

m













 

 











1

1 3

1 2

m

m





 

 



Ví dụ 4: Cho phương trình: 2 2  

c xc xa x

a) Giải phương trình khi a 1

b) Tìm a để phương trình có nghiệm trên khoảng 0;

12



 

Giải

Ta có:  4 os4 11 os6  1 os2 

a

2 2 cos 2x 1 1 4 cos 2x 3cos 2x a 1 cos2x







 

3 2







   2     







a) Khi a 1 thì phương trình (4) trở thành:

   2 





1

t

 

 



2

x k  k Z

Vậy nghiệm của phương trình là  

2

x k  k Z

b) Ta có: 0;

12



3

2

Khi đó:

     2   

*  t1 4t 3 a 1t 2  

y t  P trên 3,1

2

3

2

      

Do đó (4) có nghiệm trên 0;

12



  d :ya cắt  P trên 3,1

2

2

Vậy với 0a1 thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 5: Cho phương trình: 2  

Tìm m để phương trình có nghiệm trên 0,

3



 

Giải:

Đặt ttanx Khi đó (5) trở thành: 2  

1t m 1t 5 (chia 2 vế cho cos2x  ) 0

Khi 0

3

x 

  thì t0, 3

 

2 1

1

t

t



 Xét hàm số: y1t 1 trên 0, 3t   1 2 1  1 

1

t





3 1

2 1

t

t





Do đó, phương trình có nghiệm trên 0,

3



  1 3 1 3 m1

Vậy với 1 3 1 3 m1 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2sinx1 2 cos 2x2 sinxm  3 4 cos x

a) Giải phương trình khi m 1

b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên 0;  ĐS:

0 1 3

m m m







 





Bài 2: Cho phương trình: cos2x2m1 cos xm 1 0 2 

a) Giải phương trình khi 3

2

3



b) Tìm m để phương trình có nghiệm ,3

2 2

cosx1 cos2xmcosx msin x

a) Giải phương trình khi m  2 ĐS: xk2

b) Tìm m sao cho phương trình có đúng 2 nghiệm trên 0,2

3



  ĐS:

1 1

2

m

Bài 4: Cho phương trình: cos4x6 sin cosx xm

2

x k 



b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên 0,

4



  ĐS:

17 2

8

m

Bài 5: Cho phương trình: 4 cos5 xsinx4sin5xcosxsin 42 xm

a) Biết rằng x là nghiệm của phương trình Hãy giải phương trình trong trường hợp đó ĐS:

4

0;

m









 

  



b) Cho biết

8

  là một nghiệm của phương trình Hãy tìm tất cả nghiệm của phương trình thỏa mãn

4 2

8

Bài 6: Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2 cos cos 2x x 1 cos2xcos3x và

2

3 4 1 5

m m m m











 







Bài 7: Tìm m để những phương trình sau có nghiệm:

4

m 

2

os sin

2 tan 2

os sin





1 8

m 

4 sin x c os x 4 sin xcos x sin 4xm ĐS: 1 1

4 6 osc 2xsin2 xmcos 22 x ĐS: m 0

5 6 6  4 4 

6 2sinx cosx 1 m

sinx 2cosx 3



1







7 sin x2 (2m2) sin xcosx(m 1)cos x 2 m ĐS:  2 m1

9 3cos 26 xsin 24 xcos4xm2 cos 22 x 3cos 22 x1 ĐS: 0m1

10 1 2 cos x 1 2 sin x m ĐS: 1 3 m2 1 2

16

m

4

m 

Bài 8: Tìm m để phương trình: sin 4xmtanx có nghiệm xk  ĐS: 1 4

Bài 9: Tìm m để phương trình: cos3x c os2xmcosx 1 0 có đúng 7 nghiệm trên , 2

2







ĐS: 1m3

Bài 10: Tìm m để phương trình: sin4 os4 sin 4 2 1sin2 0

x c x x  x có hai nghiệm phân biệt trên

,

4 2

 

1

2

m

3

5 4 sin

6 tan 2

x x









a) Giải phương trình khi

4



b) Tìm  để phương trình có nghiệm ĐS:  

Bài 12: Khi m 0 và m  2 thì phương trình: sin 2 cos 2



  có bao nhiêu nghiệm trên

Bài 13: Cho phương trình: cos3xsin3xmsin cosx x

a) Giải phương trình khi m  2 ĐS:

2

4

os

2 2

4

c















b) Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS: m

Bài 14: Cho phương trình: sin cos  1 1 tan cot 1 1 0

a) Giải phương trình khi 1

2

4



b) Tìm m để phương trình có nghiệm trên 0,

2



  ĐS: m   2 1

Bài 15: Cho phương trình: cos3xsin3xm

a) Giải phương trình khi m 1 ĐS:

2 2 2

x k













   



b) Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm ,

4 4

x   

  

  ĐS:

2

1

2 m

2

1

a) Giải phương trình khi 5

2

4



b) Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS: 5

2

m 

Bài 17: Cho phương trình sin 2x4(cosxsin )x m. Tìm m để phương trình có nghiệm

ĐS: 4 2 1  m4 2 1