Gọi Q là giao điểm của AD và mặt phẳng (MNP). Chứng minh rằng MN song song với PQ. Bài 8: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau. Bài 9: Cho hình chóp[r]
Trang 1Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
Bài giảng số 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Dạng 1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Cách giải:
Cách 1: Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng
Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng Sau đó áp dụng định lý giao tuyến (hoặc hệ quả của định lý giao tuyến)
Dạng 2 Chứng minh hai đường thẳng song song
Cách giải:
Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng và sử dụng các kiến thức của hình học phẳng (chẳng hạn như định lý Ta-lét đảo)
Cách 2: Sử dụng định lý giao tuyến hoặc hệ quả của định lý giao tuyến
Cách 3: Sự dụng tính chất bắc cầu của các đường thẳng song song
Dạng 3 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
Cách giải: Phản chứng, giả sử hai đường thẳng đó không chéo nhau Sau đó dùng các phép suy luận lô-gíc để dẫn tới mâu thuẫn
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB là đáy lớn Gọi M và N theo thứ tự là
trung điểm của SB và SC
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AMN)
Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
(AMN)
Giải:
a) Trong mp ABCD kẻ ADBC I Khi đó
I SAD SBC
S
A
B
M
N K H
(d)
Trang 2Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
Mà SSAD SBC Do đó SI là giao tuyến của SAD và SBC
b) Hai mặt phẳng SAB và SCD có AB CD
Mà SSAB SCD Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD là đường thẳng d đi qua S và song song với AB và CD
c) Trong mp SBI kẻ MN cắt SI tại K Khi đó KAMN
Trong mp SAI kẻ AK cắt SD tại H
Vậy H là giao điểm của SD và mặt phẳng AMN
Từ đó suy ra tứ giác AHNM là thiết diện tạo của hình chóp cắt bởi mặt phẳng AMN
Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF chứa trong hai mp khác nhau Trên các đường chéo AC
và BF lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AC3AM BF, 3BN. Chứng minh rằng MN song song với
DE
Giải:
Trên AB lấy điểm I sao cho AB3AI
Trong ABC có MIBCAD và 1
3
BC AD (định
lý Talet)
Gọi O là giao điểm của AE và BF
Trong ABO có: INAO và 2
3
IN
AO
1 3
IN AE
Do đó MI IN
AD AE và
DAEMIN Suy ra DAE và
MIN
đồng dạng với nhau
Vậy MO DE
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau a , b Trên a lấy hai điểm phân biệt A B , trên , b lấy hai điểm phân biệt , C D
a) Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau
b) M là một điểm trên cạnh AC , N là một điểm trên cạnh BD MN có thể song song với AB
hoặc CD được không?
c) O là điểm trên đoạn MN Chứng minh rằng AO cắt CN và BO cắt DM
Giải:
M
N B
E F
O
Trang 3a) Giả sử AC và BD không chéo nhau, suy ra AC và BD
đồng phẳng Do đó AB và CD đồng phẳng (điều này mâu
thuẫn với giả thiết) Vậy AC và BD chéo nhau
b) MN không thể song song với AB hoặc CD bởi:
+) Nếu MNAB thì MN và AB đồng phẳng AM và
BN đồng phẳng AC và BD đồng phẳng (mâu thuẫn)
+) Nếu MN CD thì MN và CD đồng phẳng CM và
DN đồng phẳng AC và BD đồng phẳng (mâu thuẫn)
c) Chứng minh AO cắt CN Ta có:
ACM ACMN AO và CN đồng phẳng
Ngoài ra, AO và CN không thể song song với nhau bởi
nếu AO CN O nằm ngoài đoạn MN (mâu thuẫn với
giả thiết)
Vậy AO cắt CN
Tương tự ta chứng minh được BO cắt DM
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD , các cạnh bằng nhau và bằng
6a Gọi I J lần lượt là trung điểm của , AC , BC Gọi K
là một điểm trên cạnh BD với KB2KD
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng IJK Chứng minh thiết diện là hình thang cân b) Tính diện tích thiết diện theo a
Giải:
a) Ta có:
à
AB IJ
Giả sử Kx cắt AD tại H Khi đó ta được 4 đoạn giao tuyến là IJ,
IH, HK và KJ Do đó thiết diện là hình thang IJKH
Mặt khác, ta thấy ngay: ACDBCD IH JK
Vậy thiết diện IJKH là hình thang cân
b) Trong ABC có: 1 3
2
IJ AB a
3
AB BD
1
2 3
Trong BJK có: BJ 3a, BK 4a
2 cos
JK BJ BK BJ BK KBJ
2 2 0 2
3a 4a 2.3 4 cos 60a a 13a
Xét hình thang IJKH , hạ đường cao KP, ta có:
N
D
M
A
O M
(b)
(a)
D
C
B A
K H
x
Trang 4Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
2
KP JK PJ JK
2
IJKH
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là một điểm trên đoạn SA Xác định
giao tuyến của mặt phẳng
a) (SAC) và (SBD)
b) (SAB) và (SCD)
c) (SBC) và (SAD)
d) Tìm giao điểm N của SD và (MBC) Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MBC)
Bài 2: a) Cho tứ diện ABCD, các tam giác ABC và ABD có trọng tâm lần lượt là M và N Chứng minh rằng
MN song song với CD
b) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và P là một điểm trên cạnh CD Gọi Q là giao điểm của AD và mặt phẳng (MNP) Chứng minh rằng MN song song với PQ
Bài 3: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau Trên đường thẳng a lấy hai điểm phân biệt A và B; trên
đường thẳng b lấy hai điểm phân biệt C và D Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm
SA, SB
a) Chứng minh rằng MN song song với CD
b) Tìm giao điểm P của SC và (ADN)
c) Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I Chứng minh rằng SI, AB, CD đôi một song song Tứ giác SABI là
hình gì?
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC Gọi M là một điểm tùy ý trên cạnh
AD và N là giao điểm của mặt phẳng (MIJ) và BD
a) Chứng minh rằng MN song song với IJ
b) Gọi K là giao điểm của IN và JM Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ)
c) * Tìm quỹ tích điểm K
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là một điểm trên đoạn SA Xác định
giao tuyến của mặt phẳng
a) (SAC) và (SBD)
b) (SAB) và (SCD)
Trang 5c) (SBC) và (SAD)
d) Tìm giao điểm N của SD và (MBC) Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MBC)
Bài 7: a) Cho tứ diện ABCD, các tam giác ABC và ABD có trọng tâm lần lượt là M và N Chứng minh rằng
MN song song với CD
b) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và P là một điểm trên cạnh CD Gọi Q là giao điểm của AD và mặt phẳng (MNP) Chứng minh rằng MN song song với PQ
Bài 8: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau Trên đường thẳng a lấy hai điểm phân biệt A và B; trên
đường thẳng b lấy hai điểm phân biệt C và D Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm
SA, SB
a) Chứng minh rằng MN song song với CD
b) Tìm giao điểm P của SC và (ADN)
c) Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I Chứng minh rằng SI, AB, CD đôi một song song Tứ giác SABI là
hình gì?
Bài 10: Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC Gọi M là một điểm tùy ý trên
cạnh AD và N là giao điểm của mặt phẳng (MIJ) và BD
a) Chứng minh rằng MN song song với IJ
b) Gọi K là giao điểm của IN và JM Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ)
c) * Tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn AD (M không là trung điểm của AD)
Bài 11: Cho tứ diện ABCD và ba điểm M, N, P lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC Hãy xác định giao
điểm Q của AD và (MNP) nếu:
Bài 12: Cho tứ diện ABCD có M, N, P, Q lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng
M, N, P, Q đồng phẳng khi và chỉ khi MN, PQ, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành M là trung điểm của SC, N là trung điểm của
OB (O là giao điểm của BD và AC)
a) Tìm giao điểm của SD với (MNA)
b) Tính tỉ số SI
ID
Bài 14: Cho tứ diện ABCD và 4 điểm M, N, E, F lần lượt trên các cạnh AB, BC, CD và DA Chứng minh
rằng:
a) Nếu M, N, E, F đồng phẳng thì MA NB EC FD 1;
MB NC ED FA
Trang 6Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
b) Nếu MA NB EC FD 1
MB NC ED FA thì M, N, E, F đồng phẳng
Bài 15: Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm P nằm trên cạnh BC sao
cho BP2PC Gọi Q là giao điểm của AD và (MNP) Chứng minh rằng AQ2QD
