Bài giảng số 4: Hàm số liên tục và các ứng dụng

Bài giảng đôc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà.. BÀI GIẢNG SỐ 04: HÀM SỐ LIÊN TỤC I.. Chứng minh rằng phương trình.. Chứng minh rằng phương tr[r]

BÀI GIẢNG SỐ 04: HÀM SỐ LIÊN TỤC

I Tóm tắt lý thuyết

- Hàm số y f x( ) liên tục tại xx0 thuộc miền xác định nếu thoả mãn một trong hai điều kiện sau:

+)

0

0 lim ( ) ( )

x x f x f x

+)

0 lim ( ) lim ( ) ( )

- Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [a, b] và thỏa mãn điều kiện f a f b ( ) ( ) 0 thì tồn tại số c( , )a b sao cho f c ( ) 0

II Các dạng bài tập

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

( ), ( )

( ),

f x





 





Phương pháp:

Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x 0 , ta làm như sau:

Bước 1: Tính giới hạn

1 lim ( ) lim ( )

x x f x x x f x L

Bước 2: Tính f x( )0  f x2( 0)

Bước 3: Đánh giá hoặc giải phương trình f x2( 0)L , từ đó đưa ra kết luận

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số

2

cos cos 2

0 ( )

3

0 2

khi x x

f x

khi x









 



tại x = 0

Giải:

Hàm số xác định với mọi xR

Ta có:

3 2sin sin

f x



3

+) f(0) = 3

2

Vì

0

3 lim ( ) (0)

2

   nên hàm số lien tục tại x = 0

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x 0 = 1

2 1

1

1

x khi x

x a khi x

 





 



Giải:

Hàm số xác định với mọi xR

Ta có:

2

1 lim ( ) lim lim( 1) 2

1 (1) 1

x

x





 

Vậy ta được

+) Nếu

1

       thì hàm số liên tục tại x0 = 1

+) Nếu

1

    thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1

( ), ( )

( ),

f x





 





Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x 0 , ta làm như sau:

Bước 1: Tính f(x 0 ) = f 2 (x 0 )

Bước 2: ( Liên tục trái) Tính:

lim ( ) lim ( )

x x f x x x f x L

Đánh giá hoặc giải phương trình L1  f x2( 0) kết luận về liên tục trái

Bước 3: ( Liên tục phải ) Tính

lim ( ) lim ( )

Đánh giá hoặc giải phương trình L2  f x2( 0)kết luận về liên tục phải

Bước 4: Đánh giá hoặc giải phương trình L1 L2 kết luận

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của

a)

2

2

0 ( )

f x

 



tại x = 0

b)

2 9

3

x khi x

x khi x

 





 



tại x = 3

Giải:

a) Hàm số xác định với mọi xR

Ta có:

2

lim ( ) lim 0

x  f x x x

lim ( ) lim ( 1) 1

x  f x x  x

Vì

lim ( ) 0 lim ( ) 1

    nên không tồn tại

0

lim ( )

x f x

 Vậy hàm số không lien tục tại x = 0

b) Hàm số xác định với mọi xR

Ta có:

2

lim ( ) lim ( 3 ) 6

Vì

lim ( ) lim ( ) 6

   nên hàm số liên tục tại x = 3

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Phương pháp:

Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên một khoảng, ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số trên các điểm giao

Bước 3: Kết luận

Ví dụ 3: Chứng tỏ hàm số sau liên tục trên R

2

1

( )

khi x







 



Giải:

Hàm số f(x) liên tục với mọi x 0

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 0

Ta có: x c os 12 x c os 12 x

2

1 os

x

Vì

lim lim( ) 0

0

1 lim os 0

x x c

x





Mặt khác f(0) = 0

Do đó

0

lim ( ) (0) 0

   hàm số liên tục tại điểm x = 0

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số thực R

Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn trục số

2

1 ( )

f x

khi x

 



Giải:

Hàm số xác định với mọi xR

 Khi x < 1, ta có f(x) = x2 + x nên hàm số liên tục với x < 1

 Khi x > 1, ta có f(x) = ax + 1 nên hàm số liên tục với x > 1

 Ta xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 1

Ta có:

2

lim ( ) lim ax 1 1

 

Do đó:

Nếu

       thì hàm số liên tục tại x0 = 1 Nếu

        thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1

Vậy: Nếu a = 1 thì hàm số liên tục trên toàn trục số

Nếu a 1, hàm số liên tục trên  ;1  1;  và gián đoạn tại x0 = 1

Dạng 3: Điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm và trên một khoảng

Ví dụ 5:

Cho hàm số:

2

3 2 , 1 1

( )

, 1

x x

f x

a x







 



a) Tìm a để f(x) liên tục trái tại điểm x =1

b) Tìm a để f(x) liên tục phải tại điểm x =1

c) Tìm a để f(x) liên tục trên R

Giải:

Ta có:

2, 1 ( ) , 1

x x





 

  



c) Hàm số liên tục trên R trước hết phải có

lim ( ) lim ( ) 1 1

Vậy không tồn tại a để hàm số liên tục trên R

Ví dụ 6: Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0

0 ( )

4

0 2

khi x x

f x

x

x

   





 





Giải:

Hàm số xác định với mọi xR

Ta có:

+)

4

2

x

x





+)

f x

  

  

+) f(0) = a + 2

Để hàm số lien tục tại x = 0 thì

lim ( ) lim ( ) (0)

  a    2 1 a  3 Vậy với a  3 thì hàm số lien tục tại x = 0

Dạng 4: Ứng dụng của tính liên tục trong chứng minh phương trình có nghiệm

Ví dụ 7: Chứng minh rằng phương trình 2

x xx x  có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 0;

Giải:

f x x xx x liên tục trên đoạn 0;

2

(0) 1

( ) 1

f



   f(0) ( )f  0

Theo hệ quả của định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục tồn tại ít nhất một số thực

0; 

c  sao cho f(c) = 0

Vậy c là một nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 8: Không dùng máy tính chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

3

x  x 

Giải:

Hàm số f(x) = x3 – 3x + 1 liên tục trên R

Ta có: f(- 2) = -1, f(0) = 1, f(1) = -1, f(2) = 6

Suy ra

 f(-2).f(0) = - 1 < 0, phương trình có một nghiệm thuộc (-2; 0)

 f(0).f(1) = -1 < 0, phương trình có một nghiệm thuộc (0; 1)

 f(1).f(2) = -6 < 0, phương trình có một nghiệm thuộc (1; 2)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 9: Chứng minh rằng phương trình: 3sinx + 4cosx + mx – 2 = 0 có nghiệm với m

Giải:

Xét hàm số f x ( ) 3sinx  4cosx  mx – 2 Dễ thấy hàm số liên tục trên R

Ta có f(0)2

Nếu m 0 thì ta có f( 2) 3sin( 4) 4 cos( 4) 6 32 42 6 1 0

Suy ra f(0) (f 4) 0

m

  Vậy theo tính chất của hàm liên tục tồn tại ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

4

(0; )

m

 hoặc ( 4; 0)

m



Nếu m = 0 thay trực tiếp vào phương trình ta có: 3sinx +4cosx = 2

Dễ thấy 3242 22 nên phương trình trên có nghiệm

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m

III Luyện tập

Trên lớp

Bài 1. Xét tính liên tục của

2

2

1

x

x

 





Tại x = -1

ĐS: hàm số liên tục tại x = -1

Bài 2. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2

3

3 2 2

( 2) 2

( )

1

( 2) 4

x

x x

f x







 



Bài 3. Tìm m để 2

2

1

1

1

x

if x





  



Liên tục ( 0; )

2

m  

Bài 4. Chứng minh rằng phương trình

0 1 5 5





 x

x có ít nhất 3 nghiệm

HD: Tính f(-2), f(-1), f(0), f(2) Bài 5. Chứng minh rằng phương trình 3

1 0

x   x có nghiệm ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1

HD: Chứng minh tồn tại ít nhất một điểm c   1; 0sao cho f(c) = 0 Khi đó số c là nghiệm âm lớn hơn -1 của phương trình đã cho

Bài 6. Chứng minh rằng phương trình (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0 luôn có nghiệm với mọi m

HD: Tính f(0) = -2, f(1) =

2

Về nhà

Bài 1. Xét tính liên tục của

2

3

x

x







Trên tập xác định

ĐS: Hàm số ko liên tục

Bài 2. Tìm m để

2 2

2

2

khi x





 



liên tục tại x = 2

ĐS: m = 0 Bài 3. Chứng minh rằng phương trình:

a x5  x3 70 luôn có nghiệm

c x3  x6  1  2  0 có nghiệm dương

d x4  x3 3 10 có nghiệm trong (- 1; 3) không?

HD: a) Chứng minh f(0).f(2) < 0

b) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm c 0;1sao cho f(c) = 0 Khi đó số c là

nghiệm một nghiệm dương của phương trình

c) Có

Bài 4. Tìm m để hàm số f(x) =

1 cos 4

0 sin 2

4

0 1

x khi x x

x

x

 









 



liên tục tại x = 0

Bài 5. Xét tính liên tục của các hàm số sau

a) f(x) =



















2 x khi 1

2 x khi x

2

3 x 2 1

tại x0 = 2

ĐS: Hs liên tục tại x = 2

b) f(x) =



















0 x khi 4

1

0 x khi x sin

x cos 1

2

tại x0 = 0

ĐS: hàm số không liên tục tại x0 = 0

c) f(x) =





















1 x khi

1 x khi 1 x

x sin

tại x0 = 1

HD: hàm số liên tục tại x0 = 1 vì

sin( ) sin

lim ( ) lim lim

1

x x

f x



 

1

lim

x

x





   

Bài 6. Tìm m để hàm số sau liên tục tại x0= 0

a) f(x) =





























0 x khi 2

x

x 4 m

0 x khi x

x 1 x 1

ĐS: a) m  3

Bài 7. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên R

sin x

khi x

khi x







 



sin x khi x

| x |

f ( x )

khi x







 



ĐS: a) liên tục b) không liên tục

Bài 8. Tìm m để hàm số

3 3 2 2

2 2

1

2 4

x

khi x x

f ( x )







 



liên tục trên R

ĐS: m = 0

Bài 9. Không giải phương trình, hãy chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm

a) cosx + mcos2x = 0, b) m(x – 1)3(x + 2) + (2x + 3) = 0

HD:

a) Xét vế trái trên khoảng ;3

4 4

b) Chứng minh f(-2).f(1) < 0